Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Так как система уравнений теории оболочек имеет восьмой порядок, следует вь1брать в.качестве основных неизвестных восемь переменных, исключив. остальные. Примем в качестве основных переменных четыре величины, характеризующие перемещения и<ц, о1ц, и~р1, 01 1ц, и четыре соответствующих им силовых фактора Т, <~и 51'1~1, Я~ 1~1, М~ 1~и Для того чтобы произведение вектора сил на вектор перемещений было пропорционально работе (см. гл. 11), за основные неизвестные примем не сами силовые фак.
торы, а их произведения на радиус параллельного круга (т. е. кТ~ <д1, г51 1~1 и т. н.). Перемещения и усилия, соответствующие й-му члену разложения, определяются формулами и= и,~1созЬр; о= о,1,1 з1пЬр; га гаиосозйф; б~ =бт,цсозЬр; О~ = Ор но з1п Йф; Т1 = Т~ ~д1 соз Ьр; 51=5~ но з1пЬР; Я~ =Я~,,созЬР; М1 = М~,~> соз Ьр; Н = Нпн з1п Ьр; Т, = Т, „, соз Ьр; IИ, = М,,~1соз йф. Выведем формулы, с помощью которых перемещения и силы, не входящие в число основных переменных, выражаются через основные. Для определения угла б, воспользуемся формулой из (5.67) О = — о — — = ~ — о,и+ — ~о<~,) з1п Ьр. (6.72) я!пО ды У мпв /г с сдф ~ г с Таким образом, амплитуда О~,д> выражается через амплитуды о1, и в,~1 алгебраически. Для определения Т, используем уравнение упругости е, = — „(Т,— р,т,), 1 откуда Тс = цТ, + Ейе~.
После подстановки е, по второй нз формул (5.67) найдем Тз Тз <с1 СОЗ Ьр 1 а сов 0 з1п В [Рт~ <а>-~-ей( — оа>+ — иц+ —,и~а~)] саиьР, (5.73> Аналогично поступаем а моментом М,. Из формулы 12 х,= — „, (М,— рМ,) находим елз М~=рМ,+ — хз, Заменяя здесь х, его выражением из (6.67), получим Мз = М з,~1 соз Ьр = Я~з у сп~ 9 й й~ (рм~, ~ + — ( — 6 р> + —, и~п0э<* -~- —, ар>)] совйу. ~534) г Крутящий момент О = О((,> з1п Ьр = О (1 — 1() и( = Е~Р г (! 1созО й з1п 0 = 12(1+ ) ( — —,, т(( оц —,, ((о(ц+ —,, и(~1) з(пй(р. (5.75) Перейдем к преобразованию уравнений равновесия.
Прежде всего исключим Я, из второго, третьего и четвертого уравнений (5.б9) и заменим в них 5 выражением Я вЂ” — = Я вЂ” '!" Н. /~, дн дО Кроме того, учтем, что Я! = Я вЂ” — и — = —. После т д(р дз этих преобразований уравнения равновесия получают вид дт, дЛ( 2з(п0 дН т г — '+ соз О Т(+ — — соз ОТ~ — — + — (~( +г((! = О дз ду д'р Йг дт, <% в!и 0 дМ., — '+ г — + 2соз ОВ! + — — ' + гд2 = 0' дф д~ т д(р дЯ*! 2созО дН г — + соз ОЯ(+ — — + дз т д~р 1 д'М, — — Т вЂ” з1пО Т2+ г(!з = О; (5.75) 1 Г дН д — ~2 — + — (М(г) — соз О М2~ — Щ = О. др д.
2Фз1пО т е +; О(ц — ~ Ф (ц — г(1( (ц1 д т е * (( я1п 0 д! ~3! (~!г) соз О Я! (ь! + ЙТ2 (ц + М~ ( !) т(72 Й( (цг) Т! (ц + з(п 0 Т2 (ц— ! — ~,, 2Ь соя О ь2 (й1+ М2 (ц — цо (~1', (5.77) И д8 (М( р!г) = соз О М~ (ц — 2ЫЦ(ц + г(„!(',ц Еще четыре дифференциальных уравнения относительно основйых неизвестных получим из геометрических соотношений и урав- Подставим в уравнения равновесия разложения (5.71) и разре- шим их относительно производных основных .неизвестных: й Ф ~ (Т! (цг) = — /й! (ц + соз О Т2 (ц + 1 и . Йо пений упругости.
Так, из формулы О, = — — — — находим для й, дз сЬ(Ф) и(Ф) А-го члена разложения — = — — О> 1з>. дз Р> Из формулы ди д> 1 = — + = — (Т, — рТ.1 оз й, Ь» следует "">з> ~1з> 1 +,„(Т, „, — рт„„). йз Й> Из формулы определяем д>0>З> еоз В Ь вЂ” = — о<з>+ — „и<и>+ с>з е>> 1 (и й вм И, наконец, нз формулы доз 12 >зз = — =з (Мз 1>Мз? дз Е»з находим 'О> <з> 12 4з у,з (М> (з> РМз >з>)' Последней операцией является замена в полученных уравнениях Тз >з>, Мз >з> и Н<з> их выражениями через основные неизвестные. В результате получается замкнутая система линейных уравнений относительно основных неизвестных. Эту систему удобно представить в матричной форме — Унп = ГзУ>д>+ Я1з>, (5.78) дз где у>з> — вектор состояния; Ф у1з>=1и1з>, >з><з>, п1з>, О> >з>, Т> >з>г, (~> <з>г, 5> >з>г, М>,з>г); (5.79) Г>з> — МатРИЦа ПЕРЕМЕННЫХ КОЭффИЦИЕНтОВ; д>з> — ВЕКТОР НаГРУ- зок.
В развернутом виде система уравнений выписана в табл. 5.1. Как видно из таблицы, матрица (8Х8) коэффициентов уравнения (5.78) удовлетворяет условиям, сформулированным в гл. 11. А именно, если представить эту матрицу в виде блоков (4х4' то Ггг = — Ги, а матрицы Гд и. Гд — симметричные. Система уравнений, аналогичная системе, приведенной в табл. 5.1, дана в работе [56). - Основные .отличия следующие.
1, В связи с тем, что в качестве основных неизвестных приняты силы, умноженные на радиус, в табл. 5.1 все элементы блока Г„ делятся на г, а все элементы блока Г„умножаются на г. Кроме того; элементы главной диагонали блока Г„имеют дополнительное сочв слагаемое —. г 2. Принятое положительное направление отсчета угла д, отличается от принятого в работе 156). Поэтому все элементы четвертой строки и четвертого столбца матрицы Г<д~ (за исключением ~„) имеют противоположные знаки. 3.
Так как для хЬ использовано выражение (5.68), оказались равными нулю коэффициенты при (Я~м г) в седьмой и восьмой втроках таблицы. Это расхождение лежит в пределах точности теории оболочек. С той же точностью заменены нулями малые третий и четвертый коэффициенты второго уравнения. 4. Исправлена опечатка в знаке в круглых скобках четвертого элемента последней строки. Система уравнений в табл. 5.1 приведена в размерной форме. Для численного расчета нетрудно перейти к безразмерным переменным, введя соответствующие нормирующие множители.
При этом может быть использован простой прием введения линейного и силового масштабов, рекомендованный в' 5 16. Расчет, как правило, должен выполняться методом прогонки или методом ортогонализации (см. гл. 11), так как в связи с наличием быстро возрастающих решений метод начальных параметров оказывается обычно неприменимым. При использовании метода ортогонализации С. К. Годунова программа для расчета й-го члена разложения отличается от ппчведенной в Приложении программы осесимметричной задачи только размерностью матриц. Неудобством системы уравнений (5.78) является то, что силы и .
перемещения отнесены к локальной системе координат. Поэтому коэффициенты системы терпят разрывы в ~очках, где скачком меняется кривизна меридиана. Если меридиан оболочки состоит из нескольких участков е угловыми точками между ними, то необходимо составлять уравнения совместности для различных участков.
Эти трудности можно обойти, если перейти к глобальным координатам, единым для всей оболочки. Будем проектировать силы и перемещения не на касательную и нормаль к меридиану, а на нормаль к оси симметрии оболочки и на еаму ось. Таким образом, вместо перемещений и и в введем перемещения $ и ь, а вместо аил Т~ и Я~ — силы Х и Я (рис.
5.3). РЪ О ч Ф СР о Ю о ".$й ! ! Й !! Ю И 'й сй 3 о ~Ж~ Ф 4а Й !! ъ ! П Ч- !! ф П -'1= Я !"- П 4= В о СО Я я =!. СР В .е~ (Р 3 о 1 Л 4! П ф .е ~ !! ф ;-~ъ + Я -!. $ $ СЬ ОЗ о Ф1 СР Я Р) .е ~ П ф Ф Рис. 5.3 Как следует из рисунка, имеются следующие зависимости: $ = и соз 0 +.в ып О; Х = Т1 соз 0 -~- Я1' яп 0; ~ = и яп 0 — в соз 0; Е = Т1 яп 0 — ® соз О. ан Дифференцируя эти выражения по з и учитывал, что — = —, 1 п~ лучим — = — 'соз О+ — з1п 0 — =; д$ ди. а дз дь д~ Э вЂ” — — з1п Π— — соз О -~-— ди дв $ дя дз д~ й1 и, аналогично, дХ дт1 .
Я~ Š— = — 'сов О+ — з1п 0 — —; дз дз дз Я дх дт1 дЯ', Х вЂ” = — ' з1п  — — созВ+ —. дя дя дз й1 ' Такими же зависимостями связаны между собой и производные по з от каждого из коэффициентов разложения в ряд Фурье соот- ветствующих сил. Пользуясь этими формулами и зная иэ табл.
5.1 димо "и'<ц производиые — „, — и т, д., находим производные всех ком- понентов вектора угц Й<ц, ~гц, о<ц, 0~ <ц, Хсцг, У<цг, 5~~цг, М1гцг1, (5.80) выраженные через и<ц, о<д>, ..., Т1 иц, ..., М1 <ц. Заменяя в полученных зависимостях и~ц, Т1 ии, э~и, Я~ сц их выраже- ниями иии $гц созО+~ии мпВ; Т~,ц Х<ц созО+Л<ц з1пО," и~ц = В<ц з1п Π— ~<ц сов 0;, Я1,~> Х,ц з1п 0 — Лгц соз О, приведем уравнения к виду у<ц ~(Чую) + М(и' Коэффициенты этих уравнений-выписаны в табл. 5.2, причем введены следующие обозначения для радиального и осевого компонентов нагрузки: 0„~~> = и ~~~ соз О+ ф ои з1п6; (5.82) 0, цо — — 0~ <~> з1п 0 — Цз по соз 0. Как видно из табл, 5.2, коэффициенты уравнений, составленных относительно вектора (5.80), не содержат кривизны меридиана 1 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
