Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Аз ~Ь ' Я~у Вз г ' К АВ Из последнего соотношения следует, что координатные линии, в, ф (меридианы и параллели) — линии кривизны, поэтому главные кривизны ! 1 де 1 1 в1п 0 (4.40) Проделанные в рассмотренном примере выкладки лишь указывают общий путь расчета. Те же результаты в этом случае проще получить непосредственно. В самом деле, ортогональность меридианов (а) и параллЕлей (р) на поверхности вращения очевидна.
Так как любая меридиональная плоскость есть плоскость симметрии поверхности, то меридианы (а значит и параллели) являются также линиями кривизны. Линия сечения поверхности меридиональной плоскостью (ме- 1 'де ридиан) по определению имеет кривизну — — . Кривизну К, Ь ' — нормального сечения, касательного к параллели, проще всего 1 Яй найти на основе теоремы Менье.
Сечение поверхности плоскостью ОМ, нормальной к оси симметрии, есть круг радиуса г. Но это /и сечение наклонено к нормальному (МХ) нод углом ( — — 6) Определим выражения единичный векторов !и 1„п в неподвижной с!(- стеме координат: $з = — — = (соз ф( + з1п ф 1) соз Π— з1п О»', ! дг А да (рнс. 4:7). Поэтому в соответствии е формулой (4.27) получаем результат, совпадающий с (4.40): .*.( " — 9) )1'з ' Это означает, что для поверхности вращения радиус кривизны сечения, нормального к меридиану, равен отрезку нормали, соединяющему данную точку с осью симметрии (отрезок КМ Рие. 4.7 на рис. 4.7).
Оболочки строительных конструкций (перекрытия) часто выполняют в -форме поверхностей переноса, уравнение которых в декартовых координатах имеет вйд г = р (х) + Ф (у). (4.41) На рис. 4.8 показаны частные виды такого рода поверхностей: г = С, (аа — ха) + С, (Ь' — у') и г - С, (аз + ха) + С, (Ь' — у'). Отличительной особенностью поверхностей переноса, является то, что все их сечения плоскостями, параллельными хОг (уОг), имеют одинаковую форму и лишь смещены относительно друг друга по направлению оси г.
К поверхностям переноса относятся, в частности, все цилиндрические поверхности. Пример 4.2. Определить геометрические характеристики поверхности переноса, заданной уравнением (4.4)). Положение точки на поверхности переноса зададим декартовыми координатами и = х, р = у. Таким образом, координатные линии и, р на поверхности — линии сечения ее плоскостями, параллельными плоскостям хОг и уОх. Радиус-вектор произвольной точки на поверхности в неподвижной системе х, у, х имеет внд г = х( + у1 + (~р (х) + ф (у)1 й. Его производные определяются формулами дг дг р дг — = — = (+ ~р' (х) й; — = 1+ ф' (у) й; др дзг „ дзг дзг = ~р" (х) к; — = О; — = ф' (у) й. даз ' дссд(3 ' джаз Рис. 4.8 Козффициенты первой квадратичной формы дг Х2 /дг х| А =~ — ! =1+[р ()[*; В*=[' ~~ =!+[ф [у)Р, ~ да ~ ' ~д[),г Единичные векторы локальной системы коордияат 1 дг 1 А д ~Г~ — ~тг-~„.ф ~'+~ *~ 1' [ дг 1 !3 В дР .
И+ф (У) й! В д[1 У 1+ [ф (у)Р Угол у между координатными линиями сгз [) находится из равенств ф' (х)'Ф' (у) 1 + [~р' (х)Р + [Ф* (у)[з +'[ф'(х) ф' (у)[ [ ф (х)1-ф [у) [+2[. Козффнциенты второй квадратичной формы д'г ф" (х) дзг (.— з и= М = — в=01 . [~!+[р'(х)Р+[Ф'(у)[з дс'д[) . д'т „Ф'( ) д[!з У1+[Ч2'(х)[ +[ар'(у))~' Кривизны нормальных.
сечений, касательных к координатным линиям, 1. "х р () [ 1 + [ф' (х)[з) У 1 + !ч~' (х)Р + [ф' (у)[ Аз Хотя коэффициент М второй квадратичной формы равен нулю, в данном 1 1 случае нельзя сделать вывод что кривизны — и — — главные, так каи )[к линии а, д неортогонзльны. Пользуясь формулой (4.36), находим угол !)~, составляемый линйямв кра. визны о направлением я, Вектор нормали 1 и = — !!Х!з— зш Х ! + [ ' (х)Р + И' (у)Р 1!гз ' 1 + [<р' [х)[з + [$' (у))з + [~р' (х) ф' (у)!з ~ [1+ [ф' [у)Р) У 1+ Ф (х)Р+ И' [у)Р .
1 М вЂ” — О. Й1з АВ 1н 211 аэ з1п 2Х вЂ” +соъ2т !аз в ватем главные нрнвнана 1 й1 1 йг 1 1 гае —,, —, н у определяют по приведенным выше формулам. й1 ' йг Если поверхность переноса является пологой, так что — = пг дк ~р' (х) (( 1, — „= $' (у) (( 1, то можно существенно упростить ее рассмотрение, пренебрегая квадратами этих величин по 'сравнению а единицей. В этом случае А = В~1, з1нХ=1, созХ=О, 1' 1 1 1 О, — ж —, — — ср (х)„— —, — $. (у).
й1 ' й; "й, й~ Таким образом, для пологой поверхности переноса внутренняя ее геометрия (характеризуемая параметрами Ламе) может быть приближенно отождествлена е геометрией координатной плоскости ху, а линии а и 11 приняты за линии кривизны. Йля произвольной пологой поверхности, заданной уравнением .= (х, у) ®<С1, ~ С1). также приближенно справедливы равенства Л: А= В=1, Х вЂ”.2, но координатные линии х = сопз$, у = сспМ уже не являются .линиями кривизны. В этом случае 1 д'г . 1 д'г 1 д'г —, ~э — —,, —, ~ — —,, —::~ . (4.42) й; дкг ' йг дуг ' й1г дгда ' ~ 20.
Дифференцирование единичных векторов и тождественные соотношения Кодацци — Гаусса ..Тройка единичных векторов.-$„1„н связана е определенной точкой поверхности г (а„р). При переходе от точки к точке эти : векторы меняют свое направление, Вычислим производные еди"ничных векторов, считая, что система координатных линий и, 11 на : поверхности ортого1)альная (Х. — ) .
В а. а. Бвгернае 22В В этом случае взаимное расположение векторов 1,, 1, и не изменяется, и образуемый ими'триедр поворачивается при переходе от точки к точке как жесткое целое. Если точка, с которой связан триедр 1„1„и, движется с единичной скоростью вдоль а-линии, то триедр вращается с угловой скоростью Я~ = яи11 + и121~ + и~зи.
Соответственно, при движении точки с единичной скоростью вдоль р-линии скорость вращения триедра ив = и211, + азу ) ~~эи. Так же, как в случае трехгранника Френе, производная каждого из единичных векторов.по дуге кривой равна векторному произведению соответствующей угловой скорости на этот вектор.
Таким образом, для частных производных в направлении а получаются следующие формулы: дФ~ Ада 1 1 и + д$2 = Я1 Х 1а в~1и в~з1~', дя Ада -а1 х и= — ОХА+ИХВ11 (заметим, что Ада представляет собой длину элемента а-линии). Аналогичные формулы получаются для частных производных векторов по переменной р. Умножим первое из равенств (4,43) скалярно на и. Получим й'~ е„— — и. Ада Так как 11 = — то Ог Ада ' Второй вектор в скобках направлен по 11, и его скалярное произведение на и равно нулю, Поэтому 1 дЬ Ь ц„а~в — — ° — и ~ — — ~~~— А~ да' А~ й' ' 1 Последние равенства вытекают из определения коэффициентов второй квадратичной формы (см. формулы (4.25) и (4,28)), Для определения остальных компонентов вектора И1 рассмотрим второе из равенств (4,43).
Умножив его скалярно на и и подставив значение 1, =. — найдем дг з =- ддйе Умножая теперь то же равенство скалярно на с„получаем дс~ д ( дг ! дг ! Уг дс Ада 1 Ада ~ Вд!! / Адсс АсВ дадр. дсс + 1 дг дг дВ А~Вг да д1! да ' Второе из слагаемых этого выражения равно. нулю вследствие дг дг ортогональности векторов — А(,. и — = ВФ, а первое можно да д!! представить в виде 1 д 1дг~г 1 д ~В др ~ да/ 2А~В д 1 дйг дг А~В дадр ди 2А Следовательно, 1 дА сссз = АВ Итак, вектор й, определяется следующим разложением: 1 ! 1 дА Щ = — (,+ —, $,— — — и. В~ 1с', ~ АВ д(! (4.44) Формулы (4.43) для производных от единичных векторов можно теперь записать в виде дгс 1 дА 1 — = — — ° — $„- — —, и; Ада .
АВ дР д1~ 1 дА 1 — '„= — — $ + — и Ада АВ д(! 1 Й~~ (4.45) дс 1 1 ,— = — 11 (з Ада гс; !см Формулы для частных производных единичных векторов по переменной р можно получить из формул (4.45) заменой индексов 1 -- 2 и букв а .— (! и А В. Таким образом, д1! 1 дВ 1 — = — — (а+ — и' ВдР АВ д й„ д1, 1 д / дг ~ 1 дгг 1 ВВ дг гсп — — — 'и = — — ~ — уи = — ° — и =- — ° — — и.. Адсс А да ~ Вд!3 /' АВ дадр АВг да д1! Второе слагаемое в этом выражении равно нулю, так как дг вектор — = В(, ортогонален к и а нервое слагаемое представд!! й ляет собой кручение поверхности [см, формулы (4.25) и (4.30) !.
7аким образом, М 1 О11 = — = — ° АВ В1, ! В — = — — — $ — — и' ' Вд~ АВ дя 1 Я' (4.46) дп:1 1 Вд(1 К Из этих формул следует, что вектор Я„представляющий собой угловую скорость координатного базиса $„ („ и, при движении с единичной скоростью вдоль ~1-линии, равен 1 1 . 1 дВ 1"2 = ° 11 1в+ (4.47) й; Мм АВ да Формулы (4.45) и (4 46) называют деривационными формулами Вейнгартена. Так как А$1 и В(, представляют собой первые производные радиуа-вектора г по координатам я, р, то с помощью деривациондйг д~г д~г ных формул вторые производные —,, —,, —, выражаются через первые производные и коэффициенты А, В, 1 ! 1.
Последующие дифференцирования выражений (4.45), (4.46) позволяют выразить частные производные всех порядков от г по а и р через те же параметры. На'этом основании можно утверждать, что поверхноать задается коэффициентами первой и второй квадратичных форм а точностью до своего положения в пространстве. В самом деле, представив выражение для радиус-вектора г в форме разложения в степенной ряд по а и р около точки я = () = О, получим д~г ~1 1 г дзг з д'г + — ~'~+ — ~ —.сР+ 3 — а~+ - ° ° 1+ ° ° ° дрз / 31 ~ да~ !даЩ / Ф где все производные вычисляются в точке и = р = О. С помощью деривационных формул третий и все последующие члены этого дг дГ ряда выражаются через — и —..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
