Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Промежуточные по точности формулы й (3.90) полезны для расчета коротких оболочек. Как будет показано далее, получаемые в соответствии с этими формулами "0 коэффициенты влияния для таких оболочек удовлетворяют принципу взаимности работ. Рассмотрим на основе изло- Ф женной теории нагружение длинной оболочки вращения распорной силой и изгибающим моментом, приложенными к торцу оболочки (рис. 3.24, а, б).
а~ Сначала будем основываться на простейших соотношениях (3.91). Поступая так же, как при расчете краевых эффектов длинной цилиндрической оболочки, примем для функции Ф выражение Ф = Ае-" соз (х+ '$), (3.92) где х = ~ р дз; начало отсчета 0 б2 з совмещено о торцом оболочки. Рис. 3.24 из где (1~ — значение р при з О. Пользуясь правилом дифференцирования функций типа (3.92), находим Ф" 2Ае — 'соз (х+ф+ — ); зя ~ Ф" = 2)Г2 Ае-'соз (х*~(+ —" Для выполнения первого из условий (3.93) примем ф = О. Тогда второе условие (3.93) дает А= — — з1п Оа. ~а з З.ОРЗ Следовательно, 5 =- Ф = — ", е-' соз х; л~о ма ео 2ВРЗ мп06 ~ Зп ~ М = У ' е- соз ~ х + — ~ (3.94) Ф = й,)~ 2е — 'соз (х + —,) .
0 перемещения а~~ ма в~ 2Щ На нагруженном контуре х Ь Ф з1а'а~, 20Й Рассматривая на основе простейших соотношений (3.91) нагружение оболочки моментом и, (см, рис. 3.24, б) и определяя постоянные А, ч. в выражении (3.92) из условий М~1=а = ~л„ Ю~„.=з = О, получим в этом случае шо зга ао / Л ~ 1 = Ф = — е= соз (х + — ) ' 1 20Ц б = — 'е-"соз(х+и); ОРа М, = и, 1/ 2е-" соз (х (- 7 и); В случае нагружения распорной силой постоянные А, ф должны быть определены из условий при х = 0 М, = О; У<" = Ж,.
В 'оответствии с формулами (3.91) из этих условий следует ср" (О) 0; Ф" (0) *= — —" з!и'Оо, (3.93) М =,, ',' 2е-' сов ~~ х + — "). (3.95) Перемещения на нагруженном торце ~по з1п Оо 2Р~~~ тч юо Рро * Рис. 3.2Э Коэффициенты при Л', и то в формулах-для перемещений можно трактовать как коэффициенты влияния; они определяются фор- мулами 1 з1п Оо гон Ф 11 Рро 12 2РО~~ 2 1/3 (1 ро) Р (3.96) М з1п' Оо ге ов = =2Ро— 2Ррз яа Отметим, что прн использовании для расчета длинной оболочки вместо фор. мул (3.9!) формул (3,90) получаются те гке самые значения коэффициентов влияния, хотя законы изменения перемещений и сил по образующей оболочки в этом случае несколько отличаются из-за присутствия переменного множи- У г теля ~г — в1п О.
г' а Если руководствоваться более точными зависимостями (3.83)— (3.89), то могут быть получены следукнцие формулы коэффициентов влияния (положительные направления усилий и перемещений см. на рис. 3.25): 6 ! Еф„! с!2Оо (' 1 1 — 4!о ) 4ра ~ Й1 ого зп1 О„ в /з!и Оо где ~, = ~/3(1 р, ) ~у —; положительные направления 'о" перемещений и усилий показаны на рис 3.25. Сопоставление полученных значений коэффициентов влияния с аналогичными коэффициентами влияния для цилиндрической оболочки (см, с, 147) показывает, что формулы (3.96) отличаются от (3.51) лишь наличием степеней з)пО и при О = — совпадают 2 с ними, (3.97) б 81н'00 41~РВ с1дво 1 1 4н Йр 46б 1 йр и ' См Бидерман В.
Л., Мартьянова Г. В. Коэффициенты влияния для симметрично нагруркеннык оболочек вращения и пределы применимости метода Штаермана — Геккелера. — «Иэв. АН СССР, МТТ», 1976, № 5, с. 53 — 59. 166 где — и — — кривизны оболочки у торца; лт1 ххр Сравнивая эти формулы с более простыми формулами (3.96), видим, что расхождение между ними не превышает величины порядка р' ч / 5 с!паз т РВ т ~1 + — ~ . Если эта величина мала, то можно Яр ~ к 7' смело пользоватьая формулами (3.91) и (3.96). Заметим, что при иапользовании формул (3.97) аледует вносить в них значения 61н ΄— е теми знаками, которые были приняты при выводе ' 1 0» дв аа ! бь формул (т. в. а учетом зависимоатей — = —, — соз О, аэ 1ст ' 2!В и — „, = Яа, причем з возраетает е удалением от нагруженного края), Правильные знаки О, — показаны на рив. 3.26.
1 в Рассмотрим два учантка сферической оболочки — верхний (риа. 3.27, а) и нижний (рис. 3.27, б), При расчете по формулам (3,97) коэффициенты податливости б,, б„для верхнего участка несколько больше, чем для нижнего, тогда как согласно формулам (3 96) эти коэффициенты одинаковы. Сравнение приближенных значений коэффициентов влияния по формулам (3.96) и (3.97) а коэффициентами, полученными путем точного интегрирования уравнений Мейснера ", показывает что погреш исеть указанных формул зависит от величины 1/тса7рт 1д О».
Погрешновть формул (3.96) не превышает 6% при ~/Я,,/Б 1д ОВ > 6 и 10% при ф~Я,~~ 1д О, > 3. Для формул (3.97) соответствующие предельные значения 1: вР,ТЙ 1В О, примерно вдвое ниже. Приближенное дифференциальное уравнение (3.81) можно использовать для раачета не только длинных р с1з~ 3 .
но бх н коротких 1 р шх (э) оболочек. В етом елрчее выражение лли вспомогательной функции Ф должно еодержать как убывающие, так и возраатающие н ростом аргумента х алагаемые. Рис. 3.27 Как и при расчете коротких цилиндрических оболочек, в этом случае удобно выразить общее решение уравнения (3.81) через балочные функции А. Н. Крылова Ф (х) = С,К, (х) + С,К, (х) + + С»К, (х) + С»К» (х), (3.98) <д с»4а»~ где К,(х)=сЬхсозх; К,(х)= 1 — (сЬ х 31п х + зп х соз х); Рис, 3.2В К»(х) = — 311хз1пх, К» (х) = — (с)1 хз1пх — з)1хсозх). 1 1 »1 при х=» м,=т;, рр'~ = й, (»= 1 рр).
(».рр) рр 167 Входящие в выражение (3.98) постоянные С; (1' = 1, ..., 4) определяются из граничных условий на обоих краях оболочки. Рассмотрим короткую оболочку, нагруженную на торце з = з, моментом т, и распорной силой АР, (рис. 3.28). Расположим начало » отсчета координаты х = ) 11 дз на свободном торце (3 = 3„) »а Тогда будем иметь следующие граничные условия: прих=О М,=О; МО>=О; При раечете воспользуемея формулами (3.90). Тогда из условий при х = 0 следует Ф Ф "(0)=0, Ф"'(0) = О. Отсюда вытекает, что постоянные С; и С, в выражении (3.98) для функции Ф (х) равны нулю и, значит, Ф(х) = С,К,(х) + '»»» + С,К, (х). (3,100) Граничные условия при а=а» (х=Х) е учетом формул (3.90) приводит к выражениям В11,' — ' з»п О; — Ф"- (Х) и;, »» Б!и 3» — Г »Б1аО . Ф (Х) У , з.Гз~~в~ где р» 1 3 (1 — р.') ~Г и: индекв 1 относитвя к значе- 1 ниям переменных на нижнем (см.
рие. 3.28) торце оболочки. После подстановки выражения (3.100) и ч учетом правил диффе- ° ренцирования функций Крылова, получаем ф~ —" з1п О, —.' (4С»К~ (Х) + 4С,К» (Х)1 и»; у' — '„' а О,,,",»', НС,К,Р)+»с,к,р~и-м„ откуда Л з -Г~,, Ь, ВЯ 1 †' и в» >» где»'-'» = '1 1Кз(А) Кю (1») К4 (А)1 д (зЬ»» з»а 1~), Подставив значения поатоянных в выражение Ф (х) и затем в формулы (3.90), нетрудно найти перемещения на обоих торцах оболочки.
При»=ь„х 0 Г г,, г.„ Ц,=,„=Ф(О)» а1аОо= С» .,» з»пО»= '~* »„~;д В„( 'л„»Ц»п о» Д»(А) А иш» 6» Е'» 1А) РЯ Ь щ» а 11 1ба з1п Оз г 6 $1п О(> г~ Мп 00 ~5„(' т з1п О К1(),) Л Мпз 0~ Кз (Х) ~ г, з1п О, з(п О„ 1 ОЯ Л о При а=а, 4 з /' Ц... = + з1пО~Ф(Х) = 'ф/+э1пО (С К1(Х)+С~К~(Х)1= т,з1 О,К~(),) — К,(иК,().) )Ч, 1 О,К,())К,Р) — К,().)К.('О Ь + Е1Рз Ь д~,, = — 1à — 'з(пО, .' Ф'(Х) = = — 1~ — ' з1п 01 —.1 — ( — 4С1К (Х,) + С,К„() ),' = г 6 ~ з!и гп; Кг () ) Кз () ) + 4Кз (Ц К4 ()) Ж1 з1п О, 4К( () ) + К1(Х) Кз (Х) В приведенных выражениях гза гф Аналогичные вычисления можно проделать в том случае, когда нагружен торец оболочки а = аз.
Соответствующие формулы получаются из предыдущих путем очевидных замен. .Коэффициенты при т и У в формулах для перемещений можно рассматривать как коэффициенты влияния. Значения этих коэф-' фициентов, соответствующие положительным направлениям сил и перемещений, показанным на рис. 3.29, определяются по формулам, приведенным ниже (первый индекс соответствует направлению перемещения, второй — направлению силы): бм — — '(К (Х) К (Х)+4К (Х) К (Х)) =— б1з=бз1 =~ рз,~ГК1(~) Кз()~)+ + 4Кз ®1 яп О, сЬ'л — соз' Л ~~~>рг йзз = пппб (Кзй Кз()') ('о %( )К4®)= з1п' О, сЬ Х й Х вЂ” соз ). з1п Х 2Л 1 20Я Рис.
3.29 4 «Ов1пОО Доз)па, К,(Х) 1 .у,«««1 Ке(Х) ° «, в)п О„01 вш О, 0()1 Л 0)~ Д4, В' ~. а вШ О,р, вш О, К,(Л),',/"«д »1 О, вк О, К„~Л>. ~««,»ШО, О,вша, ВО)а 'Г «,Мпво О))) а — — з1п 0„ «О вш ОО К4 ('") «д вш О1 01»16 »9 где Ь а~ 4[Кз(«) «(з® К4(«1')) = 4 1з»д )О з1п Ч Остальные коэффициенты влияния находят следующим образом.
Формулы для 6„, 6„и 6»4 =. 6„получаются соответственно из формул для 6,», 6„и 6», заменой «о «„~» рд, 0» О,; формулы для 6,», 6„, 64, и 6„— соответственно из формул для 6»„6»4, 6„и 6», пРи замене «о «д, Ро Рд, 0» 0». Во всех записанных выше формулах 1 (в ' З(1 дз) Так как 6»з + 6»д, 6»з + 6»з 6»4 + 64» " 6»4 + 6»з~ то может создаться впечатление, что не соблюдается принцип взаимности. Однако зто не так.
В самом деле, хотя «д Мп Од в1п О Кз(Х) 6»»а~ 1 отличается от 6, (формула для 6»4 получаетая из формулы для 6», путем опиаанных выше замен): ~«««, в«п О, в!и О, Кз()О) ~4» ))' « в)п О (»о но работа краевого момента т„приложенного на верхнем торце, на перемещении, вызванном нагрузкой Уд, приложенной к нижнему торцу, «и '2«д«ой»6»4 равна работе Фд 24»«»««»»64» нагрузки «1«д На ПЕРЕМЕЩЕНИИ, ВЫЗВаННОМ МОМЕНТОМ то. Таким образом, поскольку под нагрузками понимаются нагрузки, отнесенные к единице длины параллельного круга„ соотношения взаимности работ имеют в данном случае вид «'»6м «Ад' «»6»з «»6»»1 «о6»в «»6»з) «о6»4 «»64» Нетрудно видеть, что эти соотношения выполняютпя.
170 а) Рис. 330 Рис. 331 Соблюдение условия взаимности работ является преимуществом формул (3.90) перед более простыми формулами (3.91), хотя фор. мально порядок ошибки, допускаемой этими формулами, одина ков. Для длинной оболочки (Х ~) 3) формулы (3.101) приводят к тем же значениям коэффициентов влияния б,~, б„, б„, которые выше (см. с. 165) были получены на основе простейших зависимостей. В качестве примера применения теории краевого эффекта рассмотрим расчет цилиндрической оболочки с полусферическим днищем (рис. 3.30, а). Оболочка нагружена давлением р. Сначала рассматриваем' безмоментное состояние сферической и цилиндри ческой оболочек в отдельности (рис.
3.30, б). В сферической оболочке Д~~ = ~у, (1 р') о РЙ., РЙ В цилиндрической оболочке а Я, о- Я о о,9Я~ Т,„; Т,„:=РВ; др„= (т,„— рт,.) = —,(2 — р). 3 ' ' ЕЬ ЗЕБР Так как в месте стыка оболочек Тм — — Т~„, то безмоментнсе состояние удовлетворяет статическим условиям совместной работы оболочек. Однако условия совместности деформаций не выполняются — радиальное перемещение цилиндрической оболочки больше, чем сферической. Поэтому в месте стыка оболочек возникают нетангенциальные силы взаимодействия Мр, то (рис. 3.31), вызывающие напряженное состояние краевого эффекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
