Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В месте крепления (= —" 6 = — ) усилия Тп Тв имеют разрывы. Разрывны и перемещения, подсчитываемые по формулам безмоментной теории. Это свидетельствует о том, что вблизи Рис, 3.13 Рис. 3.14 й 0 =- — возникает изгиб стенок оболочки. 2 Этот изгиб можно опенить мегодамн, изложенными в 3 14. Пример 3.2. Определить усилия в оболочке постоянной толщины, имеющей форму полусферы и нагружепнои силами собственного веса (рис. 3.14, а). Интенснвность весовой нагрузки, отцесенной к единице площади срединной поверхносги, д = РЕЬ можно разложить на радиальное н мериднональное напрааления: ис. 3.15 4„= — рййсозО; и, = рдй з1п О.
Сила г (з), равная весу части оболочки, лежащей выше'сечения ее, харак теризуемого углом О, определяется формулой г (з) = — ~ д 2ягба = — рйй ~ 2птг з)п ОЕ г(0= — 2прйМ'(! — сов О). Усилия Т- и Т находим по формулам (3.27): Р (з) 1 — соз 0 1 2пг з1п О ~ з(пе О 0 2 соза— 2 1 Та — — г(„Р— Т! = — РЕ~В соз 0— 2 созз— Π— ! Эпюры изменения усилий Тт, Та показаны на рнс. 3.14, б. Пример 3.3.
Определить усилия, напряжения и перемещения, возникаю щие при быстром вращении оболочки вокруг осн симметрии. В атом случае (рис. 3.15) интенсивность сил инерции, отнесенная к единице площади срединной поверхности, составляет рйа"'г. Так как силы инерции пер.
пендикулярны осн вращения, осевое усилие в любом сечении оболочки равно нулю (Р (з) = О). Нормальная к поверхности оболочки составляющая ипер ционной нагрузки Ч„= рЬваг з!и 0) и, следовательно, интенсивность силы Т, в меридиональном сечении составляет г Т, = г)айа = Ы . = рйаз'га. з1п О Итак, материал оболочки находится в одноосном напряженном состоянии, причем напряжение и = — = ргвагз. Та й Перейдем к определению перемещений. Радиальное перемещение г рщз (Т Т) з Ей а Е Угол поворота б определяется по формуле (3.14), в которую следует под. ставить п2 ' ре ах = — р — = — р, — г Е Е 141 тогда 1 1 п$ т, (изз Е = — (з, с Š— — ) - — (3+( ) — ' с1п ).
— з!пв ~' а1 и Для перемещения ь получаем по формуле (3.31) (и)2 с / 3 ~=С+ ~(е,з)не+()созв) да=С вЂ” ~ ~ (3 з В+и1 —,(а. ) зги в Особенностью рассмотренной задачи является то, что ни изпряжения, ни перемещения не зависят от толщины оболочки а н от закона изменения толщины вдоль меридиана.
3 12, Осесимметричный изгиб цилиндрической оболочки Для симметрично нагруженной цилиндрической оболочки е постоянной толщиной атенки общие формулы у 10 аущественно упрощаются, В этом елучае (риа. 3.16) г К = Я; 1~, = оо; () = " . Формулы для деформаций срединной поверхности, угла поворота нормали и параметров изменения кривизны (ем, формулы (3.7), (3.9), (3.14), (3.15) и (3.16)1 получают вид Ы~ е ~ ° т д а (3.38) Ф~ аая ° х,= — = — —,' йаа ~ ха=О. Уравнения равновееия (3.22), (3.24) и (3,25) можно теперь записать в виде Р(а) „' Tт ы~ ' — — Я О дМ, оя Ф где Р (з) — растягивающая сила в по. перечном сечении оболочки.
Рис. З.Ы Уравнения (3.38), (3.39) вместе с уравнениями упругости ЕЬ еь Т, =, (з1 + ре~); Т, = —, (з, + уз 1); М, =В(х, +рх,) =Ох,; М,=В(х, +ух,) = рМ, (3.40) составляют полную систему уравнений задачи. Преобразуем эту систему следующим образом. Усилие Т, = = — является известной функцией продольной координаты з. Р (к) 2пг Усилие Т. ,можно с помощью двух первых уравнений упругости выразить через Т, и е, = —, т. е. Т, = рТ, + ЕИе, = рТ1+ ЕЬ вЂ”. Из второго и третьего уравнений равновесия исключаем поперечную силу Я: — — — + Ч» =(). ~(~~И1 т 'а (3.41) Момент М, выразим через радиальное перемещение; Д2$ М1 1)х1 0 ЙЯ~ В результате подстановки значений силы Т, и момента М, в уравнение (3.41) получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно радиального перемещения й: ЕЬ !2 (1 — ~Р) где 4~4 = — = ЯЧР (3.42) 343 Уравнение (3.42) должно быть проинтегрировано е учетом граничных условий (два условия на каждом торце оболочки).
Эти условия могут быть наложены либо на радиальное перемещение $ и угол поворота б, либо на поперечную силу Я и момент М„либо, в случае упругой заделки торцов, они должны связывать перемещения с силовыми факторами. Изгибающий момент М„ поперечная сила 9 и нормальная сила Т, выражаются через радиальное перемещение $ по формулам М, = Вх, = — 1'.) — „,; ~(2~ Четыре линейно независимых решения однородного уравнения — „,, +4рЯ = О Д4$ (3.44) распадаются на две группы: убывающие е роитом а е--из (С, коз рз + С, з1п рз) и возрастающие ез-' (Са воз.))з + С, з1п Рз). Общее решение неоднородного уравнения (ЗА2) можно представить в виде $ = $з + ~ + ~~, где $е — какое-либо частное решение неоднородного уравнения.
Определение частного решения неоднородного уравнения выполняется, как правило, без затруднений. Если правая часть уравнения (ЗА2) (т. е. интенсивность нормальной нагрузки д„ и продольная сила Т,) меняется в зависимости от продольной координаты з по степенному закону с показателем степени, не превышающим трех, то частное решение уравнения (3.42) следующее: (3.45) чля' тая ~о = — — Р—. ЕЬ ЕЬ Нетрудно написать и точное выражение для чаптного решения уравнения ' (3,42), однако необходимости в этом чаше всего нет. Обычно оболочку можно разделить на участки, на каждом из которых нагрузки меняется достаточно плавно, и справедливо частное решение вида (ЗА5).' Каждый из таких учаатков рассматривается отдельно, а затем выполняются условия совместности деформаций участков.
Тот же прием используетая и в тех случаях, ' такое решение, которое может быть получено методом вариации постоянных, имеет вид $з = 4Р ~ Кз (Р (з — о)) ~р (а) с(о, о где К-(рз) =- — (а)1 йз з(п рз — зЬ |)з ем рз) ср (з) = — — р — . ! ч,Е тУ 4 Ей ЕЬ Если правая часть уравнения (3.42) меняетая по какбму-либо . другому закону, но достаточно плавно, то выражение (3.45) также может быть использовано как п р и б л и ж е н н о е частное решение уравнения.
Необходимым условием этого является еильное неравенство когда нагрузка на оболочку имеет особенности (нагрузка, распределенная по окружности и т. и.). Решения однородного уравнения 1 и 1+ изменяются очень быстро. Уже при рз = 3 еав . 20. Поэтому, если длина участка з 3 оболочки превышает 1 > — „=, ' 1/722 11 = 2,2 (ГЖ~, то 1в'3 11 — 122) на левом его конце существенно, лишь убывающее решение ~, а на правом — только 1 . Оболочки, удовлетворяющие этому требованию, будем называть длинными. Расчет длинных оболочек особенно прост, так как граничные условия на каждом из торцов могут быть удовлетворены независимо.
Рассмотрим решение однородного уравнения (3.44) для длинной оболочки. Если длинная оболочка нагружена только на одном торце (з = О), то ее деформации описываются функцией 1 и быстро затухают с удалением от нагруженного торца. Поэтому оболочку можно считать пол у бесконечной. Функцию,1 представим в виде ~ = е- ь (С, соз рз + С, з(п рз) = Ае-а' соз (рз + 2(2), где постоянные С, и С, заменены постоянными А, 212.
Установим формальные правила дифференцирования функции ("-: 4 — „' = — АРŠ— ав (СОЗ (РЗ + 2)2) + З1П фЗ + 2)2) = =л22вве-~осев(2в+вв+ в„). взвов Таким образом, при дифференцировании функции ~ ее амплитуда А умножается на р 1/2, а фазовый угол 2(2 увеличивается 322 на 4 . Используя это правило, найдем — =А.2~ е-з~соз(~з+$+ '4" ); ~ — А 2 в в2~ве-в' сов (вв -)- св -)- — ) . Рассмотрим полубесконечную оболочку, нагруженную на торце з = 0 моментом интенсивности и (рис. 3.17). ,":., Радиальные перемещения выражаются "' затухающим а увеличением з решением однородного уравнения $ = 1' = Ае-"' соз (рз +ф), (3.47) Поатоянные А, Ф найдем из гранич- ~2 ных условий на нагруженном торце (в а=О Рис. 3.17 — ВА~'2соз(ф+ — '" ) = т; =-ВА~' 2~/2соз (~ -(- — ) =О. Из второго уравнения определяем наименьшее значение фазового угла ф = —, а из первого 4! 20~~ соз— 4 Окончательно находим выражения для перемещения 1= — д, 1 2е-1 сон(~я-'; — ) (3.48) и для угла поворота касательной дз 2Ц3 — = — О = — —,2е-О' соз (1)в+ я) = — е-Р' соз рз.
= 1ф На нагруженном торце в = О имеем т д$~ т $~=~= — —, 2ЕФ' О 1=о 1Ф (3.49) На риа. 3.18 представлены графики изменения перемещений и внутренних сил по длине оболочки при рассмотренном способе ее нагружения, Как видно из графиков, все величины затухают практически полностью уже на расстоянии 3= — „= 2,2 Р'Яй огов я/о 34 оов Рис, 3.19 Рис. 3,18 Используя при дифференцировапии установленное выше правило, получим от нагруженного торца. Такого рода быстро затухающее напряженное и деформированное состояние оболочки называется краевым эффектом., Аналогично, рассматривая нагружение цилиндра приложенными к торцу поперечными силами интенсивности Я, (рис. 3.19) и определяя постоянные в выражении (3.47) из условий Д3$ 0 !~=0 = ~-~ 3 (~0 й ~и=0 получим ь = — 21,а, СОЗ РЗ На нагруженном краю э = О Юо ~ !з=О = ~без 1 6 ! 17о й ~~=о 2Е1~2 ' (3.50) Коэффициенты при т и Я, в формулах (ЗА9) и (3.50) можно рассматривать как коэффициенты влияния сил т, Я на соответствующие им перемещения.
Если положительные направления нагрузок принять такими, как показано на рна. 3.17 и 3.19, то коэффициенты влияния окажутся равными 1 1 1 6п — ~, 6и — 6м ~~,, 6м — 21 ~,, (3.51) , где индекв 1 относится к моментной нагрузке (и углу поворота), :.-а индекс 2 — к поперечной йагрузке н радиальному перемещению. Рассмотрим теперь короткую оболочку, нагруженную по тор', цам (рис, 3.20), Если величина р1 ( 3, то в решении однородного .уравнения следует сохранить как возрастающую, так и убыва:-'-ющую части. Ради удобства вычислений целесообразно выразить .решение однородного уравнения через функции А. Н. Крылова, :,являющиеся линейными комбинациями функций 1 и 1+.
Функции ':А. Н. Крылова имеют аледующнй вид: К, (х) = сЬ х соз х; 1 К2 (х) = -у-(сп х з1п х+ ЯЬ'х соз х); К,(х) = -й-зЬ хз1пх; 1 1 К,(х) = — (сЬ хз1п х- зЬхсозх). (3.52) !47 Эти функции являются решениями однородного дифференциального уравнения Уя — „, +4д=а. Производные функций К, (х) выражаются через эти же функции по формулам — К,(х) = К„(х); — „К,(х) = К,(х); (3.53) — К,(л)= К,(х); ~ К,(х)= — 4К,(х). д При аргументе, равном нулю, К, (0) = 1; К,„(О) = К, (0) = = К, (0) =- О. Эти свойства функций Л. Н. Крылова в большой степени облегчают определение постоянных интегрирования в решении дифференциального уравнения (3.44) для короткой оболочки.
Решение однородного уравнения можно представить в форме $ (з) = С,К, (рз) + С.,К, (рз) + + С3К3 (Й) + С4К4 (Р)' (3.54) В этом случае постоянные С, (1 = 1, ..., 4) имеют следующие значения: с,=ц,,; с.— — —,! 1 ~$ я=О (3,55) Поэтому граничные условия при з = 0 позволяют в большинстве случаев непосредственно найти две из четырех постоянных, входящих в выражение (3.54). е Пусть, например, короткая "Ъ оболочка нагружена моментом интенсивности т, на торце а = 1 ск (рис. 3.21). Так как при а = 0 М,=О, Я=О, то в общем решении (3.54) равны нулю по- 3 стоянные С, и С,.
Тогда $ (а) = С ~К ~ (рз) + + С,.К, (рз). (3.56) Постоянные С,, С, найдем из условий при з = Рис. 3.21 148 М1~,=1 = —  —,~, =т~', (,1 ~, г = —  — „", ~ = О. (3.57) дифференцируя (3.56) с использованием соотношений (3.53), приведем граничные условия (3.57) к виду — аР'(С, ( — 4Кв(Л)) +С, ( — 4К,(Л)Ц = — В~' (С, ( — 4К, (Х)) + С,, [ — 4Кв (Л) Ц = О, (3.58) где Л= 6(=,~3(1 1~ ~~А Из уравнений (3.58) находим С1,, К' ~М 4(1Р к'(л1 — К,(л)к,(А) ' С,— к, (л) ~Ф' К",, Р,) — Кв(Л1К, (Л) Постоянная С, представляет собой перемещение Ц, о, а 1 с$1 с,— — — 1 й 1в=о' Перемещения в нагруженном сечении можно найти, подставляя в формулу (3.56) в = й $!,=~ = С,К, (Х) + СвК, (Л) 4врз КД(Л1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
