Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Следует также иметь в виду, что основные гипотезы теории оболочек (и, в частности,. гипотезы Кирхгоффа)' приближенные и заранее обусловливают погрешность теории порядка Ый '„. Поэтому сохранение в выражениях (5.38) и (5.39) слагаемых порядка МЯ~, 6/Я, по сравнению с единицей-не оправдано, и эти формулы можно записать в виде а е,+х,г; е, ей+х2г. (5.40) При этом нельзя утверждать, что линейные по г формулы (5.40) менее точны, чем формулы (5.38) и (5.39).
Впрочем, и формулы (5.40) не являются единственно возможными линейными по г зависимостями. Используя разложение ! ~2 + 4Юф 1+ — ' % можно зависимости (5.38) и (5.39) после отбрасывания нелинейных по г слагаемых привести к виду / ет 1 Я1 (5.4 1) Эти формулы не отличаются практически от всех приведенных выше, так. как слагаемые — ' з (1 = 1, 2) малы по сравнению в е,. Р,~ и~ ' Однако они показывают, что в зависимостях (5.33) для х, и к, можно без изменения нх точности добавлять слагаемые порядка —.
В некоторых случаях это позволяет привести окончательные а! В~ ' формулы к более простому виду. Для определения сдвига у„, на зквидистантной поверхности вычислим косинус угла ( — — у) между векторами Ф~м и 1Й! 7!2а ~ соз ~ — — у!и 1 = 1!А а ++ 2 дг,! Используя формулу (5.37) и аналогичную формулу для — ', д!! У найдем Далее, учитывая соотношения — —, =' А В $~.$г А В т121 дг+дг.++++++ да дВ дг+ дп+ дг+ дп+ д'г+ + А+В+ 12 А+ — А+ 1+ — ',; В,+=В+ 1+ —,.!.
получаем Заметим, что так как —,+ = — +х~ (1 = 1. 2) то "пре! !-ею %~ небрегая нелинейными в зависимости от компонентов деформации и параметров изменения кривизны членаМи, полученную формулу можно записать в виде ! Ти, — / - ..., (712+ 2Х1а) .
'!+ — '' (!+ — ') й~ ~ !~з (5.42) В связи с малостью — ' и — ' формулу (5.42) можно упростить; Й, Я, тогда ~у,у, а:* у12+ 2х„у, 244 Наряду с выражениями (5.42) и (5.43) можно использовать и . 1 формулу, полученную разложением'11 + — ) в ряды с учетом а~ в окончательном выражении только линейных по г членов! уц, т~~+ 2х~~г, (5.44) -где ! / ! ! к12 х1! ~ + / 7м 2 ~А'~ 1~~/ Формулы (5.42) — (5.44) одинаково точны.
Они показывают, что величину хднф можно вычислять а точностью до слагаемых порядка Использование тех или иных формул определяется аишь простотой выкладок. $ 23. Напряжения в нормальных сечениях оболочки. Силы и моменты. Энергия деформации Рассмотрим бесконечно малый элемент, вырезанный из оболочки двумя парами нормальных сечений пои- и р-линиям и двумя близкими эквидистантными поверхностями.
Напряженное состояние этого элемента характеризуется шестью компонентами напряжений (о„о„о,; т„, тзв, т,э), которые связаны е деформациями элемента известными соотношениями закона Гука, Однако деформации элемента оболочки, полученные в предыдущем разделе на основе кинематических гипотез Кирхгоффа, не позволяют полностью определить напряженное состояние. Согласно этим гипотезам деформации т,з, т„, еэ считались равными нулю,.Поэтому с помощью закона Гука нельзя связать с перемещениями касательные напряжения т„, т,', и нормальное напряжение о,.
Предполагаем, что нормальное напряжение оэ мало по сравнению а напряжениями о„ о~. Эта гипотеза оправдывается тем, что на внешней и внутренней поверхностях оболочки напряжение о, равно интенсивности внешней нормальной нагруаки. В связи с малой толщиной оболочки таков же порядок оэ и во внутренних ее точках. В то же время напряжения о. и о имеют порядок, по крайней мере в ВЙ раз больший, Поэтому в уравнениях закона Гука ! е„— (о, — ро~ — роД; 1 е„° — (о, — ' ра, — ро',) величиной о, можно пренебречь.
Тогда напряжения о, и о~ выра- жаются через деформации по формулам Е о, = —, (е„.+,уе~,); . 24Ь о2 ~ 1 з (ейг + Ре1я)' Е К этим формулам следует присоединить формулу для касательного напряжения $ — р Е ~и 712~ — 2 1 „с 712Я а, = —, (е, + ре, + (н, + рн1) г); Е 2 ~ ф Я (5.45) е г ! (1 — ц) —,1 —.у12+ н„г) ° Снли, действующие в нормальных сечениях оболочки, приводят к срединной поверхности. Так, напряжения о, (рис. 5.1, а) обусловливиот отнесенные к единице длины сечения срединной поверхности усилие Т1 (рис 5.1, б) н момент М, (рнс.
5.1, а). Из условия статической эквивалентности системы напряжений а, в сечении, нормальном к а-линии, погонного усилия- Т, и момента М, получаем Ь/2 йД Т,ВЯ = ~ о,В,дрдг; М,В43 ( о,гВ,прг(г. -ы~ гг Подставляя в полученные формулы выражения (5.40) и (5.43) для компонентов деформации, получим о — (е,+ре,+( +р )г(; Е Учитывая, что В, = В ~1 + — ), находим Л/2 й/2 т, — 1 ~, ( ~ + —,' ) и; и, = / а, (1+ — ') г й.
й/2 й/2 Аналогично, сдвигающее усилие.Т», и крутящий момент М„, обусловленные напряжениями т„, в сечении, нормальном к а-линни, определяются формулами й/2 й/2 Т„= ) т12~ 1+ — ) /(г; М„= ) т12~1 + — ) гиг. й/2 -й/2 В том же сечении действует и поперечная сила интенсивности й/2 Я1 = 1 1211 ++) 1(г- й/2 Интенсивности сил и моментов в сечении, нормальном к р-линии, й/2 й/2 Т,= ~ ай(1+ — )/(г; М, = ) а2(1+ — ) г4г; й/2 ю й/2 т,- /,„(1+ — ')ад и„- ) „(~+ — *)ри; -й/2 й/2 Так как при определении деформаций (а значит, и напряжений) уже пренебрегали слагаемыми порядка г/'м/ по сравнению е единицей, то множитель (1 + г/Я,) в формулах для еил и моментов можно опустить.
Таким образом получим после подстановки напряжений о, и ой по соотношениям (5А5) следующие выражения для нормальных сил и изгибающих моментов: Е/1 Т1 1 Я (61+ ( вй) М1 0(х1+ Рхй) ЕЛ Т2 1 2 (е2+ Нет)~ /1~2 О(хЯ+ Р'х1)ю Е/Р где 0 = — цилиндрическая жесткость. 12 (! — рй) Пренебрежение множителями (1+гЯ/) в формулах для едвигающих сил Т„, Т„и крутящих моментов М„, Мйй может привести и недоразумениям. Приведем еще формулы для вычиаления напряжений в зависимости от сил и моментов. Эти формулы легко получить из уравне- ' ний (5.45)г если выразить в иих деформации и параметры измене-.
ния кривизны через еилы и моменты, т..е. т, !2М, О нвн + я 2 12 1)В Т2 12МВ- о — + — е' 2 ! ВВ (5.47) 3 12Н 22 ! Энергию деформации оболочки вычислим, используя те же гипотезы, что и при 'формулировке уравнений упругости (5.45), т. е. не будем учитывать нормальные напряжения о, и касательные напряжения т„, т22. Поэтому плотность энергии деформации (энергию в единице- объема) можно подсчитать по формуле для двухосногб напряженного состояния и' — (о! + о2 — 2!!о2о2) + — ти ! 2 2 1 2 2Е 20 или , Е О, 2г= г ) —;- !ВН+ Ввв+2гггггг.г+ — 'ггН Учитывая, что 6 - +, последнюю формулу удобнее пред- Е 2 (1+!2) г ставить в виде Е Г 2 Р! г и" = ~(е2, + ее,) + 2(1 — Р) !~ — У)22 — е22е22А!А! ° 2 !1 — и2) 1. 1, 4 Подставив сюда -выражения (5.40), (5.43), получим Ю 2 1, (е,+е,+(х,+х2)е) +, + 2 1! — 2) [ — 12н-)-2н„г)' — 1в, + нг) 1в, + нг)]!.' Для вычисления полной энергии деформации оболочки плотность энергии надо умножить на элементарный объем слоя АГ АВ,АнА2вг (1+~)(1+ — )АВА 22гг ь йх и проинтегрировать по толщине оболочки — — В,.г а — ~ и 2 22! по площади ее срединной поверхности.
249 С той же точностью, которую принимали при выводе значений компонентов деформации, в выражении для элемента объема можно пренебречь малыми величинами НЯ„НЯ,. Тогда, выпол- Ь Ь няя интегрирование по г от — — до —, получим следующее выражение для энергии деформации оболочки: У = „(е, + е~)'+ 2 (1 — р,) — 2 — е,е, + а + — Кх1+ хи) +2(1 — )с) (х12 — х~х2Ц Авдиев~. (5.48) Первое слагаемое в фигурных скобках выражает энергию мембранной деформации оболочки,. второе — энергию ее изгиба. Используя уравнения упругости, можно энергию деформации оболочки выразить также через силы и моменты: у — 1 1~ — „~т, + т,)'+ 2(1+ р)(5' — т,т,~у.)- а а + —,„, [(М,+ М,)'+2(1+у)(Н' — М,М,)) Авданы.
(5.49) Наконец, энергию деформации можно вычислять и по формуле 0 — ) ) (Т,е,+Т,е,+Яу„+М,х,+ М,х,+ 2Нх„) АВдаф. (5.50) Формулы (5.48) — (5.50) справедливы для оболочек как о постоянной, так и с переменной толщиной стенки. 24. Равновесие элемента оболочки. Граничные условия. Статико-геометрическая аналогия т, = (тд, + Т„1~ + д,п) В щ м, =(МА-М„1„) вщ. (5.51) Рассмотрим равновесие элемента оболочки, ограниченного двумя парами нормальных сечений, проходящих через а- и р-линии (рис.
5.2, а) (напомним, что а- и 1)-линии совпадают е линиями- кривизны). Силы (отнесенные к единице длины сечения срединной поверхности) показаны на 'рис. 5.1, б, а моменты — на рис. 5.1, в. В сечении, нормаль к которому совпадает с к-линией, действуют сила и момент (запишем их в векторной форме — см. рис. 5.2, б): ц) 3 В сечении, нормаль к которому еовпадает е р-линией, Т~ ° (Т~1$, + Т 1з + Я~п) А сЬ; (5.52) М, = ( — М,А + М~,(,) А йх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
