Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 39
Текст из файла (страница 39)
иД~> в1п Ьр; а=о й 1 и' (в, ф) = ~ и<~~ сов Ьр+,)~~ вф в1п Ьр; 1=0 1=1 1 й - — ЬТв~~1+ — — (Б~~~г )+ гЩ ~а~ = 01 (6.7) "~и > ~'~и + — = в1 ~~1~ Я, сов О мп 0 г ~ 1+ г ~ ~+ г (6.8) О (в, ф) = ~ о~р~ з1пйф ~ Ор,) сов Йф, 1=1 Ф= — о где первые ряды (с коэффициентами без верхнего индекса) соот- ветствуют симметричной относительно начального меридиана деформации оболочки, а вторые — кососимметричной. Подставляя принятые разложения в уравнения (6.4) и й,б), получим для А-х членов разложения без верхнего индекса и о индексом в одинаковые уравнения: И вЂ” (Т1,~>г)+ Ю1ц —.
сов О То,~>+ гд~ <~, — — О; 1 1 е(оо = — (Т(((,— рТзоп)1 е~и, ЕЬ ~Т2(м — (".Т((ц); 2 (1+И 'уд (д] =, Л(ц, (б.9) При ?( = О уравнения симметричной относительно начального меридиана задачи описывают осесимметричную деформацию безмоментной оболочки. Решение этих уравнений рассмотрено в гл. 3. Из уравнений кососимметричной относительно начального меридиана деформации при я = О только два не являются тожде- ствамн — — (5(0(г ) + г(?2 (О) = О; 1 а (51 2 ($) дь (( ~ ('(01 211+(() (з> ' (и Г— (Ь (, г ~ ЕИ ~(0>.
Нетрудно видеть, что эти уравнения описывают к р у ч е н и е оболочки. Их интегралы 2л(" ~(01 =~ 2л ~ (?г (о>~ (?з + С( = %; 16.! О) Рис. б,! "~о) 2 (1+1() г %(Ь г е 1 2(цч( 1' — +С, выражают величину суммарного крутящего момента в кольцевом сечении оболочки, проходящем по параллельному кругу, и угол поворота этого сечения, При ?( = 1 (так называемая ветровая или изгибающая нагрузка), как и при й = О, можно пол у,чить общие решения уравнений (б.7)— ((?.8) в квадратурах для оболочки с произвольной формой меридиана при произвольном законе изменения толщины вдоль меридиана.
При й = ! внутренние силы в кольцевом сечении оболочки не уравновешены. Их можно привести к моменту, вектор которого нормален к оси вращения оболочки и к силе, нормальной к этой же оси. 7у Ясно, что эти величины выражаются (( через внешние нагрузки, приложенные з„Ф((гах по одну сторону от сечения. Рассмотг„аЯчу(((У ' Рим, напРимеР, дефоРмацию, симметричную относительно нулевого меридиана.
Выделив элемент гд(г сечения ' оболочки по параллельному кругу (рис, 6.1), установим, что на него действуют касательная сила5««! з!и «рг«1у и нормальная сила Т««цсоз «рг«!«р. Нормальную силу можно разложить на две составляющие: параллельную оси симметрии оболочки Т««цз!и О соз «рг «!«р и лежащую в плоскости параллельного круга Т„ц О .
~.а~. Найдем теперь сумму проекций сил в сечении на ось х, проходящую через нулевой меридиан, 2л 2л «.«,„= Т««ц г соз О ~ соз'«р йр — 8«цг ) з!и' «р «1«р = 0 о = лг (Т«««> соз Π— Я«ц). (6:1 1) Момент сил в сечении относительно оси д создается только нормальной к плоскости параллельного круга составляющей силы Т„т. е. 2и %„Т««цг' з!п О ~ соз' «р «(«р = пг' з«п О Т««ц. (6.
! 2) 0 Сила Я„ и момент % соответствуют поперечной силе и изгибающему моменту в оболочке, рассматриваемой как балка. Оии определяются как сумма проекций на ось х и сумма моментов относительно оси у всех внешних нагрузок, приложенных к оболочке по одну сторону от сечения. Зная их, можно определить Т«««> =, . , '3««! = —,с1яΠ— —; 6.. (6.13) 7 т,,ц « Т„ц =,, ~~д„ц— Точно так же величины Т«««ц, Б«ц, Т~«ц выражаются через «5) «Я) «Ы) поперечную силу 9 и момент — ОК,. Учитывая, что ф, и %„связаны е нагрузкой на вышележащую часть оболочки равенствами (следующими из условий рав« новесия этой части) ® = ٠— п ~ («7««ц соз О + дз и> з!и Π— «7~) г <Ь; (6. 14) Му=%0+ ~ Я~а!пО«Ь Бо нетрудно проверить, что выражения (6.13) удовлетворяют уравнениям (6.7) при й = 1.
В выражениях (6.14) Я«, и %0 представляют собой силу и момент, приложенные к верхнему срезу оболочки (при з = з0). Уравнения (6.8) для определения перемещений при й = 1 также могут быть проинтегрированы в общем виде. С этой целью исключим из уравнений (6.8) и«ц н «в«ц, положив я = 1. Получим 1 дд /~дд) ~ — одц + соз О ~г —, ~ — ) — удг < ц + зд, ° ! Лд ( а ~ д (ддд>1 + — (вд сц — — д г — ( — ~ — гедд дц = ег дц.
я,~ ь~ дд, / Преобразуя это уравнение о учетом того, что мп В Э т дд~ ДН вЂ” соз 0; Ь ' Лд Ж" приведем его к виду (6. 15) где ! ! + "дд~ддгсоз 0 — — — ° ~~д ~» Г Из формулы (6.15) ощ=1(1~п01ддв1дл-~-с,1в~пйди.д.с,. (б!61 Затем по формулам (6.8) находим нищ — ~н~пщ-)- (1 д Й+ с,) ~~~п6 — ц ц~о~6; (6.17) пд<дд К2 (зз,дд+ уд2ддд соз О)— — (1дй+с)~совй — ид>в~пй, и, = (и соз О + ддд здп О) соз ф — дд зш ф; и„(и соз О+ дддзш О) здп ф+ исозф; и, ддз1п Π— дддсозО. авв причем одц определяется по формуле (6.16). Смысл входящих в выражения (6.16) и (6.17) постоянных легко обнаружить, перейдя от компонентов и, о, ддд перемещения в локальной системе координат к компонентам и„, и„, и, в декартовых координатах: Подставляя в' эти выражения и и~ц соз Вр, о = огц з1п Вр, н5 = в~ц сов <р, а также значения игц, ппц, н5<ц, получим и, ~ввв>сов'о — ) [ввпв)~вв)вв — св)в!ивов — св; Иу ~= си ап Гц З1П вВ СОЗ Вав ! и, — [ С, В- ~ В Вв — —.
(В„во В- в, в в сов В) ~ в сов О. 5 Как видно из полученных формул, параллельный круг обо почки остается после деформации плоским, причем он поворачивается вокруг осн у на угол 1 6 = С| + [ ~ с(з — —, (у1~ 01 + аВ пц соз 6), Искажение круговой формы сечения, характеризуемое перемещением и„и первым слагаемым в формуле для и„, связано только с деформацией а,.
Постоянные С, и С, определяют перемещения оболочки как жесткой — поворот ее относительно оси у (С,) и поступательное перемещение вдоль оси х (С ). При л > 1 общие интегралы уравнений (6.7) и (6.8) могут быть получены только при некоторых формах меридиана оболочки. В частности, они могут быть найдены для оболочек, срединная поверхность которых получена вращением кривой второго порядка относительно оси симметрии (40 1.
Анализ полученных решений позволяет выяснить вопрос о тех требованиях, которым должны удовлетворять закрепления оболочки, исключающие ее чистое изгибание. Эти требования 'различны для оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны (в этих случаях уравнения (6.3) являются' соответственно либо эллиптическими, либо гиперболическими). Для того чтобы исключить изгибание оболочки вращения положительной гауссовой кривизны, достаточно запретить по одному перемещению (и или и) на каждом из ее торцов или оба перемещения на одном из торцов.
Для оболочки отрицательной гауссовой кривизны необходимо запретить оба перемещения по крайней мере на одном из торцов (40). э 31. Безмоментная теория .сферической оболочки Для сферической оболочки Я, = Р, = й; и'з = й с(0; г = Р з1'и О, (6.18) Переходя к независимой переменной 6, приведем уравнения (6.7) к виду — (Т~(м з1пО)+ И(Ф) соз О Тз(й) + Я(у~(д) з1п 8 О; — ИТ~<~~+ —,а ~ (З~р>а~и~О)+И~~~м з1пО 0; (6.19) Тцм+Т~<а~ К~ау~. Эту зистему можно превратить в систему уравнений в постоянными коэффициентами, если за неизвестные функции принять Т~~м з(а' О и 3<~~ з!и'0 и перейти к независимой переменной 2 а (6.21) Так как — „= — „,, то после простых преобразований приведем уравнения (6.20) к виду — (Т~ (~) з1п'8) + й (Ю(~) з1п' 0) = ~,; Н й(Т,<„ЫО)+ — „"„Р„, ып'О) (6.22) где Г~ = Л 67з<ц соз Π— суци ип 8) ып О; Р,=Я ( — д„„з)пО+~д„м)з(п О.
(6.23) Уравнения (6.22) могут быть сведены к одному н, (Т~ < ~> з1п~ 0) — И (Т~ ~~ ~ з1п~ 8) = — ~ з~п 0 — й~ . (6.24) Решение уравнения (6.24) имеет вид Т~ ~~ ~ з1п- 'О = (Т~ <~ ~ з1п' О)'+ С~е~ч+ С~е-~ч =(Т,ццйп'6)'+Сь!к'( — ')+Сысоя" ( д ). КБ25) Входящее в эту формулу частное решение уравнения (6.24) может быть получено, например, методом вариации постоянных~ (т„„юи в).
—,', ]э(а~[[~~ — , 'с~д —,']'— в. — с(я — (д— (6.26) С помощью третьего уравнения изключим Т~<а> из первых двух: — — „„(Т,, з~п О)+И, > 1~(р< > сов Π— д~,а, з(пО); 2 (6.20) ~Т~(ю+ — „,а н0 Фц~зш'О)-~( — й(~~з~пО+ййзпо). где Ф (о) — правая часть уравнения (6,24), т. е. Ф(О) =з1пО ~' — Ц,.
ИО Усилие 8~»> определяется из равенства 8<>> з1п~ О = (5~~> з1п2 О)' — С> ф <и. 1 — 1+ Сп с1д''>> > — > (6.27) где д„з1п О) = ~,— (Т„„з1п О) .. о 1 >ипО Из третьего уравнения (6.19) Тз(и = Йузи> — Т> и>.
(6.28) После определения усилий Я„>, Т> <~>, Т~,»> интегрируют уравнения (6.8) для перемещений, соответствующих й-му члену разложения в ряд Фурье по угловой координате, Исключая ц> из уравнений (6.8)., для сферической оболочки получим з1пΠ— '" ~ — "'" ~ — —" ЫО ~ >ип 6 / ипО»'> ( >>>'> 2>~>)' й ( мп — — О п<>~> + ззп Π— —. = Яу>~ д ~Й ~ зшО/ Введение независимой переменной >) = ! п 1д — позволяет 2 превратить уравнения (6.29) в уравнения с.постоянными коэффициентами: (6.30) "(>.> д ! ~(д> ~ — — + — — =Яу зшз ДЧ( $Ш61 12М>.
Зта система не отличается по структуре от системы уравнений (6.22), и ее решение можно записать в виде и, ,.из = Сз1К" З +С4с1К~ — + (6.3!) — = С,(п — — С,с(к — + ~ —.' ' 2 ~ з1п О где — ~ = — ~ — Р (е1 <») — зя <»)) + 01п Π— <1 †( ', (6.ЗЗ) < (><»> > 1 ( 1( э<») ~ »ш0,< э << «0 ~ з)а0/ Ч~ (О) Л01п6 <0 (з( (»> з» (»>) + Й711 г~> Слагаемые а множителями С„С, соответствуют изгибанию 0 оболочки без деформаций срединной поверхности, Так как (д— 0 обращается в бесконечность при 6 = М2, а а(д — — при О = О, то замкнутая в полюсах оболочка не может деформироваться без растяжения срединной поверхности.
В частных решениях для перемещений выделим те их части, которые соответствуют (1) <1) (1) деформациям, вызываемым усилиями Т< <»„Т4 <»>, 5<»). Эти усилия являются решениями однородных уравнений равновесия и определяются равенствами (см. формулы (6.25), (6.27), (6.28)) <1> 1 Г» 0 » 01. (1> (и . Т1(») = . С1 (к — +С с(я — ~< , 'Т»<»> — — Т1<»>1 Ма»0 ~ 2 .
2 ~ 3<»> = — ~ — С) 1я — + С» с1я —,~, О) » 0 » 03 э<э'0 ~ 2 2~ Соответствующие этим усилиям деформации < > <М 1-((-)< Г» 0 э)(»>~ з»(»>ею~ С11$ +С2С1Я . » р 71»(») = ЕЭ ~ — С)ф 2 +С»с1 (1) 2(1+)() Г» О» 01 1 2~ »)э 0 Вводя замену в эти выражения тК» 2 е»~; с1Я» — =е-~~; » — (е-')+е'')+2) 1 1 2 ' е)а»0 4 и подставляя их в правые части уравнений (6.30), приведем последние к виду 2Ей ( — С,е"" + С»е-»") (е- ч -)- е " + 2), При постоянной толщине атенки й чаотное решение этих 'урав- нений имеет вид .( =<+) С, + + е" З>0 < с'()с) )(~) (1 + !2) Р ) [' ееч е 22) 1 кап 9/ 2ЕЬ ( 2~ 2(1+1) + 2()! 1) + а е22) е С, +, + ~е(ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
