Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Таким образом, силы и моменты, выраженные по формулам (5.64) через три функции усилий, тождественно удовлетворяют однородным уравнениям равновесия. Статико-геометрическую аналогию используют также при комплексном преобразовании уравнений теории оболочек (401. ~ 25. Структура уравнений теории оболочек и методы их решения Как уже указывалось, уравнения равновесия элемента оболочки (5.59) после подстановки сил и моментов, выраженных через деформации и параметры изменения кривизны', и замены последних их значениями по (5.33) представляют собой систему трех уравнений в частных производных относительно компонентов перемещения и, и, дв. Выписывать эту громоздкую систему в общем виде нецелесообразно. Представим однако структуру этой системы.
В нее входят силы, которые определяются в зависимости от деформаций формулами упругости, содержащими множитель— еь д 1 ЕИз и моменты, выражения которых сЬдержат множитель 12 (! — иф~ Поэтому, если поделить уравнения равновесия почленно на ЕЬ величину —, то слагаемые от изгибающих и крутящих момен~р Э тов будут иметь малый множитель Х', равный квадрату отношения толщины стенки оболочки к какому-либо характерному ее размеру, например радиусу кривизны в какой-либо точке.
Кроме того, порядок производных компонентов перемещения в моментяых слагаемых выше, чем в силовых. Полученную таким образом систему уравненчй можно представить в следующей форме: 9 в. л. Бвдермав М~~и+У~~~о+ Ф~~и+Х 11.пи+Ь~~о+(.цв)+ ~' ' =О; Ж~~1и+ И~~а+ У2зи~+ Х Ы~и+ Ело+ Ьгзи1+ ~' ~ ~ ~ О; (5.65) И~1и + У~з~о+ Узы+)~ Ыз1и+ ~з2о+ Еззи1+ ~' ~ = О, где Ж,, и Ец — дифференциальные операторы, причем верхний индекс показывает порядок старшей производной, входящей в.данный оператор.
Наличие малого множителя У при старших производных является характерной особенностью уравнений теории оболочек. Эта особенность определяет возможность применения приближенных методов их решения. Если конфигурация оболочки, нагрузка на нее и способ ее закрепления таковы, что перемещения медленно меняются вдоль а- и р-линий, то старшие производные от и, ц, га, входящие в уравнения (5.65), имеют такой же порядок малости, как и младшие (именно это и понимается под медленной изменяемостью перемещений). В этом случае членами уравнений (5.65), содержащими малый множитель Х', можно пренебречь, что равносильно пренебрежению изгибающими и крутящими моментами. Методы расчета б е з м о м е н т н о г о н а и р я ж е н н о г о.
состояния и условия его существования рассмотрены в гл. 6. Заметим, что в отличие от осесимметричной деформации оболочек вращения, в общем случае возможен и другой вид м е д л е н и о м е н я ю щ и х с я деформаций оболочки. Этот вид деформации оболочки, при котором срединная поверхность не испытывает растяжений, называется и з г и б а н и е м, а соответствующее напряженное состояние — чисто моментным. Перемещения при такой деформации определяются интегрированием уравнений е, О, е,=О, у„=О, (5.66) в которых е„з„у,~ нужно заменить их выражениями по (5.33) через и, о, и. Из уравнений (5.66) не следует, что силы Т„Т„5 при изгибании оболочки в точности равны нулю. Эти уравнения свидетельствуют лишь о том, что перемещения, связанные с растяжением срединной поверхности, малы по сравнению а перемещениями, обусловленными изгибанием.
Самостоятельную задачу о чистом изгибании оболочки приходится решать сравнительно редко — только для нежестких оболочек, закрепление которых допускает такое изгибание (см. $ 38). йля силовых оболочек малые изгибания, сопровождающие их ' безмоментное состояние, находятся попутно при решении безмоментной задачи (см. гл. 6). Безмоментное и .чисто моментное напряженные состояния составляют, по терминологии А.- Л. Гольденвейзера, о с н о вы о е напряженное состояние оболочки. Расчет основного напряженного состояния существенно проще, чем решение общих уравнений (5.65), однако соответствующие диф- ференциальные уравнения (т.
е. уравнения (5.65)) с опущенными ' моментными членами или уравнения (5,66) имеют более низкий порядок, чем исходные. Поэтому их решения не содержат достаточного числа произвольных функций, позволяющих выполнить все .граничные условия на контуре оболочки при реальных видах его закрепления. В ряде случаев выполнить граничные условия удается путем наложения на о с н о в н о е напряженное состояние к р а е. во г о э фф е к та, т. е. системы напряжений и деформаций быстро затухающих в направлении от контура в глубь оболочки.
Такие быстро затухающие решения уравнений теории оболочек ' можно (если они для данного контура существуют) легко найти (см. 9 36), и они по форме практически не отличаются от решений краевого эффекта для осесимметричных оболочек вращения. Сочетание основного напряженного состояния и краевого эффекта часто позволяет получить сравнительно простые и достаточно точные . результаты при решении практически важных задач. Метод расчленения напряженного состояния оболочки на основное и краевой эффект не является единственным приближенным приемом расчета оболочек.
Запросы практики породили появление большого числа приближенных теорий для расчета оболочек, требующих введения дополнительных гипотез, связанных либо с особенностями конфигурации данной оболочки, либо с характером изучаемого напряженного состояния.
В создании таких теорий - велика роль В.'3. Власова, Наиболее употребитсльные прибли' женные теории расчета оболочек рассмотрены в гл. 7. Только в случае круговой цилиндрической оболочки постоянной толщины дифференциальные уравнения (5.65) представляют собой уравнения с постоянными коэффициентами. Эти :" 'уравнения могут быть выписаны в явной форме, и их решение может быть представлено в виде рядов. В данном случае можно про, вести анализ, показывающий пределы применимости приближен,:-ных теорий.
Такой анализ приведен в 9 27 (291. Развитие вычислительной техники позволило получать числен: ные решения уравнений теории оболочек. Для оболочек вращения :. естественным является представление решения в форме тригоно,::: метрических рядов.по угловой координате и численное интегри- ~„рованиб уравнений для каждого члена ряда. Соответствующие ',,'.уравнения выписаны в 9 26. Для оболочек произвольной конфи- ~: гурации все большее применение находит в последнее время метод ".,конечных элементов.
259 ~ 26. Моментная теории оболочек нращения ди «о Е1 = — + —; дв 1««1 ' до сов 8 в1п 6 е — + — и+ — иг; гд«в г г Ч à — ~ — /+ — 2 1 дв(,,1 гдов' и ди« . 21 2 дв в1««6 д«2« 'Ь = — о — — ' .др (5.67) д Г ди«и 1 д01, х дв ~дв й1/ дв 002 сов 0 в1п 0 до ! два сов 0 в "2 + ~1 г2 д«!«2 д 2 + г ~12 д01 сов 8 «Нп 6 до х — — — б « гд«р г в+ г дв ' до В данном случае, чтобы исключить —, воспользуемся другим равносильным выражением для х1в (см.
а. 245): в1п 8 ди в«п в сова о кУ12 001 сов 8 22 г- г или после подстановки 6„ д0 сов 6 ди« Х12 где гв дф гь г д«в в1п 0 ди д0' (5.68) 060 Для оболочек вращения разложением искомых функций в ряды Фурье по угловой координате оказывается возможным разделить переменные и свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые могут решаться численно обычными приемами с применением ЭВМ. Приведем основные-уравнения моментной теории для оболочек вращения. В качестве гауссовых координата, р на срединной поверхности соответственно выберем длину дуги меридиана в и угол «р, определяющий положение меридиана.
дг 1 В этом случае (см, 0 19) А 1; В г; — = сов 8; 2 =' †. Деформации срединнои поверхности, углы поворота норв1п 8 г мали и параметры изменения кривизны связаны с перемещениями формулами [см. в $21 формулы (5.33), (5.10), (5.12)1 Соотношения упругости имеют обычный вид (5.46), а уравне. ния равновесия (5.56) и (5.58) после замены Т„= 8 + НЯ„ Т„= о' + Н/Я, принимают форму — (г Т1) + — 5 -1- — — соз ОТ, + — (~, + Я, = 0; Г 1 — ' .$. — [» (я .$- — ) 1 + со»»» (3 -$- — ) -$- »!и Вц, -$- »д, = О; — (Щ)+ — — — Т,— $1пОТ,+гд, =О> 1 — ~ — (гН) + — '+ соз ОН ~ — Я = 0; гд дМ, ~ дя дф ф» (5.69) — 1 — + — (»л»,) — »о»»м,) — ~, 1 Гдо д г ~ дф дя В дальйейшем мы несколько преобразуем уравнения равновесия, введя вместо сил Я, и Я приведенные усилия дН .
Ф=Ф+,~' (5.70) 5~ =5+ —. Ф 2Н К~ Представим нагрузки, перемещения и силы в видо ~~ = ~ Д р» соз ьР + ~ Д <»,1 з1п ьр; В=О й=! (5.71) р,)~~ $~ Оп з1п ьр —,~~ ф <д > соз Фф, й-1 а=о 2в1 где под функциями1, понимаются функции д„д„и, щ а„а„О„ иь хь Ть Т~, 9ь М~, М~, а под функциями ~~ — функции ЧЯ»»»» 712»»» 2»»»12»»»» Н» 92 ° Нетрудно видеть, что при такой записи функции с верхним инденсом з, соответствующие деформации оболочки, кососимметричной относительно нулевого меридиана, будут определяться точно такой же системой уравнений,, как и функции с индексом с, которые соответствуют симметричной деформации. Поэтому в дальнейшем мы проведем преобразования только для функций со знаком с, опуская этот знак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
