Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Уравнение линии представим в виде г = г (а, 13); а = а (з); р = р (з). (4.18) В соответствии е формулой (4.4) единичный вектор касатель- ной к данной кривой Нг дг Ыа дг д'р Ь да Ь+ дб д или, а учетом соотношений (4.16), 1-Аф(,+ — "~ 1,. (4.19) Косинусы углов, составляемых касательной к кривой и координатными линиями, определяются скалярными произведениями, т. е.
да ррр .соз(з, а)-=1 ° 1,=-А — + — соз т; И6 соз (5, р) = 1 $, = А — соз т +  — г да др (4.20) где учтено, что 1,.Ф, = 1, 1, = 1; 1«1, = соз т Возведем выражение (4.19) в квадрат: ю. ~ - 1- А'( — '„" )' + «Ав в « — '" ~««. а Я)* откуда «(эг = А'«(а' + 2АВ соэ Х«(а «ф + В' «(рг. (4.21) Выражение (4.21), определяющее длину элемента произвольной линии на поверхности, называется первой квадратичной формой, а величины А', В', АВ соз Х вЂ” коэффициентами первой квадратичной формы. Сами величины А, В называются п а р ам е т р а м и Л а и е.
В случае ортогональной координатной сети на поверхности ~7( — 1 формула (4.21) 'получает вид 2/ М = А'«(а' + ВЩ~, а величины А — созп,  — =з1п«1 да Ф (4.22) определяют угол «1 между касательной к кривой на поверхности и координатной линией а. Вычислим теперь кривизну линии на поверхности, заданной уравнением (4.18). Согласно выражению (4.9) м' дгг д / дг да дг др1 бг Ра — — ° 1, ° ~, .Л р Игг сЬ ~ да ««г + др Фг' да дгг дг Щ д~г / Иа М дгг да ор дгг У др '«г + — — + — 1« — ) +2 — — — + — ~ — ~ . (4.23) дР й~ даг~«й~ дадф й ~й уф й~ ' 217 Напомним, что вектор ~, равный кривизне рассматривае. мой линии, направлен по главной нормали к ней в сторону вогнутости (см. рис. 4.3).
Спроектируем этот вектор на направление нормали к поверхности, для чего умиожим скалярно выражение (4.23) на вектор нормали и. При этом учтем, что Ф «" и сов ф . дг — — —; — и=Ай, п= О; р р ' да — и= В1,п О, дг др а Где «р — острый угол между нормалью и к поверхности и нормалью ~«к кривой (риа. 4А); знак минус объясняется тем, Рис. 4А что нормаль п направлена в сторону выпуклости .поверхности, а ~ — в сторону вогнутости кривой.
В результате получим — — ~ = — „, (ЕйР'+2М йа43+ М Ф'), (4,24) (4.27) (4.28) Д2 У где Й1 — радиус кривизны нормального сечения, касательного к а-линии. Аналогично, для нормального сечения, касательного к линии, имеем где Е, М, М вЂ” скалярные величинй Выражение в прямых скобках, входящее в (4.24), называется второй квадратичной формой поверхности, а Е, М и й — коэффициентами второй квадратичной формы. Нетрудно видеть, что правая часть равенства (4.24) зависит для данной поверхности г (а, р) только от направления касатель- ной к кривой на поверхности 1см. формулы (4.20)1 и для всех кривых, имеющих общую касательную, одинакова.
Поэтому из всех таких кривых наименьшую (по абсолютной величине) кривизну имеет та, главная нормаль к которой (т) совпадает с нормалью к поверхности (и), так как в этом случае соз.~р = 1. В частности, такая кривая может быть получена при пересечении поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к ней. Кривизна такого нор м а л ь ного сече н и я опреде. ляется формулой — — = Е ( — „" ) + 2М вЂ” „— + М ~ — ) ° (4.26) В соответствии с формулой (4.24) кривизна любого другого плоского сечения, составляющего двугранный угол д с нормаль- ным и имеющего с ним общую касательную, ! 1 р й сов <р ' Формула (4.27), связывающая кривизны наклонного и нормаль- ного сечений, выражает так называемую теорему Менье.
4а .! - Если нормальное сечение касается а-линии, ' то — = О и по формуле (4.2б) ар . Обозначим величину, называемую, кручением поверхности, через 1 М ынх (4.3О» АВ ' Тогда формула (4:26) получает вид — = —,соз т1+ — „з1п т( — — соз т1з1пЧ (4 32) 2 1 2 Р И; К," 'т12 Формула (4.32), устанавливающая зависимость кривизны линии произвольного нормального сечения от угла т), аналогична известной формуле для момента инерции плоской фигуры атно- сительно наклонной оси. Нетрудно установить, что для двух взаимно перпендикулярных направлений, ссютветствующих углам т1„' таким, что Ф2ть = 2 ) ' (4.33) 1 кривизна — принимает экстремальные значения 1 Р, (4.34) Направления, определяемые формулой (4.33), называют г л а в- н ы м и н а п р а ил ен н я ми, а экстремальные зна~ения кривизны нормального сечения в данной точке — г л а в н ы м и к р и в и з н а м и поверхности.
Линии на поверхности, каса- тельные к которым везде совпадают о главными направлениями, называют линиями кривизны. Линии кривизны образуют ортогональную сеть на поверхности. Так как главные кривизны поверхности —, — (см. (4.34)) 1 1 ь~, Формулы (4.26) — (4.31) справедливы при произвольных координатных линиях на поверхности. Если поверхность отнесена к ортогональной системе гауссовых ноорвн а (х = — 1, то вхонвыне в равенство (4.3т) вевнчнны А йа В В41Р— — связаны с углом р1 между касательной к линии сечения и,4х-линией зависимостями (4.22).
В этом случае равенство (4.31) можно записать в виде не зависят от того, к какой именно орто= гональной системе гауссовых координат и, р отнесена поверхность, то величины 1 1 1 (4.35) й~й' йЬ И~Из Рис. 4.5 - также не зависят от ориентации а- и р-ли-.
ний и являются и н в а р и а н т а м и, определяемыми~ только формой поверхности. Первый из этих инвариантов называют сре.дией кривизной поверхности, а' второй — гауссовой кривизной. В зависимости от знака гауссовой кривизны все поверхности делятся на поверхности' положительной (например, сфера), нулевой(например, цилиндр) и отрицательной(седлообразная поверхность) кривизны. Разные области одной и той же поверхности могут иметь кривизну разного знака. Так, например, внешняя часть поверхности тора (рис. 4.5) имеет положительную, а внутренняя — отрицательную' кривизну.
На линиях, разграничивающих эти части (линия А на. рис. 4.5), гауссова кривизна равна кулю, Такие линии называют а а им п тот ич ес к ими. Если координатные линии не являются ортогональными, формулы для определения угла наклона линий.кривизны 11 линии з и для главных кривизн несколько усложняются и принимают вид 81П х 310 2х 2 ,(4.36) И~ Н( !~и Г! ~ —,+ —,+.— сову ° 2зш" х ~й1 й~ !ам 'вГг 1 1 2 ~2 У 1. 1 ~ —,+ —,+ — совц — 4~ —,, — —,, ~ з1п'у .
(4.37) — 1~ ~ г; я; я„~ ~л(л; дЬ~ 1 1 ! В этих формулах —,, —, и — по-прежнему связаны о коэф- 11( йи йм фициентами второй квадратичной формы зависимостями (4.28)— (4.30). Нетрудно установить, что при неортогональцых координатных линиях средняя кривизна 2( + 11 ) — 21, (1~,+ ~,+~ совХ), (4.38) а гауссова кривизна (4.39) -Пример 4.1. 'Рассмотрим 1 геометрию поверхности враще. иия. Зададим форму меридиана поверхности в параметрическом виде, выбрав в качестве пара-' метра длину дуги з меридиана, отсчитываемую от. некоторой начальной параллели (илн от полюса) (рис.
4.6,а): т= т($);" «т У Е = Я ($). В качестве координат точки «т на поверхности а, р выберем ту же координату $, определяющую 8 положение точки на меридиане, и угаа «р, составляемый данной «, мсридиональной плоскостью с иачальнс41, т. е. а з; !) = ф, Введем также неподвижную декартову систему координат х, Рис 4'6 р, У (рис, 4.6, а). Обозначим угол между нормалью к поверхности и осью ее симметрии буквой 8.
Имеют место очевидные зависимости (рис, 4.6, б) — = со$0! — — 3!п 8. «!т, «1Е «Ь «Ь Декартовы координаты произвольной точки М на поверхности л * т (з) с«м «р1 р т (з) з!и «р; 2 =, Я ($). Следовательно, вектор г, определяющий положение точки М, может быть представлен в виде г тсозф!+т $1п ф)+Лг, где 1, 1„!г — орты по осяь«х, р, Я. ' Вычислим частные производные вектора г1 дг дг «!т «(т «(Š— — — сов ф1+ — з!п«р) + — и = (сов«р1 + з1п «р1) сов 8 — $(п О!ц да да «Ь «Ь «Ь дг дг — — — т з!п «р! + т соз ф)' д)) — др « д'г д'г ««8 «!0 — = — в~ — (со$ ф1+ $1п «р1) $!п8 — — со$8 — !ц даз дзз «Ь «Ь дг' дзг — — — т сов «р! — т з1п «р1 дра ' дфз 1 дга даг = ( $!п ф! + соз ф1) со$0. да д)3 дз д«р Козффициенты первой квадратичной формы -А' = ( — 1 = (созе ф+ $!а' «р) со$$0 + з!пз 0 = 1; ~ да/ Вз = ~ — ~ т сОззф+тзз)п*ф тв.
«д(3/ ( = — — = — з!пф1+созф!' 1 дг В д() е ! соз ф соз О з1п ф соз Π— з1п О соз ф з1п О1 + — з(пф соз ф О п=(,х~, + з1п ф з1п О 1 + соз ОЕ Система координат а, () — ортогональная, так как 1,1, =О. н По формулам (4.25) коэффициенты второй квадратичной формы д'г М де у(0 . Е = — зп = — (сова ф+ в(п~ ф) вш'0 — — сова 0 — = — —; дв у(з й д'г М = — и ( — в1п ф сов ф + сов ф в(п ф) вш 0 сов 0 = О; да др й! = и = — (сова ф+ вшз ф) г в(п 0* — г в!и О. дуг д Й Вычислим кривизны и кручение поверхности по формулам (4.28) — (4.30): «Е 1 й( впЕ 1 И м — =' — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
