Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Для этого выразим поперечные силы по уравнениям (2.117) через моменты, а моменты— через в по уравнениям упругости (2.113). Таким образом, получим Заменим силы Т„, Т„, Я„„их выражениями через функцию уаилий ф (х, у). Тогда урав11ение равновесия примет вид д~$ д'в д'~ д'в д'$ д'ю РЧ~тР и д+ — — + —, —, — 2 — —. (2.121) ду~ дх~ дх' ду~ дх ду дх ду ' Уравнения (2.119) и (2.12~) являются основными уравнениями .задачи о больших прогибах пластин. Эти уравнения, полученные Карманом, образуют нелинейную систему восьмого порядка.
Точное аналитическое решение этой системы получено лишь для самых простых задач, в частности для одномерного (цилиндрического)- изгиба полосы. В других случаях используют численные или вариационные методы расчета. Рассмотрим сначала цилиндрический изгиб пластины, заделанной по противолежащим кромкам и нагруженной равномерным давлением (рис.
2.32). Поперечный размер пластины предполагается весьма большим, так что пластина изгибается по цилиндрической поверхности ш = и (х). усилие Т„постоянно по величине, и из условия з„= О следует Т„= рТ,. Рис. 2.22 116 1( — ) их — ~, 3 сЬХ 1 2~ 2 ЛьЬ Л 2 вЬ' Л + Л2 Из уравнения (2.123) находим 1 — ~Р з я~~ 1 3 сЬЛ ! 2 х Ч ~ 3 2 ХьЬЛ 2Ы'Л+ У Р, Учитывая, что Т„= Рт = Р—,', установим после преобразований зависимость между нагрузкой д и величиной Е1 ,а4 Г Л6 2 9 са Х 3 12 ЛЗс1Л 5Ь~Л Л~ (2.124) $' 12 МРХ вЂ” 9Х яЬ Х сь Л вЂ” ЗЛ~ + 2Л~ й~ Х Уравнения (2.122) и (2.124) позволяют, задавая величину Х и определяя соответствующую нагрузку и прогиб, построить зависимость нагрузка — прогиб.
Максимальный прогиб в соответствии а уравнением (2.122) !18 Отнеся в,„к толщине пластины й, устанавливаем, что да' 1э„,„/Ь зависит только от величины — (поскольку Л зависит 0И от этой же величины). Завиеимость — '" от ~ представлена на риз. 2.33 (штриховая линия соответствует линейной теории). Линейность упругой характеристики сохраняется примерно до отношения И = 0,5. Как видно, даже в этом простейшем случае, относящемся скорее к расчету балок, чем % ч пластин, вычисления оказываются весьма громоздааа кими.
Ряд методов приближенного решения нелинейных задач изгиба пластин рассмо-' трен в книге [34 ). Наиболее 2 аа полно исследована задача осесимметричного изгиба круглой пластины при больших перемещениях, В этом вас. 2.33 случае порядок системы диф- ференциальных уравнений (2.1'19), (2.121) может быть понижен. В полярных координатах г, рр оператор, Лапласа имеет вид (2.53): даре 1 ди ! дР ура гру2н, + + ду'Р р дх Р д<рР или, в случае осесимметричной задачи, Рау 1 йрг ' 1 Н / р1уру1 у ну + в"Ф Г— а~2+ р й р й~ й.)' дРург д'пу / дууру Величина — — — ~ — ) представляющая собой дх' ду' ~ дхду ) гауссову кривизну' изогнутой поверхности, выражается формулой В осесимметричном случае эта величина оказывается равной Таким образом, при больших осееимметричных прогибах пластины уравнения (2.119) и (2.121), определяющие функцию усилий и прогибов„принимают вид У'Ф 1 дуру 1 ду)у ууууу — Ч+ (2.125) й~ у" й' + г й й' Гу — ' „" (г " [ ' в (г в ) ]) - р+ ',' (ту, — "' ) .
Р Гуру 119 При этом радиальное Т, и окружное Т, усилия связаны а функцией усилий ф соотношением 1 д'Ф, Н~у)у г г й' ~ йр' Вместо ф можно в качестве неизвестной функции ввести Т, 'т тогпа у, — т~т~т1 н проннтегрнронать первое нв уравнен р й :;;.' (2.125). Таким образом, придем к системе уравнений При этом радиальное перемещение а связано е усилием Тх зависимостью Г г Г д (7'в Н7"1) = [ (г7'1) И'1 ~ ° ЕЬ ЕИ 1й Многочисленные (но весьма громоздкие) аналитические приемы приближенного решения уравнений (2,126) рассмотрены в книге [49 !.
Наиболее эффективным, однако, является численное . интегрирование этих уравнений. Чтобы рассмотреть качественную сторону поведения пластины при больших прогибах, ограничимся весьма грубым приемом приближенного решения уравнений (2.126) с помощью метода Бубнова †Галерки в первом приближении. Рассмотрим круглую равномерно нагруженную пластину. Й~ На краю пластины г = Я прогиб ы = О и угол поворота — = О. й Граничное условие, наложенное на усилие Т„может быть.различным (рис.
2.34). Либо край пластины может свободно перемещаться (скользящая заделка — рис. 2,34, а) — в этом случае Т, О, либо он полностью закреплен (глухая заделка— рив. 2.34, б) — при этом и — — [ — ~гг,) — рТ~) — О. Ргд ЕИ ( Ф При малых перемещениях прогибы заделанной по контуру и равномерно нагруженной пластины определяются уравнением в = —. (1 —. р ) дй4 б4В 1 г где р = —.
И Предположим, что и при больших прогибах форма изогнутой поверхности подобна фор:и), ме ее при малых прогибах; п~ = шо (1 — Р )~ (2.127) где м~, — искомая величина прогиба в центре. Подставим выражение (2.127) в правую часть первого из уравнений (2.126); тогда Рис. 2,34 12о аде р — ' — безразмерный радиуе, И Интегрируя дважды это уравнение, найдем' ~ 8.ЕЬ Г р' р' р' 5 ( 48 12 + 8 + + р' 1 640 Фа 2 ~(р) — в — д+ —, — [! Ор4 — 40р4+ бОр4 — 24р'+ 48А (4рэ — 2)), где А имеет в зависимости от способа закрепления пластины указанные выше значения. Для минимизации функции ошибки в соответствии е методом Бубнова — Галеркина следует умножить функцию 1' (р) на (1 — р')' р др и приравнять нулю интеграл: 1 1(р) (1 -р')'р ~р-о.
Результат вычисления может быть предзтавлен в виде чй' 16 ~~„~ ~~д '1' — +~'~ ) ' Ь" ЕИ 31! — рай) й ~ й) (2.128) Значение коэффициента Ат зависит от условий заделки наружного края пластины. При скользящей заделке А,=б/7, при глухой заделк~ 2 23 — 9р 1=— 21 1 — р * Следует отметить, что линейный ' член уравнения (2.128) соответ- д Я5 1д ы/й Рва 2.35 121 где А и  — постоянные интегрирования. Из условия ограниченности Т, при г — О В = О, поетоянную А определим из условия на внешнем контуре. 1 Для скользящей заделки А — —, для глухои заделки 6 зр 48 (1 — р) ' Подставив теперь (2.127).
и найденное значение Т, во второе уравнение (2.12б), находим, что оно не удовлетворяется тождественно ни при каком выборе постоянной и,. Перенеся все слагаемые этого уравнения в левую часть равенетва, получим функ- цию-ошибку ствует точному решению задачи при малых перемещениях, коэффициент же при '~ — ') получен в результате" применения ~ ь) метода Бубнова — Галеркина. В различных приближенных ивследованиях значения этого коэффициента отличаются на 1О— 12',4 1491. Графики зависимости прогиба от нагрузки для пластины со екользящей (кривая 1) и жесткой (кривая 2) заделками показаны на рис. 2.35.
Из этих кривых следует, что относительная ошибка линейной теории зависит от способа закрепления контура пластины. Зта ошибка не превышает 5% в случае сколь- вящей заделки при — „' < 0,6, а в случае глухой заделки при ~о (О3 Глава 3 Осесимметричная деформация оболочек вращения В основе теории оболочек, как и в основе теории пластин, лежат гипотезы Кирхгоффа, а именно: 1. Материальный элемент, нормальный к срединной поверх.
ности оболочки, остается нормальным к ней н после деформации, 2. Нормальные напряжения в площадках, нормаль к которым совпадает с нормалью к срединной поверхности, пренебрежимо малы. В теории оболочек эти гипотезы дополняются еще одной. , 3. Изменение длины нормального к срединной поверхности элемента пренебрежимо мало. Теория оболочек, основанная на перечисленных гипотезах, была разработана А.
Лявом (37). Сами эти гипотезы получили и литературе название гипотез Кнрхгоффа — Лява. Исходные уравнения рассматриваемой в настоящей главе теории могут быть получены как частный случай общей теории оболочек (ем. гл, 5). Однако простота и практическая важность методов расчета осесимметричной деформации оболочек послужили основанием для выделения этих методов в отдельную главу. 10. Основные аавйсимости Геометрия срединной поверхности оболочки до и после дефор- мации. Положение точки М на срединной поверхности оболочки ' (рис. 3.1) будем характеризовать двумя координатами — углом <р, : определяющим положение меридиональной : плоскости, в которой лежит рассматриваемая , точка, и измеренным по меридиану расатоянием з точки от некоторой начальной 5 .
параллели (или от полюса). При осесимметричной деформации все . меридиональные сечения оболочки равно- правны, н поэтому вущественной является . лишь координата з. Угол, составляемый нормалью к срединной поверхности оболоч' ки с осью ее симметрии, обозначим буквой О, а радиус кривизны меридиана в рассматриваемой точке — Я1. Рис. 3.1 123 По определению кривизны са ~Й Я1 Сечение срединной поверхности оболочки плоскостью, нормальной к оси симметрии; дает окружность радиуса г. Как следует из чертежа (рис.
3.2), выполняются зависи- мости (3.1) й. = да сов О; Ы = Нз Мп О. (3.2) Рис. 3.2 г 1~2 ' ° и1п О (3.3) Заметим„что радиувы кривизны й,, Я, связаны тождеством ~~' =Ф вЂ” 0)сМО, (3.4) которое можно получить, дифференцируя равенство (3.3): а мп' в = созО)с, —.— — — с1д О.
г мп 0 ми в После осесимметричной деформации срединная поверхность оболочки остается поверхностью вращения, и для нее сохраняются приведенные выше зависимости, однако все входящие в них величины изменяются. Пусть в результате деформации оболочки радиус окружности, проходящей через точку М, изменится на величину $ и станет равным г" = г + $, а в осевом направлении точка перемеатится на величину ~, так что У' = Е + ь. Угол, составляемый нормалью с осью вращения, также изменится и станет равным О' = О + О.
В этих формулах $ и ~ — соответственно радиальное и осевое перемещения; д — угол поворота нормали.. С перемещениями нетрудно связать деформации и изменения кривизны срединной поверхности, !24 Если в плоскости нормального к меридиану сечения около точки М провести две нормали к линии сечения, то эти нормали совпадут с нормалями к поверхности и пересекутся на оси ее симметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
