Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 30
Текст из файла (страница 30)
да др '' Таким образом, при заданных зависимоетях от а и р коэффи=; циентов первой и второй квадратичных форм уравнение поверхности определено о точностью до значений га, — и —. в точке дг дг ди 'др а = р = О. Но г, определяет положение начала координат в продг дг странстве, а — и — (или, что то же, 1, и 1,) — ориентировку Р~+ И,~У+а~,ф !1 !+ 09~ Х 1= !+ЯЙСЯ~ Х !.
Поворот триедра при переходе от точки '1 к точке Р (в„-[в, + — ((в) ь. д :.поверхности. Для того чтобы -2(ы,,а а,в1 'коэффициенты первой и вто:рой квадратичных форм определяли непрерывную поверхноать, они должны удовлетворять некоторым условиям.
~й+~й<„Ю Чтобы вывести эти Услп- . р„4 З вия, рассмотрим изменение некоторого вектора при переходе из точки О о координатами а, р (риа. 4.9) в точку Р с координатами и + сЬ, р + ф. Этот переход может быть выполнен двумя путями — либо через точку 1 (а + да,-р), либо через точку 2 (а, р + пр). Пусть вектор постоянной длины ! жестко связан е локальной координатной системой („1„п (в частности, за вектор 1 может быть принят любой из базисных векторов). При переходе из точки О в точку 1 координатный триедр, а а ним в вектор ! поворачиваются на бесконечно малый угол, величина которого и направление оси поворота характеризуются вектором дв = Ада!! . При переходе из точки О в точку 2 поворот дВ, Вфй~.
Следовательно, выражение для вектора 1, ' перенесенного в точку 1, будет иметь вид 7аким образом, после перехода из точки 1 в точку Р получим $р 1 +ЙВрХ !,— 1+ИВ,Х Ф ~-[дВ,-~- ~ (ЙВ )да] Х д х (!+09, х !). С другой стороны, переходя из точки О аначала в точку 2, а потом в.точку Р, найдем ~,-~+ав.х ~+ [ав, + — '<ав,~ар] хи-~ив, х ц. Приравнивая два выражения для 1, приводя подобные члены и опуская слагаемые высшего порядка малости, получим — (дв,)да х !+л,х (ыв,х!) а (д91) Ф х Е+ю х х(ав, х !). Подставив сюда значения векторов Йв„ЫВ„придем к равен- ству — (АЯ,) = — (АЯД+ АВЯ, х й„ где 'штрихом отмечены локальные производные.
Подставляя полученные выражения в (4.48), придем к соотно- шению [-в-(ва,) — ~(ла,)+лва,х а,1 х д О. Так как зто соотношение должно выполняться прн произвольном векторе $, то выражение в скобках должно тождественно равняться нулю, т.
е. — (ВЯ,) — — (АЯ,)+АВИ, х 0,=0. (4А9) Полученное тождество соответствует трем скалярным. Подставляя в выражение (4.49) значения Й, и й, по (4А4) и (4.47) и приравнивая нулю коэффициенты при $„1, и п в отдельности, получим д*(дд,)+ дд ( д() Я( д) ( Я„д 0; (4.50) 0; Уравнения (4.50) называют уравнениями Кодацци, а уравнение (4.51) — уравнением Гаусса. Это последнее уравнение, которое можно переписать в виде ' См.
Мышкис А Д. Лекции по высшей математике. М., «Наука», 1969, с. 201. (,д (ва) — д, (ла)~ х(+лв(а,х(а,х()-а,х(а.ха)- -о. (4.48) Непосредственным вычислением можно доказать следующее тождество', справедливое для трех произвольных векторов: ' Я, Х (й, Х 1) — й, Х (й, М 1) = (й, Х И,) Х $.
С другой стороны, используя общее правило дифференцирования векторов, получим да (Вхта) д,а (ВЯ1+ АВЯт Х ЯЫ д д' устанавливает непосредственную связь между параметрами Ламе и гауссовой кривизной поверхности. Так как параметры Ламе определяют длины линий на поверхности, то отсюда следует, что поверхность может быть деформирована (изогнута) без растяжения только при сохранении ее гауссовой кривизны. В частности, на плоскость могут быть развернуты без растяжений только поверхности нулевой гауссовой кривизны (цилиндр, конус).
В заключение приведем формулы для наиболее важного случая, когда координатные линии и; р совпадают с линиями кривизны (- '.,—: -* 1 1 1 1. 1 — — — — — = О) . В этом случае скорости пово- 1~! % 1~п 1~2 д12 рота триедра при движении его с единичной скоростью вдоль и-р-линий соответственно равны (см. (4.44), (4.47) 1 ! 1 дА Й,= — 1,— — ° — и; Я, АВ' дд (4.52) 1 ! дВ Я = — — $,+ — — и.
йз АВ да Формулы для производных от единичных векторов !см. (4.45), (4.46)1 д1! ! дА ' 1 д1~ 1 д — — — ° — $ — — и; 1 — . 1 Ада АВ др ~ й! ' Вд13 АВ да д1, 1 дА ' д1., ! дВ ! Ада — — АВ д.„(,; Вдй - АВ да $, ~ и; (4.53) дп ! Вдр В,, дп ! Уравнения Кодацци — Гаусса 1(см. (4.50), (4.51)1 д А ! дА — ( — ) — — — -0, (4.54) ! 31пО Ф вЂ” сов(!. й, Т ' й 1 дО А=1; В=г; й~ 23! В частном случае оболочки вращения, отнесенной к системе координат и = а, р = <р (см. с.
221), В этом случае й1 1 й~ сое а — — п; — — $;, д~ й~ 1йР Ир , й~ сов О 81а 8 — '=О; — ' — — $,— — и; дз ' гор 1 1 Для поверхности вращения первое из уравнений Кодацци— Гаусса приводит к следующей зависимоати, между кривизнами; — ( — ') — .с. 0 или( — — ~ )совО+г — (~) =О, (4 57) которая тождеатвенно удовлетворяетая, еели выразить кривизны через О и г. Из уравнения (4.57) аледует, в чаатноати, что в полюса оболочки (О = О, г = О) главные кривизны равны. Остальные уравнения Кодацци — Гнусен удовлетворяютая для поверхноатн вращения тождественно, Глава 5 Основы общей теории оболочек Теория оболочек е произвольной формой арединной поверхности етроится на оенове тех же гипотез Кирхгоффа — Лява, на которых основаны теория пластин и теория симметрично нагруженных оболочек вращения; Сформулируем еще раз'эти гипотезы.
1. Материальный элемент, нормальный к срединной поверхноати оболочки, и после деформации последней остается нормальным к изогнутой ерединной поверхности. 2. Изменением длины этого элемента пренебрегают. 3. Нормальные напряжения в площадках, параллельных срединной поверхноати, не учитывают. В еоответатвин в этими гипотезами деформации вб веем объеме материала оболочки полностью определяютея деформациями и изменением кривизны ее срединной поверхноати, которые, в свою очередь, зависят от перемещений.
В этой главе геометрические вавнснмоети, устанавливающие указанную евязь, приведены для елучая малых перемещений; Напряжения в оболочке связаны е деформациями законом Гука, а по напряжениям определяют внутренние силы, приведен; ные к срединной поверхности. Сиетема основных уравнений общей теории оболочек„ которая вамыкаетея уравнениями равновесия (см. $ 24), являетея вееьма громоздкой. Анализ атруктуры этих уравнений и возможных вцособов их решения дан в $ 25. Наиболее полно могут быть проанализированы уравнения для круговой цилиндрической оболочки. Такой анализ (см. $ 27) позволяет оценить пределы применимости различных приближенных теорий, рассмотренных далее в гл. 7. Для произвольно нагруженной оболочки вращения, а 'также для незамкнутой цилиндрической оболочки, опертой'по торцам на жесткие в своей плоскости диафрагмы, с помощью разложения в тригонометрические ряды достигается разделение переменных, н задача сводится к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений, В ф 26 и 28 соответствующие уравнения записаны в виде, удобном для численного интегрирования на ЭВМ методами, изложенными в гл.
11. ~ 21. Деформации и изменения кривизны срединной поверхности Отнесем срединную поверхность недеформированной оболочки к координатам а, г= г(а, р), (5А) причем координатные линии совпадают а линиями кривизны. Координаты а, р — материальные. Это значит, что точка поверхности, имевшая до деформации координаты а, р, и после деформапии характеризуется этими же координатами. При этом сами координатные линии меняют свое положение в пространстве и иа де ф о р м и р.о в а в н о й срединной поверхности не являются уже линиями кривизны и не ортогональны. В результате деформации оболочки точки ее срединной поверхности получают перемещения и (а, 'р), поэтому уравнение срединной поверхности деформированной оболочки г'(а, р) г(а, р)+ п(а, р).
(5.2) Деформации элементов поверхности полностью определя1отся изменением коэффициентов ее первой квадратичной формы. До деформация А=~ — '): В ( — (; АВсоз~ ~ ~ 0(~~= — "). (5.3) После деформации значения этих коэффициентов (величины, относящиеся к деформированной оболочке, будем отмечать верхним индексом' ) соответственно равны А+= ~ — „1 В = ~ — ~ А В сову — —. (5.4) + 1дг+ 1.
+ 1дг4'1 + + + дг+ дг+ ди ~* ~ др ди др Рассмотрим элемент а-линии, концы которого имеют коорди-. наты (а, р) и (а + с(а, р). До деформации длина этого элемента еоетавляет Апа; после деформации А'йх. Таким образом, относительное удлинение в направлении а-ли. нии А+Ах — А ди А+ — А 1 Ади А Аналогично, относительное удлинение в направлении р-линии в' — н з~ ~юь. ° В (5.6) Деформация ядвига т„равна изменению первоначально прямого угла между координатными линиями, т, в. Ь 2 К (5.7) п(и, р) ит,+п$,+вп, (5.8 1 где компоненты перемещения и, 6, тп являются функциями а н р, Вычислим производную — =АФ = — +— дГ+ ~, ~ ВГ ди да да да ' где $+, — единичный вектор касательной к и-линии деформированной оболочки; — = Ат1.
Й При вычислении производной — вояпользуемоя правилом ди да дифференцирования векторов (4.13) ди д'п — = — +АЙ, х и. Подставив значения й, по формуле (4.52) и и по.формуле (5,8) окончательно получим — = А+(.', = А((1+ еМ + А — б,п1, (5.9) где ди ! дА в е!= — + — р и+ —, Ада АВ др й~ ди ! дА !и1 = — — — — и' Ада АВ д13 (5.10) и дж б, д'1 Ада ' Аналогична вычислим производную В'(; = В (а,(, + (1 + е.,) $, — д,,п), (5.11) где дди . ! дВ в е,= — + — — и+ —; Вдр АВ да ди ! дВ Ы,= — — — — — О Вд(! АВ да (5.12) Выведем формулы, связывающие компоненты деформация е, ея, Т„е перемещениями. Разложим вектор перемещения и (и, 'р) по осям коорди.натного базиса $„1~, и, связанного я точкой недеформированной срединной поверхности: Приведенные выкладки справедливы при произвольной величине перемещений и деформаций.
Далее будем считать, что деформации (е„з„т„) пренебрежимо малы по сравнению о единицей. Положим также (и это значительно более сильное ограничение), что углы поворота всех линейных элементов оболочки в процессе ее деформации малы настолько, что их квадратами также можно пренебречь по сравнению о самими углами. В этом случае косинусы углов между соответствующими направлениями до и после деформации можно принять равными единице, т.
е. 111+1 Фю 1; $3$, ~ 1; пп+ ~ 1. (5.13) Сделанное предположение о малости перемещений позволяет сформулировать линейную теорию оболочек. УМножим рбе части равенства (5.9) скалярно на 1,; тогда А+1+,Ф, = А (1 '+ е,) или, в соответствии о (5.13), А+ = А (1 + е,). Сопоставляя эту формулу а формулои (5.5), находим, что относительное удлинение в направлении а-линии ди ! дА в е1: е, — + — — о+ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
