Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Знаки сил и моментов в приведенных формулах соответствуют площадкам, внешние нормали к которым совпадают о положительными направлениями отсчета сс и р. В площадках обратного направления (невидимых на рио. 5.2, а) знаки сил и моментов — противоположные. При составлении уравнений равновесия элемента следует учесть, что силы и моменты в сечениях а, а + Йх'и р, р + сф отличаются приращениями. Таким образом, если элемент срединной поверхности ограничен линиями а, а + Иа, р, р + Ир (см. рис. 5.2, а), то к границе элемента О, 1 приложены сила — Т, и момент — М„ к границе 2, 3 — сила Т, + — сЬ и момент дт~ ди, да М, + — 'Иа, к границе О, 2 — сила и момент — ҄— М„ а к границе 1 3 Т, + — сф и М, -(- — ' ~ф.
Кроме того, на дт~ дМ, а ф а д(~ элемент действует внешняя нагрузка АГАВ йа ор, где и — вектор интенсивности поверхностной нагрузки; ' Ч = ~1А+ ЧА+ Чзп. (5.53) Приравнивая нулю векторную сумму всех приложенных к элементу сил, получим — 'да+ — 'ф+ г(АВйа пр = О. 25! Уравнение моментов д ' да+.— 'ВР+Айк1, м Т,+Всфт, х Т,=О. (5.55) Третье и четвертое слагаемые в этом уравнении представляют собой моменты пар сил — Т„Т, и — Т„Т, ~силы — 'оа и дт~ — 'ф а также внешняя нагрузка дают моменты высшего по- дР рядка малости). Каждое из векторных уравнений (5.54) и (5.55) эквивалентно трем скалярным. Преобразуем уравнение (5.54).
Пользуясь правилом дифференцирования векторов, найдем юа (- — А+ЛЯ, х т)ии, где — — локальная производная; Й, — вектор, определяед'Т~' да мый .по формуле (4.52). Подставляя в полученное выражение значение вектора Т1 по (5.51) и выполняя векторное умножение; получим в~=11 ' +в~*+и М'"- г д(тВ) Аналогично, ~[ э +ж~+л,~1'+ д (Т~А) дВ АВ Подставляя полученные значения в уравнение (5.54) и приравнивая нулю множители при $,, 1, и и в отдельности, придем к трем скалярным уравнениям равновесия сил: , (т,В, + др (тмл) — д,. т, + др т„+ д д дВ дА + — Я1 + АВц, =' О; — (Т,А) + — (Т„В) — — Т,+ — Тщ + — (~,+ АЩ =О; 6 д дА дВ А — — (Я~В) + -~ Я~А) ~ —. — — — '+ оз О.
1 Г д . д 1 Т1 Т АВ ~'да ' аф;,) ' Цт Эти уравнения выражают равенство нулю суммы проекций приложенных к элементу сил соответственно на направления $», $, и и. Проведем аналогичное- преобразование уравнения моментов, для чего вычислим — 'с(а= ' ' АЙ х]в»1сЬ ~ ' ( — " ( + + А — 'и+ — М»1»+ — М»в(,~ паф = М1в дА дА Р, д[) ' д() д(М|ов) дА М д(М,В) дА АВ + — М»вп с(аф; +' ов - ( — ',"„+ во, х и,) и -[[ — ' ",'," — — '," м„] ~, ~.
Г д (Мв»А) дВ . 1 АВ !, дд да Ада»» х Т»=(Т»вп — Щ,) АВдаф; Вф1, х Т,=( — Т „и+Щ») АВдаф. Приравнивая нулю слагаемые уравнения моментов о множителями »„1„п в отдельности, получим три скалярные уравнения — [," + ' — ом,+~м„]-о.-о: 1 д (М;,В) д (М,А) дА ВВ Г д(М„А) д(М,В) АВ ~ д(1 да — — — + ҄— Т =О. М»в Мв» Кв (5157) 1 „д дА . 1 д ' (5.58) — [ — ~м,в1 — и,.+.' — ' ~ив 1] — о, — о.
АВ 1 д() д1) ' да Уравнения (5.57) выражают условия равенства нулю суммы моментов приложенных к элементу сил относительно осей $», $, и п, Нетрудно видеть,— что принятые (в соответствии с предложениями Л. И. Балабуха и В. В. Новожилова) соотношения упругости (5.46) для Т»», Т,», М», и М„удовлетворяют последнему уравнению равновесия тождественно. Это и было целью учета малых добавок НЯ, и НЯв в формулах (5.46). С учетом соотношения М„ = М,» = Н уравнения моментов относительно 'направлений $» и 1, могут быть также"записаны в виде — ~ —.(М,В) — — М, + — — (НА')) — Я =О; ! Г д дВ 1 д АВ~ да» да в А дР ) Уравнения (5256) и (5.58) представляют собой пять:независимых уравнений равновесия элемента оболочки.
Определяя из уравнений (5.58) поперечные силы Я1 н Я„ подставляя их. значения в уравнения (5.56) и производя в них замену Т„= Я + НИ„Т21 = В + Н/Я„придем к трем уравнениям равновесия в форме д ! д дн 2 дА — (Т,В)+ А -~ — (ЯА') — — Т,+ — — Н+ — [ — )М,В) — — М, А- 2 — )НА)] + АВ2, О; 1 др (Т,А) + — д (БВ') — — Т, + — — Н+ (5.59) 1 — [ — )М,А) — — М,+2 — )НВ)].)-АВВ, 0; Ав д))) А д,„(М,В) — — МВ + 1 д (НА') + т, т, — — — — +д,=О. И) К2 Так как все входящие в уравнения (5.59) усилия и моменты выражены с помощью уравнений. упругости (ЬА6).
через деформа- ции и параметры изменения кривизны срединной поверхности, а зти последние с помощью геометрических соотношений (5.33)— через три компонента вектора перемещений, то, в конечном счете, трн уравнения равновесия (5.59) определяют три .,неизвестные функции и, и и а). Таким образом, система уравнений теории оболочек, состоя- щая из геометрических уравнений, уравнений упругости и урав- , нений равновесия, является замкнутой. Рассмотрим теперь вопроа о г р а и и ч н ы х у а л о в н я х, которым должно быть подчинена решение задачи о напряженном и деформированном состоянии оболочки.
На контуре оболочки (будем рассматривать, например, гра- ницу„совпадающую с р-линией) имеются нять величин„характера~- зующих внутренние силы (Т„Т,В, Я1„М„Н), и пять величин, характеризующих перемещения (а), и, и), Ю1, д,). На первый взгляд, на контуре оболочки должно. быть задано и. пять граничных усло- вий. Однако зто не так. Дело в том, что благодаря кннематической гипотезе Кирхгоффа не все упомякутые перемещения независимы.
Угол поворота нормали к оболочке в плоскости границы (6 ) связан условием сохранения нормали а перемещениями в и и на этой же границе. )' вбб,в бб = ) вб ( — ' — б" ) в ббр в = ~ —" б в бб — ~ об ( бб ) бб. Учитывая, что б ~ — ) = — (Ьыб) выполним во втором сла/дбе1 д ~дР)= дд гвемом интегрирование по частям. Тогда ) Вбб,Вбб — ) в б Вбб — Вб~~'.б) — '" б Вбб. е а р Внеинтегральный член представляет собой разность величии Нбв .в крайних точках границы бх = сопМ. Подставляя полученное значение интеграла в формулу (5.60), получим Оl — вбт ~ 'б- )1г би-~в1бо-(-аббы+ бб1бб1бвбб. бб б!) где в1, ~К вЂ” соответственно приведенные сдвигающая и поперечная ' силы; Бс= Т12+ = 5+ э Э Н 2Н, дН Ю =Э+ —.
В дй (5.62) ' Выражение длп нраведенной поперечной силы совпапает с соответстнуаб. бпнн ныраженнебб в теорн» пластин — см. гл. Р Поэтому число независимых перемещений (а значит и обобщенных сил) равно четырем, и иа границе можно сформулировать только четыре граничных условия, что соответствует восьмому порядку уравнений теории оболочек. Ситуация аналогична имеющейся в теории изгиба пластин (см. гл. 2), где нельзя накладывать граничные условия на поперечную силу и крутящий момент в отдельности, а необходимо вводить в рассмотрение приведенную поперечную силу. Удобнее всего вывести выражения для граничных условий, рассматривая виртуальную работу приложенных к границе а = сопз( сил и моментов на возможных перемещениях.
4У = ~ [Т,ба+ Т1,ба+ Яббиб+ М160;+ НЬЬ,1 В сф> (5.60) з 'где каждая сила множится на вариацию соответствующего ей перемещения, и интегрирование. выполняется вдоль границы а = сопз1. Вычислим интеграл от последнего слагаемого в выражении (5,60), заменяя да его значением по (5.12): 2Н.
дН З2 ~ ~+ в Я2 ~ Я2+ ° ~') ° Ада ' (5.53) Сопоставляя уравнения равновесия элемента оболочки в форме (5.59) и уравнения совместности деформаций (5.34), можно установить наличие между ними определенной аналогии — так называемой стати ко- геометр и че с к ой а н а логи и т е о р и и о б о л о ч е к. Она состоит в том, что уравнения совместности деформаций можно получить из уравнений равновесия, если в последних положить равными нулю компоненты нагрузки и заменить силы и моменты параметрами изменения кривизны и деформациями: Т,- х,', Т, — х,; В- — х„; М, - — з~", М,- ! - — 61' и 2 713. Разумеется, е помощью обратной подстановки можно из уравнений спвместности деформаций получить однородные уравнения равновесия.
Статнко-геометрическая аналогия, установленная впервые А П. Гольденвейзером, широко используется в теории оболочек. В частности, а ее помощью можно выразить общее решение однородных уравнений равновесия через три вспомогательные функции. В самом деле, уравнения неразрывности (5.34) удовлетворяются тождественно, если в них подставить значения деформаций и пара метров изменения кривизны,.выраженные через компоненты пере Если край а соиз( оболочки свободен, то вариации перемещений би, Ьо, би, Ы, произвольны. В 'этом случае на контуре' должны равняться нулю нормальная сила Т„приведенные сдви- В Ф гающая 51 и поперечная Я1 силы и изгибающий момент М;.
Вненнтегральное слагаемое показывает, что в угловых точках возникают сосредоточенные поперечные силы, численно равныв. интенсивности крутящего момента, так же как и в угловых точках пластин — см. гл. 2. Если край оболочки закреплен в отношении каких-либо перемещений, то соответствующая вариация обращается в нуль. В этом случае статическое граничное условие заменяется кинематическим. Итак, выражение (5.61] показывает, что перемещениям на краю а = сопз( соответствуют следующие силовые факторы: и — Т„ и- 5~, в 9ь 61 М,. Граничные условия накладываются либо на перемещение (при его запрещении), либо на соответствующую ему силу (прн свободном перемещении), либо на их линейную комбинацию (при упругом закреплении).' Аналогично, на краю р = сопзт оболочки граничные условия накладываются на перемещения и, о, щ 6, или на силовые факторы 32„Т„Яз, М„где мещения и, о; в по формулам (5.33).
Поэтому и уравнения равно. весия (5.59) будут (при дд = О, = о, = О) удовлетворяться тождественно, если в них положить 7 д = м2 Йд~ ~Рде Ч)з)~ Уд = Йд (дрд1 дрд~ Я~Де 3 = — хда (дрд, <Рз (ра)' (5.64) -'з 0Рд Ч'д дРз)~ ~Ил = — ад(дрд1 %ь <Рз)> ! И= —,7„(Ч„Ч,. Ч)), где под х, (~Р„~Р„~Р,), к д (~Р „дР,, ~Р,) и т. д. понимаютсЯ соответствующие выражения из (5.33), в которые вместо перемещений и, п, д6 подставлены три произвольные непрерывные функции координат. Функции др, (д = 1, 2, 3) играют здесь такую же роль, как, например, функция напряжений Эри в плоской задаче теории упругости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
