Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 20
Текст из файла (страница 20)
1'З (1 — И ) й. Первую производную искомой функции можно исключить из этого уравнения, перейдя к новой неизвестной функции а„, связанной с а зависимостью а =, 1/ ~ з1п и Произведя необходимые замены, при которых следует учесть, что Йт 1 до, а 1' ! '1 сЫ у г Мп 6 "~ '(~ (, 1/т зш 0 ~1.~~ 160 придем к уравнению †,' + (2! — !" (х)) о, = О, (3.75) а с!я'6 115 5 ( Р,~~ 1 йр )'з(! — и5) ~ 16 16!, й4/ ' а й~ — — —" ~ 1 + — ' ) !Я' О + — 1и 6 — ( — ! .
(3.76) Уравнение (3.75) будет основным в дальнейшем анализе, Напомним, что в этом уравнении х = !/ 3 (! — ц') ~ 5р р,=рр'рар5=5'рыр0 (Р 4-~ 5), р р ° !' !2 (! — !Р) Е!Р где 1' = !~Р, — переменная Мейснера. ~ 14. Теория краевого эффекта для иепологих оболочек Если угол О между нормалью к меридиану и осью симметрии , не мал, то функция ~ (х), входящая в уравнение (3.75), имеет Ь 6 величину порядка —, —. Я5' й,' Для тонкой оболочки эта величина мала по модулю по сравне, нию с 2!, и ею можно пренебречь.
Таким образом, для непологой ' тонкой оболочки уравнение (3.75) можно заменить уравнением ' а постоянными коэффициентами Яа1 — „,'+2и,=О, 4р з ~ -5~4,~~~4-'4 (~й (5-- тр'-— ' 5.,~): ~5~5) :;;;. здееь 4)~, и Ф, — действительные переменные. Постоянный множитель 6 включен в выражение (3.78) с тем, чтобы упростить вид окончательных расчетных формул. Подставляя выражение (3.78) в уравнение (3.77) и отделяя в ием действи- 157 , где а, — комплексная переменная, которую можно представить . в виде (3.79) и 2~(~ —,'+2я;, = 0.
Исключив,из уравнений (3.?9) функцию ~„установим, что $, удовлетворяет дифференциальному уравнению Д4~~~ + й~~ — О» (3.80) а ф, выражается через $, по первому из уравнений (3.79). Дифференциальное уравнение (3.80) имеет точно такой же вид, как однородное уравнение (3 44) осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки. Общее решение этого уравнения может быть представлено в виде линейной комбинации функций е-"' соз х, е-' з(п х, е" соз х, е' з(п х или линейной комбинации балочных функций А. Н.
Крылова от аргумента х. Учитывая, что ~, связано с ~в, первым' из уравнений (3.79), выражение (3.78) функции и, можно представить в виде ~г = ~ й + '~ ~ = ~ (Е ~- —,' й ) где штрихами обозначено дифференцирование по х. Положим сЮ Ф/ где Ф вЂ” новая функция, которая удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению (3.80), что и функция ~~: УФ вЂ” „„, +4Ф=О. (3.81) Тогда ' з(~ — и')(Ф > ' (Ф").
Вернемся к первоначальной неизвестной функции т/ г в$п 0 где индекс (1) при д указывает, что имеется в виду решение однородного уравнения. (3.82) тельную часть от мнимой, получим два уравнения, связывающие ~,иМ РЧ'~ дз — 213=0' Множитель ф, . 9 можно представить в виде дР зш 9. 4 З 1 ~ 4, = «Г — з1пО гИ кШО 1' а з1а 0 ' где ~'з (1 — 1,,'1 "з (1 Р ) 1'вь 1"а Отделяя в равенстве (3.82) действительну1о н мнимую части, получим д(П вЂ” Ч/ — з1п Π— Ф', 1 Ь з1па 1~= — ф' — з1пО . Ф ° и Й 2 1/ 12 (1 — ~Р) Для определения сил и перемещений по формулам (3.74) не~юли су обходимо вычислить производные ~Ь ' й При вычислении этих производных учтем, что — (Ф') - Ф" — - И"; — (Ф") = (1Ф'"; да ~Ь ' ~Ь вЂ” (гз1п 0)-'~4 = — — (к з1пО)="~(з1п Осоз О+ й, = — — (» з1п О)-'~" с1я О ~ — + — ~); 1 2 тогда ~0~ 'У ~ ЕИ вЂ” — з1пΠ— —.
Х ~Ь ь 2~/12(1 1р) зш 0 «[~рв ~м~( ~ ~ ~ )ф) преобразовать, подставив 4Ф. 159 Выражение для — можно дУ й 1'з (1 — и ) ~а з(п 0 и заменив в Ф" пав соответствии е уравнением (3.81) Нетрудно также установить, что сама величина Г может быть представлена в форме ~Г г . 1 Ей Г= — 1, — з1пΠ— — Ф", й 4р г Подставляя величины — и У в последнюю из формул (3.74), Л' (18 найдем выражение радиального перемещения ~('1 через функцию Угол поворота нормали и силовые факторы в оболочке определяются следующими формулами: О('> = — ~2' — з1п О .
Ф', 4Г 2 2' й 81п О (3.84) Г г . Ор2 М,= — 1, — злпО . х й ипО (3.85) 4/ г 11(32 М, = — ф' — з1пО х й 21п 6 (3,8б) и( 11) — Рà — З1П О вЂ” — Ф ~Г г . 1 Ей 82 = — 122 — з1п 0 — Ф; 42г й Мпв (3.87) 21'= — = 1l — „пп8 — [Ф.(- —,, ( —.(- — )Ф 1( (8 88( 7',("1 = М'" соз О; д = Л1(п з1п О. (3.89) Как уже указывалось, функцию Ф (х) можно представить в виде Ф (х) = е=" (С, соз х+ С, з1 п х) + е" (С, соз х + С4 з1 и х). Слагаемые с множителем е-и убывают с ростом аргумента и описывают краевые эффекты около торца оболочки з = зп, х = О, а слагаемые с множителем е" возрастают и описывают пп краевой эффект около торца оболочки з = з„х = ) р пз = А, Ф (х): 8п~=~/' — 'п~п8[Ф~ ",," ( ' 4- '+„")Ф-1.
(8.82( Если Х ) 3, то оболочка «длинная», и для нее, так же как для длинной цилиндрической оболочки, взаимное влияние торцов ' отсутствует. В этом случае краевые эффекты около каждого из торцов можно рассчитывать независимо. Для короткой оболочки следует одновременно учитывать граничные условия на обоих торцах. Выражения (3.83) — (3.89) ' получены в предположении, что функция 1 (х) в уравнении (3.75) мала по сравнению с единицей.
Ь с1ян 0 6 е10' 0 Этопредположениевыполняется,если (с1; ((1. е Обратим внимание на то, что порядок величины функции Ф (х) и ее производных по аргументу одинаков. Поэтому вторые слагаемые в формулах (3.83), (3.85), (3.86), (3.88) имеют по сравнению с первыми порядок е1да 1/ йс10'0 ~~, . с100 1/ йе1д'0 рм1 Йа Й1 Иа д2 Если пренебречь и величинами такого порядка по сравнению а единицей 1это, разумеется, более грубое пренебрежение, чем допущенное при переходе от уравнения' (3.75) к уравнению (3.77) ), то выражения (3.83) — (3.89) можно записать в упрощенном виде так: ~/ ч1'> = )/ — „з1пО Ф; ,019 = 1/ — 'з1пО ." Ф', ь мпа и, — р — 'неон ~ Ф', м.— рм,; (390) аГ г (13 У19 = 1, — з1пО0 —. У ь з1п'0 7 Дальнейшее упрощение можно получить, если в формулах 4г (3.90) пренебречь изменяемостью множителя ф' — з1пО в пределах узкой зоны краевого эффекта и включить этот множитель в постоянные, входящие в выражение для функции Ф.
Тогда получим следующие зависимости: $11> =Ф; 61п = — —.0 Ф', н1п 0 (12 ра И,= — О,~,'„Ф', М1» = — й —,, Ф"; (3.91) Т~" =- — Ф; 7'1п' = Жп' соз О; ~ = М~ ~ з1п О. 0 Б. л, Бидерман Р1)э 1;,~ ~ Р, Учитывая, что, —, . р —. —, а поаш'0 4 4)г'3 (1 )(э) К г аш 0 рядок величин Ф и Ф одинаков, нетрудно уетановить, что основ- ным усилием в зоне краевоге эффекта является уаилие Тз ', (1). распорная пила Ж(', а еледовательно, Т) и Я имеют меньший (1) (1) порядок величины. Порядок величин напряжений изгиба, вызы- ваемых моментами М, и М, = 9М„таков же, как и порядок величин напряжений раатяжения от килы Тй).
1)' Обратим внимание на то, что формулы (3.91) лишь множи- телями —,, —, отличаютвя от формул (3.38), (3.43) для ци- 1 1 ((и) линдрической оболочки, так как — = рФ. При расчете.по формулам (3.91) нет необходимости учитывать изменяемость величин О, р в узкой зоне краевого эффекта, поэтому )ГЗ (1 — )Р) г —. можно пРинЯть О = О 1) = Рэ = У з(п Ое; х = ~,з, О г — У где величины а индексом О отноеятся к торцу оболочки. Заметим, что ошибка, допускаемая при переходе от формул (3.90) к фор. (~ Г,д с!а' 0 ~ мулам (3.91) имеет такой же порядок р ' — ~, как и прв переходе от Ф г/ (3.83) — (3.89) к (3.90). 3 В самом деле оценивая длину зоны краевого эффекта как аа = —, найдем, Ф 4г Г что относительное изменение множителя р — и!и 3 на этой длине состав- Г ь ляет примерно — ~г — а!и 0 — =— — з(п 0 Ь Эта величина имеет такой же порядок малости, как и опущенные при пера.
коде к равенствам (3.90) слагаемые. Осевая составляющая перемещения определяетая интегрированием уравнения — е, з!и О+ д соз О. ((г ((а Нетрудно установить, иепользуя (3.91), что первое слагаемое чг )) в -этой формуле имеет порядок ~г — по аравнению со вторым. г Такой же порядок имеет и первое алагаемое в формуле — и, соз Π— О з!и О. ~$ аэ Поэтому при расчете краевого эффекта по формулам (3.91) следует пренебрегать з, по сравнению с д; тогда (1~(3) ~ф(1) — = — — с1а В. Из ~й Пренебрегая при интегрировании этой зависимости изменяемостью угла 8 в зоне краевого эффекта, получим Р > С вЂ” Р > с(~а, Отсюда видно, что полное перемещение в зоне краевого эффекта складывается из осевого перемещения (С) оболочки как жесткой и нормального к срединной поверхности перемещения и<и = = ~~и/сов О. Простые приближенные формулы (3.91) составляют основу метода расчета оболочек вращения, предложенного И.
Я. Штаерманом и Геккелером. Для тонких оболочек с немалым углом подъема эти формулы дают удовлетворительную точность. Область применения несколько более сложных формул (3.83) — (3.89) шире области применения формул (3.91), так как погрешность формул (3.83) — (3.89) составляет величину порядка ь с1а~ а /ась'в а формул (3.91) ~г †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
