Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 19
Текст из файла (страница 19)
К. (Л) К (Л) ' — $ — 4 С,ЯК, (Ц -~- С,ВК, Я ~(в т~ 4кв (Л) К4 (Л) + К, (Л) К, (Л) 4ЦЗ Кз (Л) Кв (Л) К4 (Л) а$ ~ т~ сЬЛ в1п Л+вЬ ЛсовЛ М~ ! в=О Щ ~Ь~Л вЂ” ~(пвЛ сп' Л вЂ” сов' Л 2Е>~Р ЙвЛ вЂ” ~1~~Л М341 ~$ ~ т~ спЛвИЛ+совЛ в1п Л Ж~ =1 Е)~ вЬ'Л вЂ” В(И'Л Коэффициенты при т, в формулах для перемещений можно :; рассматривать как коэффициенты влияния для соответствующих ' перемещений. Следует указать, что полученные формулы удобны для вычислений только при очень малых Л, так как при боль,ших ) в них входят малые разности, Используя формулы (3,52) : и переходя от функций Крылова вновь к тригонометрическим :-и гиперболическим функциям, получим т~ 'воЛ в(и Л 011' вЬ'Л вЂ” в1п'Л где 6,! — коэффициенты влияния, соот- ветствующие положительным направг лениям усилий и перемещений, показанным на рис.
3.22. Остальные коэффициенты влияния, относящиеся к этой схеме (6„= 6„и 6„= 6„), можно Рис. 3,22 найти, расслютрев подобным же обра- зом деформации оболочки, нагруженной в сечении в = 1 поперечной силой (,),. Ниже приведены все коэффициенты влияния: 1 сп Л вп Л+ сов Л Мп Л "=6з'= ПР .ЬвЛ вЂ” вцп Л 1 с!Р Л вЂ” сов' Л 6зв 6 р' 'л— 1 сп Л в1п Л+ в!з Л сав Л, 6„= 6„— — — „ 1 вп Л вш Л Г3.59) 1 сп Л вп.Л вЂ” сав Л вш Л .
зз вв 2!)аз впв Л в,пв Л 1 с'пЛ в1п Л вЂ” в'пЛсовЛ 2Рйв вьв Л вЂ” вшв Л у 3 (1 а.з) Еав где Х= Р" Р=, — В= 12( ) Коэффициенты влияния (3,59) необходимы при расчете составных оболочек. Нетрудно видеть, что при увеличении длины оболочки (Х ао) коэффициенты влияния 6„„ 6„ = 6„,.6„ стремятся к значениям соответствующих коэффициентов для полубесконечной оболочки 1см. формулы (3.51)1. Практически результаты расчета этих коэффициентов по формулам (3.51) и (3,59) не различаются при Л >3.
Другим предельным случаем является случай весьма.короткой оболочки (Х вЂ” 0). Разлагая в формулах (3.59) тригонометрические и гиперболические функции в ряды и удерживая только первые не обращающиеся в нуль слагаемые, получаем при Л 0 1И~' 6м - 6,з = — 6„— 6з, = — ' Е'и!в !2Яв 6вз = 6зв 6гв = 6м = —.6м .— 6вв = — 6вз = — 6зв — — еь1в 2 в 4Д~ б22 344 ЕМ ' 2й~ и~ (З.БО) Нетрудно видеть, что эти формулы соотве)ствуют деформациям оболочки как бруса малой кривизны, причем образующая оатается прямолинейной.
Формулы (3.60) обладают достаточной точностью при А < О,З. Итак, при Х (0,3 цилиндрическую оболочку можно рассматривать как кривой брус, при К > 3 — как полубесконечную, а при О,З < К < 3 — как короткую оболочку. ~ 13. Преобразование .уравнений осесимметричной деформации оболочек' вра)ценив Из уравнения (3.24) Т,=0 Я,-т,— + — (0) = Р~ д', д Л т ~З =дР— — ' / Р ($) С050 1 ) и ~ 2я~ в!па г ~ мае + — 1' ~ + —. — (Г з1п О).
Или, так как .+- (Уз1п О) = — з1пО+ )' —, д ~Л~ с0з З Й~ й Э ! л (з) дР Т, =дй — — .' + —. л 2 и- аз!пяа сь (З.б2) Б. Мейснером предложено в качестве основных неизвестных при преобразовании уравнений использовать угол поворота нормали О и величину К = (Я, 9 ., Все остальные величины зшз ' легко выражаются через б и Р, а для самих этих величин получается система двух симметрично построенных дифференциальных уравнений второго порядка. Используя далее одну комплексную переменную о = д + аT, где.
а — комплексная постоянная, удается свести задачу к решению одного дифференциального уравнения второго порядка для этой функции. В ряде случаев решения этого уравнения могут быть с той или иной степенью точности представлены через табулированные функции. Выразим усилия деформации и перемещения через основные переменные Мейенера. Из уравнения (3.22) Система дифференциальных уравнений (3.66) имеет четвертый порядок. В результате ее интегрирования определяются функции 6 и ~/ и точностью до четырех постоянных интегрирования, которые находят из граничных условий. Граничные условия излагаются на угол поворота д и радиальное перемещение $ или на соответствующие им усилия — момент 1И, и распорную (т.
е. нормальную к оси симметрии оболочки) силу и=7',с Е+0з1пе. (3.67) Заметим, что осевая сила Р (з) рассматривается как известная функция з. Осевое перемещение ~ определяется путем интегрирования выражения (3.15), причем возникает еще одна постоянная, определяющая перемещение оболочки как жесткой. Если осевые перемещения оболочки стеснены в двух сечениях (риа. 3.23, а), то целесообразно реакцию одного из закреплений определять из условии равенства нулю соответствующего перемещения при действии на оболочку как заданных нагрузок, так и искомой реакции (рис.
3.23, б), Решение системы дифференциальных уравнений (3.66) состоит из частного решения неоднородной еиатемы и общего решения однородной: (3.68) Частное решение неоднородной задачи мы рассматривать не будем, укажем лишь, что, как и в случае цилиндрической оболочки при плавно изменяющихся нагрузках и гладкой форме меридиана, ва частное решение может быть принято решение по безмоментной теории Т",= 2лгяпО ' Тз = ЧпКг — — ' 7'~', Š—.„(Тг — р.Т~); М~ = М~ = О. (3.69) Л, Приведем уравнения однородной системы (3.68) к одному уравнению второго порядка относительно комплексной переменной. С этой целью умножим второе из уравнений (3.68) на некоторую постоянную а и сложим почленно с первым; тогда Выберем постоянную а так, чтобы правая часть полученного выражения содержала множитель д + аК Для этого необходимо, чтобы 1 И вЂ” — а— д 211 д 11~ 2 =а, 11, ЕН вЂ” — а— 1~Ля Да откуда получаем квадратное уравнение относительно а Ейа' — 2 ~ а+ — =О.
Следовательно, К„ЕЬ вЂ” ~/ фЕ~Э2 ИЕЬ ' Заметим, что первый член под радикалом по модулю существенно меньше второго: ~р 1 иа 7 а у р"Е2аз ' 0ЕЬ 12 (1 — ф) ~ А~ / поэтому им можно пренебречь. Слагаемое ~ также имеет г,и порядок ЬЯ, по сравнению а модулем радикала. Поэтому с точностью, принятой в теории оболочек, можно положить а = Выберем значение а со знаком плюс, т. е. а 1 ~ — „=1)Г12 (1 р') — „,, .чГ 1 1 (3,71) Подставляя полученное значение а в уравнение (3.70), видим, что слагаемые с множителем — ' в каждой из круглых скобок йдйэ 154 йравой части малы (порядка Й/4,) по сравнению со слагаемыми, ие содержащими этого множителя.
После ппенебрежения этими слагаемыми уравнение (3.70) получает вид /, (о) + а — а = О ЕД Ра или Ро сов В до сов'0 + Р 12 (1 — И') о О (3 72) где о — комплексная неизвестная функция: (3.73) После решения уравнения (3.72) и отделения действительной и мнимой частей функции а значения сил и перемещений, соответствующие решению однородной задачи, определяются по формулам ПП сов В Пн сУ т = —,(/; т н, =и( — '~ +р — "" е); и,-п( — '' а+ р — „"' ); ~з74~ ~(п — р (/) т / Я1 сов В еь ~ йв ь' где У' ~ = Т1~ ' сов О+ Я з(п.() — распорная сила. Лля получения полного решения задачи к величинам, опреде- ~': ляемым формулами (3.74), следует добавить частное решение : неоднородной задачи, которое, как правило, можно определять р-а помощью соотношений (3.69).
Точное интегрирование уравнения (3.72) может быть выпол- ~-вено только для некоторых видов оболочек (например, кониче".ской). Однако никакой необходимости точно интегрировать урав- Х'пение (3.72) нет, так как это уравнение приближенное. Его вывод „',". основан на. гипотезах Кирхгоффа — Лява, погрешность которых ",имеет порядок )т/Д, 136).
Поэтому целесообразно интегрировать ь:::уравнение (3.72) приближенно (а точностью такого же порядка). Простые приближенные решения уравнения (3.72) могут быть -.:получены для тонкой оболочки о произвольной формой меридиана, (свели только границы оболочки не лежат в той области, где обо- ~'лочка пологая (т. е. угол 6 мал) (ем, ~ 12).
' Проведенные выкладки свидетельствуют, в сушности, о том, что и в исходи уравнениях (3,68) слагаемые с множителями — несущественны и могут и Яфа ть отброшены. 1И Иной характер имеют решения в тех областях оболочки, где она является пологой, например, вблизи полюса сферической оболочки. Аналитические методы расчета конических и сферических оболочек рассмотрены в ~ 15. Как для непологих, так и для пологих оболочек с произвольной формой меридиана и произвольным законом изменения толщины может быть использован числовой метод расчета, приведенный в' ~ 1б. Для дальнейшего интегрирования целесообразно представить уравнение (3.72) в несколько ином виде, чтобы; а) коэффициент при последнем члене уравнения был постоянным; б) уравнение не содержало первой производной искомой функции, Чтобы коэффициент был постоянным, нужно ввести вместо независимой переменной з переменную х, связанную с з зависимостью Произведя такую замену, найдем д(~ й~ ~Ь Йт 1/ 3 (1 — ~Р) дв дх сь бх 1/~~ а Ра Ра / дх ~2 йо Рх Ь ~х ~ ~я ) + ах ( и, после подстановки этих значений в уравнение (3.72) и почленного умножения его на ', получим я,,а (/з(1 — 1,,1 ' Ро УКИс100 ( 1 1 ~ Ио 2, з-р —;-) ~ И, Н, ~ с1я~ 0 и — — а+21о = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
