Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 25
Текст из файла (страница 25)
К. Годунова (см. гл. 11). Вместо :суммарной нагрузки Е (з) ц программу введена нагрузка на 1 рад ЕФБ Р (5)/2Л. Наряду о переменной интегрирования з в программе пре:;дусмотрено интегрирование по г, что удобно для расчета пологих ':',оболочек. Переход от одной системы, уравнений к другой ову- Е?З 1 :,.ществляется введением множителя б = — = — в правые др сов 0 р'.части уравнений (3.124) — (3.127). Необходимые пояснения даны в тексте программы (см.,прило- 1 жение.) Ниже рассмотрены два примера расчета, выполненные в погмощэю этой орограммь. ' Прэ р~ю ма ~ю а м, А. Е. Б~ м». Б 1% Ряс. 3.37 г — 1,9 ч у=0,375в)п (и — '), 3,3 3 ' где г в мм.
Угол 8 нормали и понерхности мембраны определяетси равенствами 1я8 = — 0357 Сов~и ду г — 1,9 1, Иг ) ° в)п8=; сов8 тп8 у'Г+ где ' У 1+ 1оз8 Нагрузочные члены г (з) ргз, Фа — * — ' Ь=Рз)п 8; 2п 2 Решение задачи должно удовлетворять граничным условиям. прн г= 19 $= О; д 0; прн г 25 $0; 8 = 0; ~ = О. При приведении уравненйй и безразмерной форме принимаем 1р = 1 мм; Ео = 5 10з Н. Ч'огда безразмерные аналоги физических величин составят г к= гз = 1 ) «з' 1ю91 "н'= 251 1а ܄— * 0,22; Š— 20,' (ЕЬ), 4,4~ Ь Е13 1з го (Ейз) О 21295 2,10-а1 р1з н= ргн 1 Ф = — = —.РЛ) 2г"з '2 и — р з(п 8 ~= р - з)п 8. 1о гн Грзннчмые условия имеют вид.
при х= хз — — 1,9;уз = 0;у,= при х лн= 25~уг= 0; уз= О; уь 01 О. ' Перенос граничного условия ~ = О в точку х = хн осуществляется в про грамме автоматически. Пример 3.3. Расчет гофрировзнной мембраны с жестким центром (нз рис. 3.37 размеры мембраны даны в миллиметрах). Материал мембраны характеризуется ' модулем упругости Е= 1Оз Намин и коэффициентом Пуассона Р*= О,ЗЗ. Рзсяет проводим на давление р = 10 ' Нlммз. В качестве независимой переменной выбираем расстоянме точки срединной поверхности от оси симметрии г. Уравнение срединной поверхности мембраны ';::::,: -. Таким образом, матрица начальных условий интегрирования 0 0 0 0 0 0 1 О 0 0 1 0 ооа . где первый н второй столбцы — векторы решения однородной задачи, а третий— 'неоднородной.
Граничные условия на ' конце интервала интегрирования х = х„ Стет!+Свети+х1з - 0: Стх,т+Сзхзз+х,а =О. Для решения данной задачи в программу, помеШенную в приложении, нужно внести следующие дополнения: 1) в списке переменных дополнительно указать идентификатор ТРТ, оз,начающий !д В; 2) метку Мб — вычисление переменных коэффициентов системы дифференциальных уравнений — записать следующим образом: Мб: Я ! = Х; ТРТ = 0.357 Х СРЯ (3.1416 Х (К вЂ” !.9)73.3); А ~ = 30ЙТ(1+Т6Т )' 2); ВТ'.
=ТРТ~А; СТ =!7А; б: = А; Ф ! = 1! )' 2/2 Х 2 Х 1О з; Щ . "= ЬТ Х 2 Х 1О з (нетрудно видеть, что значения нагрузочных членов Ф и ЯЯ внесены в программу увеличенными в 10' раз); 3) вычисление определителей в метке П РОГО Н КА записать так; ПРОГОНКА! (.1 ~ = 1; б ! = 2 [1, Ц Х Я [2,2) — У [1,2) Х.Я [2, Ц;.
61 й = 2[1,2) Х 2 [2,3) — 2[2,2[ Х 3[1,3)! 62 ! =* Я [2;Ц Х Е [1,3) — 2 [1,Ц Х 2 [2,3), Для решения задача вводится следующая числовая информация: 0=5; К=З; Ф! =2; ЯК= 28; 31=87; К! =5; ХО=1.94 ХК =25; 5=1; ЕРБ=10; РЕОС=1; 1.0=1; Р0 =500; 6=1! ЕН = 4А-; ЕНЗ = 0.21296! ТОЛ = 0.22; МЮ = О.ЗЗ! 0 0 0 0 0 0 1 О 0 0 1 О 0 0 0 Машина печатает 12 компонентов вектоРа Т (й, Ф, М, МО Мз, Тт, Тз, тГ, о~, оа~, очх, ь) в каждой из 28 точек ортогоналнзации и в начальной точке интервала интегрирования. Все величины выдаются в размерной форме (в Н, им), но увеличенными в 104 раз. На рнс. 3.38 — 3.40 результаты расчета представлены в графической форме.
4ндексом и помечены напряжения изгиба, индексом р — напряжения рабтяженйя. ечеч гее/д «и Рис. 3.38 коиео точки ;В Рис. 3.40 -го Рис. 3.39 ~/усоаО+ —, з(п О) 1 — (д г Е (з) и ~ 2пг Рис. 3.41 198 Прогиб в центре мембраны при давлении 10 Н/ммо составляет 0,128 мм. Максимальное напряжение изгиба возникает у внешнего контура мембраны, где оио достигает 59 Н/мм'.
Время расчета на машине М220 составляет 2 мин. Пример 3.4. Расчет выпукло-вогнутого днища. Днище нагруженногодавле. нием сосуда показано на рис. 3.41 (относительные размеры днища заимствованы из работы (40)). Примем следующие значения абсолютных размеров: гц —— 250 мм; /е= 10 мм; го = О 25гк; )д' = 1.025ги1 О, 35 0,5283 р д. Материал — сталь с Е = 2 !Оо Н/мм', Р = 0,3. Давление р = 1 Н/ммо 10 ати). В отличие от предыдущего примера, геометрия оболочки не описывается единым аналитическим выражением — имеются три участка — сферический, ' торовый и цилиндрический.
Другой особенностью является постановка граничных условий на внутренней н внешней границах интервала интегрирования. Так как при г -+ 0 коэффициенты уравнений имеют особенность, расчет начинается с точки, отстоящей на небольшом расстоянии от центра (в данном примере — на расстоянии 0,02га). В этой точке принимаются условия, характерные для полюса: Тд = Т„М, = /1дз.
Первое из этих условий влечет за собой равенство — = — (т,-рт,) = — '(1 — н)Т,= 1 гч Е/д Е/д й — !а или, так как в атой точке О=а О и Р(з) = раага~ О, $ = — ~й(г, ЕЬ что дает дли безразмерных переменных зависимость 1 — р, рта — Ей) рая. (3.129) Условие Ма = М а с использованием уравнения упругости соз 4 12 на = д = — (Ма — р,Ма) г Е)аа приводит к зависимости 12 (1 — р) — — гМа и, так как О=:а О, для безразмерных переменных !2 =(1 И Э (Ейа), (3.130) Условия (3.!29) и (3.130) являются граничными условиями в начальной точке интегрирования. Матрица начальных условий, удовлетворяющая условиям (3.!29) и (3.130), может быть принята в виде 1 — р — 0 0 (Ей), 0 1 О ! О 0 О * 0 (Еда) 12 (! — р) 0 0 0 Условия М! —— О и )а' = 0 в этой точке используются зля контроля точности расчета.
Выбираем следующие значения постоянных масштабировании !а = )/ га)а = 50 мм; Ра —— Ейа = 2.10тН. Е4 . й Безразмерные параметры оболочки Е, = — ' = 25; Ь,= — = 0,21 '(Еа), Ра 1а 12 О,О;(Е)аа =0,2. Давление р = — ~ = 1,2о ° 1О а. Нагрузочныечлены®а, а рг = -е-з-, а„р„з)и О. Приведем описание меридиана оболочки одновременно в размерной и безразмерной формах! За конечную точку интервала интегрирования принимаем точку цилиндрической оболочки, лежащую пне зоны краевого эффекта (!)! > 3), В этой точке приняты условия безмоментной задачи ПРОГОНКА: Ы1 = 1; В [1): = (1 — МЮ/2) х й ~ 2/ЕН х 1.25 — 2[1;3); В[2[: = — Я[2,З[; 6 - г [1-,1[ х Л [2,2[ — 'г [1,21 х л [2,11; 611 = В [11 х Е [2,2[ — В [2[ х Я [1,2[; 621 = В [21 х Я [1,1] — В [Ц х Я [2,11.
Исходная чииловая информация в данной аадаче еледующая1 У=5; К=З; У1 .2; 8К 50; 31= 153;- К1=5; ХО = 0.10; ХК *= 10.1; Е = 1; ЕР5 = 10 4; Р1ОС = 1,' ЕО = 5; РО = 2х10', 6 = 1; МЮ = 0.3; .ЕН = 5; ° ЕНЗ = 0.2; ТОЛ = 0.21" 0,140 0 0 0 0 0 0 0,02381 0 0 0 н~„, Е Рис. 3,42 Рпе. 3.43 Ьея1п ТЕТАь -Х75;131 ЗТ. = ЗИ (ТЕТА) 17: = — 5.13 Х ЗТ епа1 И Х > 3:22Э Л Х ~ 5.972 реп Ьед$п ТЕТА; = — 0.628Э+ (Х вЂ” 3.223)71.25; ЗТ ' = И77 (ТЕТА)1 й ~ = 3.75+ 1.25 Х ЗТ епп1 И Х > 5.972 йеп Ьед!и ТЕТА~ =1,5708~ ЗТ ~ =11 Я =5 епд1 СТ~ =СОЗ(ТЕТА)1, Ф~ =1.25 Х 17 7 2/21 017~ 1.25 Х ЗТ1 2.
Вычисление определителей граничных условий в конце интервала. Макина выдает 12 компонентов вектора состояния в Ю.узлах ортогонализации и в'начальной точке. Так как нагрузочные члены Ф, Щ, а также величина радиального перемещения при х = х„ введены в программу увеличенными в 1У раз, все компоненты вектора также получаются о множителем 104. Время счета— около 8 мин. На рис.
3.42, 3.43 результаты расчета представлены графически. Индексами и и р помечены соответственно напряжения изгиба и растяжения. Кружками отмечены значения напряжений в этой же оболочке, вычисленные аналитически [401. 5 17. Большие перемещения оболочек Рассмотрим такие случаи осесимметричной деформации оболочки, при которых угол 8 между нормалью и осью симметрии изменяется существенно, так что уравнения равновесия следует составлять для деформированного состояния оболочки.
Вместе с тем предположим, что деформации, испытываемые материалом оболочки, настолько малы, что закон Гука остается справедливым. Так как $ зв — у Г (3.131) — = е,совО'+совО' — совО; — = а, ма 8'+ в1п О' — в1п О; г~~ 1 (3,132) иа ~а . И дя йз ' х, — (в1п 8' — з1п 8), Г то из предположения о малости деформаций следует, что радиаль- . ное перемещение 5 мало по сравнению а радиусом параллельного круга г. Поэтому во всех уравнениях можно считать, что радиус г один и тот же для деформированной и недеформированной оболочек. В связи а малостью деформации з1 можно также не делать разницы между элементом дуги йв для деформированной и недеформированной оболочек.
Однако разница между углом 0 для недеформированной и углом 0' = 8 + д для деформированной оболочки может быть существенной. Поэтому в отличие от рассмотренной ранее линейной теории будем теперь использовать вместо формул (3.14), (3.!5) и (3.16) формулы,(3.5), (3.6) и (3.11): Уравнения равновесия (3.22) — (3.25) прн подстановке в них ввачений угла О' и кривизн деформированной оболочки 1 с16+ 1 в1п 6+ 1 и+ «Ь и+ г принимают следующий вид: Т, з1п О' — Я соз 0' = — ' 2п/ 1 Л6+ Мп 6' — — (ф) — Т, — „— Т, + д„= О; (3.133) 1 д СОв 6 — — (М,г) — М, — 1~ = О, г сЬ l Уравнения упругости в связи с малостью деформаций сохраняют прежнюю форму: ЕЬ Тв = 1 з (ев + Рев) еа Тв = 1 „в (зв+ Рзв) (3.134) впв 6+ Т,= "«'~ 1 0++ х1 '"6 °, Я вЂ” — — созО +где —; (в) в1п 6+ (3. 135) г ~+Р г ™+Р 1 ЕЬ сов 6+ в1п 6 Р(в) .
Еьв М, = р М + — (з1п Π— з1п О). Вывод уравнений (3.135) не отличается от вывода соответствующих формул в $16. М, = В (х, + рх,); М, = 0 (х, + рх,). Нетрудно установить, что уравнения (3.131) — (3.134) представляют нелинейную систему двенадцати уравнений с двенадцатью неизвестными ($, ~, О', е„е„хв, хв, Т„Т„Я, Мв, М,). В настоящее время наиболее эффективным способом решения таких уравнений является численный. Преобразование уравнений к виду, удобному для численного решения, мало отличается от выполненного выше преобразования линейных уравнений.
В качестве основных искомых функций выбирают величины $, О', гУ, гМ, (в отличие от линейного случая, где второй неизвестной был угол поворота д, а не полный угол нормали 0' для деформированной оболочки). Остальные неизвестные выражают через основные следующим образом: Первое из дефференциальных уравнений системы, определяющей основные неизвестные, получается из первого. соотношения 1 (3.132) после замены в нем е, — (Т, — )вТв), где Т, и Тв записывают в соответствии с (3.135). Второе уравнение получается из уравнения упругости 12 х1 — „(М1 — )!МАЙ, где и, заменяется его значением по (3.132), а М, — по (3.135).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
