Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 23
Текст из файла (страница 23)
формулу (3.76) ) 15 ас1да 15 16 ь' з (1 и»1 4х» ' Таким образом, уравнение (3.75) получает внд ~1»о» ~ . 15 1 — '+ ~21 — — — ~ а =О. «Ь» 4 х»~ (3.104) Известно ', что дифференциальное уравнение 1(У + (Р— — "„, ' ) 11У -0 (3.105) ' См. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., «Наука», 1964, с, 245 179 имеет решения Зг~хЛ„(рх), где Л, (рх) — бесселевы функции порядка ч от аргумента рх.
Нетрудно видеть, что уравнение (3.104) 'принадлежит к виду (3.105), причем ~ = 2, р = ~'2~,. Таким образом, решения уравнения (3.104) а, )/ х7,(х )/2»), причем два линейно независимых решения соответствуют двум различным бесселевым функциям. Таким образом, решение уравнения (3.104) можно представить в виде а, ~х [Сна (х )~ 21) + Са01 ' (х 1Г21) ], Учитывая, что )~ х пропорционален ~ э, переходя к основной переменной о = аа (з а(п 6 соз О) ~ и изменяя постоянные интегрирования ффнайдем а=д+~ ', ' Ъ'=С1./2(х)~2с)+С~Н5'(х1"Б), (3.106) где У~ — функция Бесселя второго порядка; Нз — функция Ган(и келя первого рода второго порядка.
Функция 1~ ранна нулю при х = О, а функция Н)" имеет в этой точке особенность. В решение введена функция Ганкеля, так как это единственная из бесселевых функций, стремящаяся к нулю при неограниченном возрастании комплексного аргумента. По известным для функций Бесселя зависимостям перейдем от функций второго порядка к функциям нулевого порядка. При этом используем следующие формулы: Е„, (г) = — Л, (г) — Я,, (г); — г, (г) = — г, (г), 0г где Л вЂ” любая из бесселевых функций. С помощью этих формул найдем ,/,(х )~ 2~) = — 1,(х )/ 2() — = 1, (х 1/21)„ 7~ 3/ 2с 4 (х $' 2с) или 1, (х )/ 21) = — У, (х 1/21) + ю' = — -40 (х )' 2~) .
х 'г 2 д (х 1' 2) Аналогично, Н~~п (х $/'21) = Н~о ~ (х 1~ 2() +» = Н~ (х 1Г21). х 1' 2 а (х 1'. 2) Функции 10 и Но ~ от комплексного аргумента х)~21 выражаются через действительные функции действительного аргумента Ч = х рГ2,функции Кельвина) по формулам 1о (д 1П) Ьег (д) — 1 Ье1 (д); Н5" (д)/2) = — — (ке1 (и) + Е 1~ег (д)1. Таким образом, окончательно 1 (д7 ') = — 1 (4 — Ч~(д)'-Н~ (д~~') = — ~,(у) — Ц,(д), (3.107) где ьао . вдесь ~)о,(д) Ьег(д); ~,(д) = — Ье)(д); 2 . 2 ~Ъ(д) = — — „Ке)(д); ~р,(су) = — — $сег(д); штрихи означают производные эгих функций по аргументу о. Таблицы функций ф (Ф = 1, ..., 4) и их первых производных приведены, например, в работе 15б).
Последующие производные этих функций по аргументу д выражаются через сами функции '- по формулам 4(1) =~' И)- — 1>'И) ~ (~) -1 (Ч) — — Ф(Ф О Ц (3.108) 1 1 фЗ(Ч) = ~4(Ч) — — фЦ(Ч)х $4(Ч) = — $3(9) — — ф4 (4. В области малых аргументов для вычисления функций ф удобны следующие разложения: ~,(7) — 1 — —,( — )+ —., ( — ) + М.(о)= —,Ыо~ — — „!к,<о~З-Маго х,'о); <з.юане 1 2 о, (ф = — хо ~с~ + — Рс, (ф + х, СО~ ~о х'х 1, где Я„1,+ — + ° ° ° + —; 1п у, 0,57722, 1 1 При аргументах д ~~ б целесообразно использовать асимптотические представления функций г (х~/2) ~,(д)+ — %(Ч) ~ 1сос (х — — ") — сох (х — — )1; )х 2ях)'21 ах $' 2 181 гз (х )/2) = в)вз(д) — — $1(Ч) ~ з)п ~х — — ) ,' )/ 2дх )в'2 " 8х 1/2 7з (х )' 2) = фз (с7) + — ф4 (с7) ~ [ввв(х-~- — ) -1- в~в(х -~- в )]; 74 1х 1/2) = 3(74 (Д) — — фз (в7) — Гсов (х ~- — ) -х = хов (х .,'- — )~.
~31!О) 1/2лх $' 2 Г 8х 1/2 Представляя комплексные постоянные, входящие в формулу (3.10б), в виде С, — (А, + )Вз); С, = — (А, + (В,) и отделяя в указанной формуле действительную и мнимую части, получим О А Ув7) ВД ('7) + АЬ ( 7) В~4 (7) елз (3.111) Ъ' = (АДз (г7) + ВД (!7) + Аз7, (д) + Вз7з(г7)1 У 12(1 — р,х) Следует учесть, что формулы (3.111) представляют собой лишь решение однородного дифференциального уравнения, и для получения общего решения задачи к этим значениям б и Р должны быть добавлены частные решения неоднородной задачи. Учитывая, что частные решения отыскиваются по безмоментной схеме, соответствующее выражение (б') должно быть добавлено только к б, так как в безмоментной теории 17 = Щз = О.
Ю ~Л~ Вычислим производные — и —, необходимые для расчета 4з ~Ь внутренних сил 'и перемещений. При этом учтем, что с~7 ~1~ й~ () и7 вЬ сЩ сЬ 2з й~ ' Таким образом, — = + (АД (с7) — В)7з (д) + Аз7з (с7) — Вз74 (~7)); (3.112) — — 1Ап2 (Д) + В171 (в7) + Аз) 4 (в7) + Вз)з (в7)).
в)з г, 12 (1 Гхх) 2з 182 Учитывая выражения (3.107) функций ~, и правила дифференпирования функций ~, (3.108), найдем 6(ч) 6(4- — 1 ® — ° Ф(ч)' 72(47) $2(~7) ф2 (с7) + ~ $1 (47)1 (3.113) 73(Д) ~ фв (Д) $3(Ч) в $4®1 / 2 4 14(Ч) ~ чч(Ч), ~(~4 (Ч) + „з ~в(Ч)' 2 4 ~у о Р (в) , о с 1 2 . О 1 Т2=Ц~Я2=9л 1 ж вш в!пО с п:з ге~ = — (Т2 ~АТЬ) Р (в) (3.114) Суммируя эти величины с величинами, соответствующими однородному решению, получаем значения полных усилий и перемещений в оболочке: Т Т+ — т сов О Т2 — Тв + а Л~ Я=— в!и О сВ + совО $ $+ — ( — — р — Р) б 0'+„~0) Здесь б — угол поворота нормали из решения однородной заи) дачи.
~вз Запишем выражения перемещений и внутренних сил в оболочке е учетом частного решения неоднородной задачи по безмоментной теории. Это решение дает следующие значения усилий и перемещений (см. $11) для конической оболочки: /Е! /Л7 Входящие в эти выражения величиныд„— „', 1~, — „опреде-. ляют в зависимости от безразмерной координаты о= о!/!2!! — о! !// — = 2!/!о!! — о! !/ —, по формулам (3.111) и (3.112), в которые входят четыре постоянные А„В; (1 = 1,2). Для оболочки в виде усеченного конуса постоянные определяют из граничных условий на обоих торцах. Если оболочка замкнута в вершине и сосредоточенная сила в этой точке-не приложена, то обращаются в нуль постоянные А „ В„которые множатся на функции, имеющие особенность при з = О.
Оставшиеся постоянные А„В, находят при этом из условий на торце оболочки. Случай оболочки, нагруженной осевой силой Р, в вершине, требует специального рассмотрения. Исследуем деформации оболочки вблизи вершины. Сначала найдем решения неоднородной задачи. Для данного вида нагружения из уравнений безмоментной теории (3.114) следует 2оив!пВ 2п МпВсооВ о * Г ~ = — (т,— рт!)=-р — —. Е!! 2иЕ!! з!и 0 б.
= . — с1дО= о . ' Ео !о ! Е!! о!и 0 2л~Р 2ооЕН о!и ' В /!о 2лЕа о!и В оо Если оболочка длинная, то решение однородного уравнения вблизи вершины содержит только члены с множителями А„В, (т. е. имеющие особенность при з = 0). Таким образом, для угла поворота нормали, суммируя решения неоднородного и однородного уравнений, получим 2яИ, впоВ, +АЬ(!1) — Вйой) Теперь постоянные А, и В, можно определить из условия 6!, о = О. Используя (3.109) и опуская слагаемые, содержащие вторую и более высокие степени д, найдем ! (!)) = — — — + — /! 1и — + ° ° ", 4 ! ! о 'Ы 3 и !!2,$я 2 1ой) = — + "" ! Учитывая, что — — 1к 01г 12 (1 — )!о) —, ! о ! 5 И о Р для равенства 6)5 — о = 0 необходимо, чтобы Таким образом, получаем окончательно *"* го' ~ 3 (! — )оо) Г ! л — —, Ь(ч)~ причем выражение в круглых скобках обращается в нуль в вершине конуса (О = О).
Для производной получаем о!П 4З (! Ио) )оо Г 2 й лсоооа еио 1 цо 4д ~ (')) ' Используя разложения (3.109) функций ор„нетрудно устаноЛд вить, что величина — имеет логарифмическую особенность вида Ю 3 (! — н') Ра — во~ — 1п «+ ° ". о!о л сооо 6 ЕИо Эта особенность точно такого же характера, как и при изгибе пластины сосредоточенной силой (см, ~ 2). Она влечет за собой также логарифмические особенноати в величинах моментов М„ о!(г М,. Величины 1' и — изменяютея вблизи вершины в соответй етвии с завиеимостями Ео а з)а а соо З Ро (Ч)о о(Р Ео ч" — — 2.
!'4()). Определяя теперь вилы т,- ра — + — У; соо З ~л ош 0сооз и г мп 9 можно установить, что силы Т, и Т, в вершине оболочки остаются ограниченными, а сила Я имеет особенность вида (о ( Я + ° 2л сове где для сферы о, =тlгз(пОо =)/Т))Гзв(пОа; (4 4 ' (3.115) Точное решение уравнения (3.75) в данном случае выражается через функции Лежандра с комплексным параметром, для которых отсутствуют таблицы. Для того, чтобы получить удовлетворительное решение, достаточно аппроксимировать функцию ) (х) в области малых углов 0 (так как при больших О справедлива теория краевого эффекта, в которой функцией ('(х) пренебрегаем).
Поэтому можно положить —,1К О« —,; .(Д 0 — „1 з тогда з а ( з 4 р з (( „р) Я У 4х~ Таким образом, для сферической оболочки уравнение (3.75) может быть приближенно заменено уравнением —,"+ (21 — —,)о, О, (3.116) справедливым как при малых, так и при больших (но не превышающих сушественно — ) углах О. Нетрудно обнаружить, что Проведенный анализ показывает, что приложенная в вершине вила воспринимается оболочкой посредством изгиба (как плаатиной), и лишь на таком расстоянии от вершины, где функция Н2" (д~/Т) становится пренебрежимо малой, устанавливается безмоментное состояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
