Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для сферической оболочки Я1 = Яе = Я, з = ЯО, г = Я з1п О. В качестве основы вновь рассмотрим уравнение (3.75): — „,' + [21 — ~ (х)) о, О, чГ и выражений (3.118) по 0 можно считать множитель ~ —. по- ч/ И етоянным, что приводит к относительной ошибке порядка ~г —. Таким образом, учитывая, что — = — — = 1/ 12 (1' — п ) = —, <К Ф1 да ~, 1 Ь ЦВ~В . 1,— И Ц получим ~ -И2П вЂ” н') )' „„, ИФФ+ВлЬ~Ф + + А24>з(Д)+ В,ф~(д)~~ Б' ЕИ~ ~ Г 0 т' 12 (1 — И~) г ЕИ з)п 0 (3 119) — Вп(л (Д) + А2ф4 (ч) В2фЗ (Д))~ где ф~ вычисляются через Ф~ и ф по формулам (3.108), а ~-гтгггп — р ~/ —" ,в. Внутренние вилы и перемещения в оболочке складываются из величин, соответствующих решению неоднородной задачи (которое может быть получено по безмоментной теории,) и величин, дд дУ выражающихся через О, У, — „, — по формулам (3.74).
Четыре постоянные А „В, (1 = 1, 2) определяются из граничных условий на торцах оболочки. Если оболочка замкнута в полюсе, и в этой точке сосредоточенная сила не приложена, то постоянные А, н В, обращаются в нуль, а А, и В, определяются из граничных условий на краю. Для оболочки, нагруженной силой Р, в полюсе, необходим дополнительный анализ, Безмоментное решение дает в этом случае следующие значения сил и перемещений: ~о Т~ = — —.— ', Т~ — 7'~', 2лЛ з1п~в ' $ =ге~=— Ро (1+ Н) 2лЕИ 81п 0 ' Постоянные Аз и В„входящие в решение однородной задачи, необходимо выбрать так, чтобы полное решение при 0 = 0 отвечало значениям $ = О, 1) = О.
Заметим, что при д- О функции Поэтому, чтобы при 0 = О обращался в нуль угол поворота, необходимо принять В, = О, Постоянную А, найдем из условия $ - 'О при Π— О: В это уравнение подставим лишь часть выражений для У и 8à — с коэффициентом А, (так как остальные слагаемые этих (Ь выражений ограничены при О- О) и заменим функцию ~1~,(д) главным членом разложения ф4(д) = — 1п — '; ~4(д) 1„„«= — —, 2 1 ф4 (ч) 1«+О = В результате иолучим.(полагая з(п 8 = 6; соз 8 = 1) Ео (1+(4) 1 А 2(1+(4)Ь ~ 1 ~ ~~'«~ 2п Еа 8» д 112 (1 2))з/4д1/2 8 + Из УсловиЯ 8 ~з о = 0 Р«У ~ 112 (1 — и'))'~' 4еа5/2 или, вводя обозначение цилиндрической жесткости Р, получим А о 4О ~ Г2(! — ~ Таким образом, для сферической оболочки, нагруженной силой Р„в полюсе, функции б и У определяются выражениями Уй еа» '» / 9 4 ~/ — ~Аи~г (д) — Вгчч (д)- У 12(1 и»1 «в(п 8 ~ (3.
120) Е«УМ вЂ” 4а,,~(,—,)- »ам~ причем постоянные А» и В, определяются из граничных условий ': на краю оболочки. Так как функции ф„ф, возрастают с ростом аргумента, а ф, :„- и ~1>, — убывают, то при достаточно «длинной» оболочке первые :„; слагаемые в формулах (3.120) описывают краевой эффект в месте ~; закрепления оболочки, а последние слагаемые — своеобразный 189 ";:, ф1, ф и (рз равны нулю, а функция $4 имеет особенность вида 2 1 ф4 (Д) +' л ч чающих пологий участок, рассмотрены в работах (44, 56, 571. Следует, однако, признать, что получаемое таким образом приближенное решение является довольно громоздким. При наличии вычислительной машины для расчета торообразных оболочек, включающих пологий участок, следует предпочесть метод прямого машинного интегрирования (см.
9 16). ~ 16. Расчет осесимметрично нагруженных оболочек на ЭВМ Для численного интегрирования дифференциальные уравнения деформации оболочек следует представить в форме, разрешенной относительно первых производных искомых функций. В качестве основных неизвестных выберем следующие величины: а) радиальное перемещение 3 = у; б) угол поворота нормали О = у,; в) произведение распоркой еилы Ж Т, еоз О + Я з1п О на радиуо параллельного круга г М» = у,; г) произведение момента М, иа радиус параллельного круга гМ,г = у,. Основные неизвестные, выбранные таким образом, соатавляют вектор состояния У = 1Ув~ Ув! Ув> У4 удовлетворяющий условиям, сформулированным в гл.
11. А именно, работа сил, приложенных в окружном сечении оболочки, составляет 2п (У~Ув + УвУв) Выведем дифференциальные уравнения, определяющие компоненты вектора у. Для этого предварительно выразим через них остальные неизвестные функции. Усилия Т, и Я выражаются через распорную силу й и известное осевое усилие Р (з) в сечении оболочки по формулам Т, — — з1п О+ У соз О, Р (в) (3.121) Я вЂ” — созО+ Фз1пО. Р (в) Усилие Т,' и момент М, выражаются через основные неизвестные по формулам, которые легко получить из уравнений упругости: Тв НТ1+ Елков Ртв+Ел —; $ . (3.122) Еьв Ейз сова Мв = рМ~ + — х.
= рМ, + — — О, 12 12 г 191 Заменив в этом уравнении деформацию е, ее значением 1 р2 5 1 — Ф з = — (Т вЂ” цТ) = — Т,— 1 — = — Х ЕЬ ЕЬ г ЕЬ 'х ~ — з(а О + М соз О ~ — ц —, Г Р (з) 1 2х (3.123) придем к равенству й$ соз О 1 — о" сов' Π— = — ц — $ — да(а 0+ — (Фг) + й г Ео (3.124) Второе уравнение следует из уравнения упругости М, = О (х1+ цх,). об соя О После замены х, = †, х, = — д получаем й' дд созО 1 — — ц — О + — (М,г). й Г Ог (3.125) Третье уравнение получим из уравнения равновесия (3,24): 1 T1 TЯ вЂ” — (Ог) — — ' — — '+ О„-О.
й В1 й, Заменим Я, Т„Т, их выражениями (3.121) и (3.122) через основные неизвестные; тогда — — — — соз О+ Мг з1а 01 1 И г Е (з) гйЬ2а Р(з) з1п0 ЖсоБО 2лг Е, — Е, — — — з1аО+ МсозО~ — — Ей — +д =О, И в)п О Г Г (з) з)о О г '(. 2 ° Т п С учетом соотношений д йО 1 — г" (з) = (д„соз Π— о, з1а О) 2лг, нз л й Я, получим Ф (Мг) = —, В + И вЂ”, (Мг) +.;: — Р ($) — Ч„(3. 126) о ЕЬ сои О Мп О где д, = д1 соз О + ц„з1п 0 — радиальная составляющая нагрузки. 192 Первое из уравнений системы, определяющей основные неизвестные, получается из уравнения совместности деформаций (3.14) -~;= з,созΠ— бз)аО. д$ ~'::.и;-'.'-Четвертое уравнение является следствием уравнения.
моменфав (3.25): Ф', в — — (М,г) — М, — — Я =О. д~ -1 Г Заменяя М, и Я их выражениями (3.121) и (3.122), получим — (М г) = —, Осоз'О+ з1п В (Фг) + р —,(М,г) — — Р(з). ' д ей~ соз О сов 0 (3.127) Коэффициенты полученной системы уравнений (3.! 24) — (3.127) -выписаны в табл. 3.1. Для определения осевого перемещения (, следует дополни.тельно проинтегрировать уравнение -~- е, з1п В+ Ю соз О.
Н~ После подстановки выражения е, по уравнению (3.123) сц з1а а, 1 — ф кап Осое О,й,, + д соз В+ — — Р (з). (3.128) Коэффициенты уравнения (3.128) выписаны в последней строке :табл. 3;1. Интегрирование уравнения (3.128) можно проводить уже посл е ";,интегрирования основной системы, так как эта система является замкнутой, и .практически всегда имеется дпстаточное количе~~етво граничных условий для ее интегрирования (исключением ~авляются только «статически неопределимые» оболочки, т. е. лочки, в которых осевая сила Р (з) .не может быть определеиз уравнения равновесия). Лишь в исключительных случаях (коткие и пологие оболочки) система уравнений (3.124) — (3.127) 'ожет быть проинтегрирована методом начальных параметров. , аще же, в связи а наличием краевйх эффектов, метод начальных раметров оказывается неприменимым, и следует использовать ибо метод ортогонализации С.
К. Годунова, либо метод фактоизации (см. гл. 11.) , Остановимся на способе перехода от размерных уравнений к безазмерным. ,, ' Простейший (но не всегда достаточно эффективный) прием рехода к безразмерным переменным состоит в выборе надлежах единиц измерения для длин (1,) и сил (Р~). Тогда безразмерные переменные у1Ф т 1 у2э 61 увы у 1 у4а Р 1 7 ° в. л. Бедериав :;будут определяться системой уравнений, отличающейся от си«стемы (3.124) — (3.127) только тем, что произйодные вычисляются ,йо безразмерной переменной з = — ' и все входящие в правую аа асть размерные величины заменяются их безразмерными аналоами, т. е.
Е-э Е Е ~~о Ре д Ь Ь, БО р à — э Г мам — ' ~о Е(з)- Р,(з) = — „ Р (я) Целесообразен следующий выбор постоянных Ре, 11,р ~'о-Еойе' (о=У гойоэ где Ее, ЬОА гв — постоянные, имеющие порядок соответственно модуля упругости, толщины и радиуса Я~ оболочки в некоторой характерной точке. При таком выборе Р и 1~ система уравнений (3,124) — (3.127) относительно безразмерных переменных не со,держит очень больших и очень малых коэффициентов.
Переход .от размерных к безразмерным переменным может выполняться либо заранее, либо в программе расчета на ЭВМ. Следует заметить, что основные безразмерные неизвестные величины того же , порядка, что и угол поворота нормали и, и, как правило, весьма малы. Это обстоятельство может вызвать потерю точности при вы.числении решения неоднородной задачи. Для преодоления труд' ности целесообразно при расчете увеличить все внешние нагрузки, например, в 10 или в 104 раз, а по выполнении расчета во столько ;же раз уменьшить полученные значения неизвестных. Так как :гвадача линейная, эта операция не приведет к каким-либо ошиб; дам. Приведенная в приложении программа' осуществляет реше'",ние краевой задачи для уравнений (3.124) — (3.127), причем исполь'рвуется метод ортогонализации С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
