Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Третье и четвертое уравнения 'могут быть получены из двух последних уравнений равновесия (3.133) после замены Т~, Т'в, Я, М, их выражениями из (3.135) о учетом зависимостей — Р(з) =2пг(д„созО+ — д з1пО+); Н д., соз 8+ + д„з(п 8' д„ ! — (вв мп0+сов0+ Р(в) + Ео ' г 2я ~(0+ 1 р, + 12 (1 — )вв) 1 — = — — — (з1пО'- з!п 8)+ (Ь = й, Еав, - г — гМ,; — „, (гФ) — —, $+ и —, гИ + (в —, — — ц . ЕИ сов 0+ в!и О+ Р (в) — (гМД = — соз О' (з1п Π— з1п 8) + з!п О+гй + ~(в 12г + р,— гМ вЂ” сов О+в сов 0+ . + Р(в) г 2п К' этой замкнутой системе четырех уравнений е четырьмя неизвестными следует добавить уравнение для определения осевых перемещений д~ + в1п 0+ 1 — )в',в1п О+сов0+ — з(п О' — з1и 8 — )в — $+ — ' г!Ч+ ~(в г ЕЬ г 1 — (вв в!пв О+ Р (в) +— Ео г . 2Б (3.137) 204 где Р (в) — суммарная осевая нагрузка на часть деформированной оболочки радиуса г; д„д„и д, — ссютветственно меридиональная, нормальная и радиальная йагрузки, отнесенные к единице срединной поверхности оболочки.
Полученная таким образом система уравнений имеет . вид дв ' сов 0+ + 1 — И' сов*0 — = — р — 3+ соз О+ — соз 8+ — —. гФ + дв . г ЕИ г Есди считать угол поворота нормали . 8 = 0' — 0 малым, в получен-. ных уравнениях принять з1п О+ — з1п 0 ~ д соз 8; соз 0' — соз 0 = — 0 з! и 8 и сохранить только члены первого порядка малости, то уравнения совпадут с линейными, выведенными в $ 16. Так же как и в линейном сл чае У, Рис. 3.44 для уравнений (3.136) можно решить задачу Коши, т.
е. зная значения основных неизвестных $; О, гУ, гМ, в сечении оболочки з = з„ определить путем инте. грирования уравнений на ЭВМ значения тех же неизвестных при з = 81. Основная трудность заключается как раз в определении оеновных неизвестных' в начальном сечении. Как и в линейной задаче две из четырех величин, определяющих состояние сечения з = з„ находят из граничных условий в этом же сечении, а остальные две выбирают так, чтобы удовлетворялись граничные условия на торце з=з,. Однако в отличие от линейной задачи значения, неизвестных при з = з1 не могут быть явно выражены через их значения при з = з,. Поэтому для определения начальных параметров приходится решать неявную систему уравнений.
Рассмотрим расчет пологой сферической оболочки о жестким центром, нагруженным силой .Р (рис. 3 44). В этом случае Р (з) = — Р = сопят. При з = зи = .ЙОи дол» жны быть выполнены граничные условия 8+~, „= Оо', $~=, =0; (3.138) при з = з, = ДО, 0~, „=0,; 1~, „=О. (3.139) Граничные условия (3.138) определяют значения 0+ и $ при з = з,, Однако значения гМ и гМ, в этом сечении остаются неизвестнымн; они должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялись условия (3.139). Задав О+~.=..
= 8„$ ~, „= 0 и некоторые значения гУ ~, -=а и гМ,~, „=р и проинтегрировав. численно систему (3.136) в интервале зи == з ~' з„получим вполне определенные значения $(, .„и-8~, Поэтому можно утверждать, что $ ~, „= Ф1 (а, р); 0'~... — 0~ = ~2 (а, р), где ф, (1 = 1, 2) — некоторые неявные функции от а, 13. Значения этих функций при заданных а, р могут быть найдены интегриро' ванием системы уравнений (3.136) при соответствующих начальных условиях, И6 Задача определейия начальных йараметров гМ 1,=„, ~М~ 1,=ц сводится, таким образом, к отысканию таких и'и 11, прй которых' 5~,, = фд (сс, р) 0; 0+ ~,=„— 0 = фе (а, р) = О.
Одним из наиболее эффективных приемов решения такого рода нелинейных уравнений является итерационный метод Ньютона (метод касательных). Суть зтого метода применительно к решению нелинейных уравнений вида д~д (а, р) О; Фе(, ()) О (3.140) таковж 1) выбирают нулевое приближение для неизвестных величин (с»е ро) ,2) вычисляют значения функций Фд (ао, ре)+ О; фе (а ее 0 е) + О; 3) вычисляют частные производные функций ~рд, фе в точке сде 1де: Ид, дФ~ . дФз . д~Ь, д 1 др э д» е 4) предполагая, что в окрестностях точки а„ре функции 1рд„ 9е можно представить в виде Мсе.
Р)-ЧЪ(~, ро)+ —,' (а-ае)+ ~" Ф-Ро); Фа(се Р) Фе(сдо Ро)+ д ' (се ~де)+ ~' Р— Ро) определяют приближенные значения корней а, р уравнений (3.140): сод = сЪ А ~ $1(Фо ()о) ф Ч~е (Фо 10) д11 (3. 1,41) рд ро — а ~ЧЪ(~о~ Ро) д,„~Ь(Фо» ро) д,„~1 д$~ '1 где Ь вЂ” определитель, составленный из частных производных; дЧ д дФ~ М д~ д~К ФЬ да д~3 (3.142). 5) вычисляют значения функций фд (ад, ($д), щ (ад, ()д) и, если уравнения (3.140) не удовлетворяются о заданной точностью, повторяют расчет, приняв в качестве исходного прибли- жениЯ а„Рд и т. д., пока не бУдет достигнУта необходимаЯ тпч, 206 ность.
При применении описанного алгоритма в данной задаче имеется ряд особенностей. Основная особенность заключается в том, что неявная форма функций -з(), (а, р), '(1)2(а, р) не поз- воляет определять частные производные дифференцированием. Их приходится вычислять путем трехкратного интегрирования системы дифференциальных уравнений (3.136) при различных начальных условиях: 1) а=аз' Р Ро' 2) а = ао + Ла ~1 = Ц: 3) сз = (хо; р = р о + Ьр, где Ла, Ьр — малые приращения. Вычислив соответствующие значения ))),-, определяют при- ближенные значения частных производных по формулам Ц( ((хо+ А(х )6о) )()1 (("о ОоВ дФ (3.143) д ((1)1 (("о Ро+ М) — Ф (о(о ро)1 (1= 1, 2), Таким образом, если использовать метод Ньютона в исходной форме, то переход к каждому следующему приближению требует трехкратного интегрирования уравнений (3.136).
Существенная экономия машинноговремениполучается, если использовать пред- ложенную Л. В. Канторовичем модификацию метода Ньютона. Эта модификация состоит в том, что производные — ~', 1 вы- числяют только один раз в точке (хо, р„соответствующей нуле- вому приближению. При расчете последующих приближений эти величины не изменяются.
В этом случае каждое приближение (кроме первого) требует только однократного интегрирования си- . стемы дифференциальных уравнений. Быстрота сходимости ме- тода Ньютона, и особенно рассматриваемого его варианта, суще- ственно зависит от того, насколько хорошо выбрано начальное приближение и„ро. Для улучшения этого приближения исполь- зуют метод шагов по параметру, например по параметру нагрузки.
Идея метода состоит в том, что, проведя расчет при двух значениях нагрузки Р, и Ро и зная уже значения (х и р при этих нагрузках, далее определяют начальное приближение аР, ро(", при третьей нагрузке Р, по формулам линейной экстраполяции с(о — — а + —, (а — и ); (3) (2) Рз — Рз .(2) (1) Рз Р1 (3.144) дз) ~(2) + Рз — Рз (р(2) р(1)) Рз — Р1 Расчет начинают о достаточно малых значений нагрузки, при которых все зависимости линейны и формулы (3.141) сразу приводит к точным значениям начальных параметров.
207 В качестве примера применения изложенной теории приведем результаты расчета задачи о сжатии конического резино-' металлического амортизатора '. Амортизатор представляет собой коническую резиновую оболочку, торцы которой привулканнзированы к металлической арматуре. Так как эта оболочка не является тонкой, в расчете дополнительно были учтены деформации поперечного' сдвига по схеме С.
П. Тимошенко, т. е. предполагалось, что элемент, до деформации нормальный к срединной поверхности оболочки, остается после деформации прямолинейным, но составляет с нормалью к деформированной поверхности угол сдвига 0 "т' = — ° Ию В этом случае в выражениях (3.132) для параметров изменения кривизны х„нз под углом О' следует понимать угол, образуемый осью симметрии оболочки с указанным элементом. Этот же угол можно подразумевать под 6+ и в уравнениях равновесия (3.133). Однако в уравнения (3.132), определяющие — „ ся и —, входит угол между касательной к меридиану деформироИ~ ванной оболочки и плоскостью, нормальной к ее осн.,-)тот угол равен О+ — у. Таким образом, с учетом деформаций сдвига два первых уравнения (3;132) имеют форму — = е, соз (О' — у) + соз(О' — р) — сиз О; ~Ц вЂ” =,з1п(6 — у)+ з1п(6 — у) -з1пО.
4~ 1з Преобразование этих выражений о учетом малости е, и т» приводит к равенствам — и, соз 6+ + соз О+ — соз О+ 7 з1п 8+; йз ф= е,з1пО++з1пО' — з1п8 — рсозО», которые только последними слагаемыми отличаются от формул (3.132). Угол сдвига у исключается о помощью зависимостей (3.145) «См. Бидерман В. Л.» Коровяков В. А. Расчет конического резииометалли. ческого амортизатора.— «Изв, вузов. Машиностроение», 1976, 1чз 9, с. 37.
и (3.135). В результате для производных — и — получены % .вП А следующие формулы: соя 6+ — = — р — 5+ сов 8' — сов 8+ Ы~ г ( во' сов О' -)- — в во О') + р с-Е~ Р (в) ЕА 2п 2( +р) з)п 9+ ( )1в 8+ Р( ) 8+~ „ — = в1п8 — в1п0 — и $+ ' с(~, + ', з)па+ в(~ г — (вЛ' сов 0'+ — в!оО')— 1 — р~ в1п В+ / + Р(з) ЕА 2и 2(1+В) союз+ г + Р(з) ЕА г ~ 2и ~гФ в1п 0' — — сов 8+ Эти уравнения заменяют теперь первое из уравнений (3.136) и уравнение (3.137). Для рассматриваемой задачи (коническая оболочка) 0 = сопз1; — - О; г" (в) = — Р = сопв1.
Начало отсчета з помещено в вер- 1 К1 шине конуса, так что г = в сов 8. Сиатема уравнений должна быть проинтегрирована при еледующих граничных условиях на торцах: в=в~ $0, 8' 0; в=в~ в= О, 8+=8. При расчете были введены следующие безразмерные перемен НыЕ1 $ . о= — ", р — „= асов8; х= — „; у -~-; А 1 А А' А' У . М1А п=* — ' ги=— ЕА' 0 Р и безразмерный параметр нагрузки д = — „,, Система уравнений'в безразмерных переменных получила вид — — р сов 8+ — + сов 8' — сов 8+ —" (ир) + 4п р р -1- ( +") ' (осов0++ирв)п0+); р р рХ 4о 1~ и Рис. 3.45 «Ю+ 1 — = — [шр — р (з1п О+ — з1п О)); й~ р — р — + »'" [прсозΠ— дз1п О+[; — = — созО гпр+ «1 (нтр) р + й» р + " созО+(з1пО' — з1п 0)+' $ Р + 12 (1 — р') (пр з1п О'+ д соз О'); —" = з1п О' — з1п О— «1р сЬ ~ +") пр з1пО+соз О'+ " [2 — (1+ 1») з1п'О') д. Р Р В связи е малой длиной образующей конуса («короткая» оболочка) оказалось возможным интегрировать уравнения методом начальных параметров'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
