Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 27
Текст из файла (страница 27)
При а = о, (на малом основании конуса) принимали х = О, О+ = О, у = О. Остальные два параметра пр и тр следовало выбрать так, чтобы выполнялись условия х = О, О+ = О на конце интервала интегрирования прн 0 = от. При поиске этих параметров использовали описанный выше метод Ньютона — Канторовича и метод шагов по параметру нагрузки. Следует отметить, что вблизи максимума кривой' осадка— прогиб метод щагов по параметру нагрузки оказывается неэффективным, так как нагрузка перестает меняться. В этом случае в качестве независимого рассматривали один из начальных параметров пр ае „ или птр ~ ~,, а нагрузку и другой параметр подбирали так, чтобы удовлетворялись граничные условия при о — 0'х. На рис.
3.45 показана полученная таким образом упругая характеристика амортизатора, имеющего относительные- размеры ое = 3,95; ат = 10,05; О = 70'. Точками показаны экспериментальные данйые. Учитывая большую толщину стенок амортизатора и наличие значительных деформаций, точность расчета следует признать удовлетворительной. ' Способы численного решения нелинейных задач для «длинных» оболочен рассмотрены в книге Валишвили Н.
В, Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М., «Машиностроение», 1976, 278 с. Глава 4 Некоторые сведения из теории поверхностей Теория поверхностей представляет собой раздел дифференциальной геометрии, в котором изучаются общие свойства поверхностей. В настоящей главе приведены лишь те сведения из теории поверхностей„которые необходимы для понимания изложенной в последующих главах общей теории оболочек. $ 18. Геометрия пространственной кривой Если рассматривать х, у, г как проекции вектора г, проведенного из начала координат в рассматриваемую точку линии, то три уравнения (4.1) можно записать в виде одного векторного г = г(а).
(4.2) При изменении значения параметра а точка, характеризуемая вектором г, скользит по рассматриваемой кривой. В качестве параметра может быть выбрана произвольная величина; нужно лишь, чтобы зависимость координат точки от а была непрерывной и.однозначной. Для этого достаточно, чтобы длина кривой з, отмеренная от некоторой точки, была непрерывной и монотонной функцией а, т. е. з = з(а).
(4.3) Дадим параметру а два значения а, и а , которым соответствуют векторы г, г(а1); г, =г(а,). Нетрудно видеть (рис. 4.1), что разность г, — г1 = Лг изображается вектором, по величине и направлению совпадающим о хордой кривой. При уменьшении разности Ьа = а, — а, на- Уравнение пространственной кривой можно задать в пара-. метрической форме, выразив координаты точки этой линии (например, декартовы) в виде функций параметра а: х х(а); у ' у(а); г= г(а).
(4.1) Рнс. 4.2 Рис. 4.1 правление вектора Лг приближается к направлению касательной к кривой в точке М„а его длина — ' к длине дуги между точками М1 и Ма. Таким образом, в пределе при Ли- О получим дг ~ 1!(з, где 1 — единичный вектор, направленный по касательной к кривой (см. рис, 4.1). Следовательно, единичный вектор касательной может быть вычислен по формуле Иг 1 ~ ° ~Ь (4.4) Если учесть зависимость (4.3), то йг Иа ! Ф 1 = ю Иа дя А да (4.5) где А — параметр, имеющий смыал местного масштаба длины на линии г (а); А = —.
(4.6) + — — 1+ — — й, 0у. ! А й да А да где 212 Выражение единичного вектора 1 в декартовых координатах х, у, г можно получить следующим образом: 1 =* — — — — (х1+ У1 + Лс) = — — ! + .! Аг ! И !. дх А Аа А й» А да Рассмотрим разность М единичных векторов касательной в соседних точках кривой (рис. 4.2). Нетрудно убедиться, что при сближении точек М, и М, этот вектор оказывается нормальным к кривой и лежащим в плоскости, включающей две соседние касательные к кривой (в так называе- мой соприкасающейся плоскости).
При этом длина вектора Ы стремится к величине ~М~ ЬО= —, Р где р — радиуо кривизны кривой. При переходе к пределу при Лз - О получим Ы! ~Ь р (4.8) или, учитывая (4.4), <Рг ю где — — кривизна кривой;, т — единичный вектор, направленный по нормали к кривой и лежащий в соприкасающейся плоскости. Вектор т (вектор главной нормали) направлен в сторону вогнутости кривой. Выражение (4.8) в декартовой системе координат имеет вид Й й ..Ы / дх р ~й АЫа Ада ~ Ада) + ..откуда абсолютное значение кривизны 213 Единичный вектор Ь, являющийся векторным произведением векторов 1 и т, направлен по бинормали к кривой. Тройка единичных взаимно ортогональных векторов 1, т, Ь (риа.
4.3) образует с '-так называемый естественный трехгранник '(трехгранник Френе). Предположим, что точка М, а которой . аияааи трЕХГраННИК Фрсцв> дВИжЕтСя ВДОЛЬ Нас 4.З кривой с единичной скоростью где т — время. Поскольку взаимное расположение векторов 1, ч, Ь не изменяется, соответствующее движение естественного трехгранника можно рассматривать как движение твердого тела: поступательное перемещение вместе с точкой М и вращение относительно этой точки с угловой скоростью ьа. Вектор ьа называется вектором Дарбу. Поступательное перемещение естественного трехгранника не меняет величин составляющих его векторов. Производная ' каждого вектора, жестко связанного о трехгранником, равна линейной скорости движения его конца, обусловленной вращением трехгранника, и определяется векторным произведением ьа на этот вектор.
В частности, производные самих единичных векторов выражаются формулами — = ьа Х т; — = ьа Х % — = ьа Х Ь. ги па дь Иа ' ~Ь ' Ыа Если проекции вектора Я на направления г., ~, Ь составляют го„го„гоа и, следовательно, ьа = готт + гоР + гпаЬю — и Х1= — и,Ь+ гп,У; си йа ~Ь вЂ” = ьа Х У = гохЬ 0)а1; па — = ьа Х Ь = — гор + гоф. ль аа Сопоставляя первую из этих формул ° формулой [4.8), устанавливаем, что сов=01 ее= 1 (4.10) Р' Таким образом, угловая скорость гоа вращения трехграиика Френе относительно главной нормали к кривой равна нулю, а угловая скорость го вращения трехгранника относительно бинормали равна кривизне кривой. Угловая скорость го, отноаительно касательной к кривой называется кручением кривой. В дальнейшем нам потребуется правило дифференцирования вектора, заданного своими проекциями на оси подвижного трие-.
' Так как движение происходит с единичной скоростью, то пронаводныс по времени т и по дуге а совпадают. дра. Выведем его. Пусть вектор 1, зависящий от параметра а (или от длины дуги кривой з), задан в виде 1 111 + 12М + 13Ь где ~„~„~, — известные функции а (или з). Л При вычислении производной †„ следует учесть, что единичные векторы 1, т, Ь также зависят от з. Следовательно, — = — 1+ — 'т+ — 'Ь+1,— +1з — +1а —. (4.11) и ~1, щ, а1, ~и й ~ь й й й й й й й Введем обозначение для так называемой л о к а л ь н о й производной вектора 1 (т.
е. для производной, вычисляемой без учета подвижности координатного базиса): — = — 1+ — т+ — Ь 4~ 4в Мп й й йз й и учтем, что — =11х1; — =11хк — =41хЬ, М Ж ЫЬ йз ' й ' й следовательно, 1~ + 1~ + 4 й (1 х й Ю дь Таким образом, формула (4.11) может быть приведена к виду —, = — '+ах1. Н ~Л й й. (4.12) Итак, производная по дуге от вектора $, заданного своими проекциями на оси подвижного координатного базиса, складывается из локальной производной и векторного произведения вектора Ларбу на 1.
Если дифференцирование проводится не по дуге з, а по параметру а, то, используя соотношение дз = Апа, найдем — = — + А11 х1. Л 4'$ асс Ма, (4.13) ~ 19. Геометрия поверхности (4.14) Подобно тому как линия в пространстве задается зависимостью , (4.2) вектора от одного параметра, поверхность может быть задана вависимостью радиуа-вектора от двух параметров, т. е. г г(а, р) или, в координатной форме, к = х (а, (3); у = у (а„(1); г = г (а, Я. (4.15) Каждой паре чисел а; р в области определения г (а, р) соответствует на поверхности фиксированная точка, координаты которой определяются формулами (4.15)р При непрерывном изменении параметров а, р соответствующая точка движется по некоторой линии 'на поверхности.
В частности, если зафиксировать величину р и менять а, то точка будет дви- гаться по а-л и н и и. При а сопз( н изменении р точка движется по рлл и н и и. Таким образом, параметры а, р можно рассматривать как криволинейные координаты точки на поверхности (г а у е е о в ы к о о р ди н а ты). Единичные векторы (см. формулу (4 Б)3 1 дг 1 дг .А да' г В дд ' (4.16) налранленм аа каеательнмм к лкннан а н р; А ~а— ~, В дг дг — — местные масштабы длины на соответствующих линиях. дР Векторное произведение 1, Х $з представляет собой вектор, нормальный к поверхности, модуль которого равен синусу угла 11 между линиями а и 11. Поэтому единичный вектор п нормали к по- верхности может быть найден по формуле.
п = — $,Х$г. 1 ВШХ (4.17) Тройка единичных векторов $„1„п, связанная а точкой средин- ной поверхности оболочки, представляет собой локальный вектор- ный базис, к которому относят перемещения и внутренние силы в оболочке. Рассмотрим произвольную линию на . поверхности, задав координаты ее точек в зависимости от длины дуги з этой линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
