Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Итак, существует целый ряд требований, обусловливающих применимость безмоментной теории цилиндрической оболочки. Эти требования касаются способов закрепления оболочки„ вида нагрузок и ее длины. Может создаться впечатление, что из-за этих ограничений безмоментная теория цилиндрических оболочек практически бесполезна. Однако это не так. В ряде случаев безмоментная теория цилиндрических оболочек позволяет получить простые и вместе с тем достаточно точные решения. аюа соз Π— (Т,$) + — — соя ОТ, + я соз О!), = О; д дд дз дф (6.47) —, + соз Π—, —, (5з') + з сов (!д, = О; дT~ ! д .Из последнего уравнения (6.47) Т, = д, с1д О з. Подставив это значение во второе уравнение (6.47), найдем — (Яз) = — э 1д + —. д ~ ~Г 1 дЧх дю зшд йр ~' Интегрируя это выражение по э, получим где ~, (!р) — произвольная функция. Подставим значения Т~ и 8 в, первое из уравнений (6,47); тогда д 1 д, (Т') = — 'И! — Фс(ИО) —,в„, 7!('р) + 5 В частности, она применима к расчету цилиндрических ободочек, подкрепленных шпангоутами (см, ~ 37).
В этом случае внешняя нагрузка, приложенная к шпангоутам, распределяется стержневыми элементами так, что выполняется условие медленной изменяемости деформаций в окружном направлении. Длина отсеков оболочки между шпангоутами также не является чрезмерно большой. Вопросам расчета совместных деформаций оболочки и шпангоутов посвящены работы (10, 111. Для к о н и ч е с к о й оболочки, как и для цилиндрической, можно получить общее решение уравнений безмоментной теории. 1 В этом елучае — = О, О = сопз1. Если координату з отме- 1> Я рять от вершины конуса, то радиус параллельного круга г = з соз О. Поэтому уравнейия равновесия (6.4)- безмоментной теории получают вид 5О1 = —,, 1 й); Т1 = а а ~1Ю+ — 6 (Ф)~ 1п — 1 ° 1 (6.5О) Т21п = О. Перейдем к определеншо перемещений.
Уравнения (6.5) для конической оболочки принимают форму ди — =е,; дь 1 до и 1 — — + — + — ~(аО=,; зс0$0 дф $8 1 ди д Го~ 1-з =уи юсова дгр + дя 1, с / (6.51) где ем в„у„— деформации, определяемые соответственно усилиями Т„Т„Я. Из первого уравнения (6.51) ~ ет аз+ 1з('Р). (6.52) Подставив это выражение в третье из уравнений и интегрируя по з, получим ° - ~ ь (~) -(- ф ~„) .~.
я 1 ~~ й - — *, —,' 1 [ 1 в й~ — '* ,. (6 53) Перемещение и определим по второму из уравнений (6.51); тогда 1 ди а=вас(нΠ— ис(нΠ— —. — и з1ав др' Как и в случае цилиндрической оболочки, четыре произвольные функции зависят только от угловой координаты ср, поэтому 310 Интегрируя по г, находим Т~ с а ~~(<р)+ — ~~(ч)+ Вш е 1(асов Π— д~з1аО)8с(з -~- 1 ° 1 1 Как следует из полученных выражений, решения однородных уравнений равновесия (как и для цилиндрической оболочки) выражаются через две произвольные функции угловой координаты «р: для открытой оболочки граничные уеловия на краях щ = аопз1 не могут быть выполнены. Непрерывность и медленная изменяемость нагрузок по угловой координате также являются условием применимости безмоментной теории к конической оболочке.
Обратим внимание еще на одну особенность конической оболочки: замкнутая в вершине коническая оболочка не способна при безмоментном состоянии воспринимать самоуравновешенную нагрузку, приложенную к свободному краю. Так, например, оболочку, нагруженную на торце силой Т, (з,) = А соз 2~р, нельзя рассчитать по безмаментной теории. Причиной этого является неограниченное возрастание усилий, а следовательно, и деформаций вблизи вершины з = 0 [ам. формулы (6.50) ). При этом перемещения, определяемые по (6.52), (6.53), также оказываются бесконечными. В действительноети, вблизи вершины конической оболочки всегда возникает моментное напряженное состояние, Глава 7 Приближенные теории расчета оболочек и примеры их применения Сложность уравнений общей теории оболочек вызвала появление большого числа приближенных методов расчета. Эти приближенные методы базируются на ряде гипотез, справедливых в тех или иных конкретных условиях.
При расчете длинных цилиндрических оболочек широкое применение получила так называемая полубезмоментная теория, основанйая на предположении о медленной изменяемости деформаций вдоль образующей цилиндра. Эта теория (~ ЗЗ) позволяет с помощью простого и хорошо знакомого инженерам математического аппарата рассчитывать оболочки большой длины, для которых безмоментная теория неприменима. В отличие от безмоментной теории, полубезмоментная теория позволяет также рассчитывать и незамкнутые цилиндрические оболочки.
Теория пологих оболочек, изложенная ниже, в $ 35, может быть использована в том случае, если хотя бы в одном направлении деформации меняются быстро. Теория пологих оболочек пригодна для расчета оболочек любой конфигурации. Однако для подлинно пологих оболочек, т. е. для оболочек, радиусы кривизны которых велики по сравнению с остальными их размерами, эта теория справедлива и тогда, когда требование быстрой изменяемости деформаций не выполняется. Следует отметить, что во многих случаях решения конкретных задач, полученные на основе теории пологих оболочек, мало отличаются от решений, полученных на основе общей теории. Поэтому теорию пологих оболочек можно рассматривать, как упрощенный вариант общей теории.
На основе теории пологих оболочек нетрудно сформулировать (см. ~ 36) теорию краевого эффекта. Предполагая, что деформации быстро изменяются по направлению нормали к границе и медленно вдоль нее, удается построить очень простую методику расчета, не отличающуюся существенно от методики расчета краевого эффекта в осесимметрично нагруженных оболочках вращения. Сочетание краевого эффекта и внутреннего . напряженного состояния (т. е.
безмоментного,напряженного состояния и чистого 312 изгибания) позволяет получить достаточно точные. решения практически важных задач, в том числе задачи о деформации оболочки вращения, подкрепленной шпангоутами (~ 37), и задачи о деформации ленточной пружины Ц 38). ф 33. Полубеамоментная теория расчета цилиндрических оболочек Как было показано в 3 32, безмоментную теорию нельзя эффективно использовать для расчета длинных цилиндрических оболочек. Другим недостатком безмоментной теории является невозможность выполнения граничных условий на продольных кромках открытой оболочки. В.
3. Власовым была предложена приближенная, так называемая полубезмоментная теория цилиндрической оболочки, лишенная этих двух недостатков. Вместе с тем эта. теория- сушественно проще, чем общая теория цилиндрической оболочки, что и обусловило ее широкое применение в практике. Полубезмоментная теория была развита В. 3, Власовым на основе следующих гипотез. 1„Изгибающий и крутящий моменты М, и Н в сечениях, нормальных к образующей, несущественны, и ими пренебрегают. 2.
Принимают, что сдвиг у12 в срединной поверхности отсутствует, и также отсутствует деформация е,. 3. Считают, что коэффициент Пуассона р = О.- Указанные гипотезы обосновывались физическими соображениями. В дальнейшем, однако, было показано, что эти гипотезы не являются необходимыми [29, 40). Вместо этого можно ввести лишь одну гипотезу о характере изменения всех функций (внутренних сил, перемещений) в окружном и продольном направлениях. А именно, следует предположить, что соотношение скоростей изменения таково, что второй производной любой функции в направлении образующей (з1) можно пренебречь по сравнению 'с ее второй производной в окружном направлении (з,): (7.1) На основе этого предположения получаются практически те же расчетные формулы, что и на основе гипотез В.
3. Власова. . Построим на основе указанной гипотезы полубезмоментную теорию цилиндрической оболочки а произвольной формой направляющей, Отнесем оболочку к системе координат з1 (вдоль образующей). и з,. (вдоль направляющей), З1З Тогда А=В=); — '=О; — '= %~ ' 1д р 1зр1 Уравнения равновесия (5.59) получают вид дТр дЯ вЂ” '+ — +91=0; дзт дз бТз дд 1' дН дМ, дзмз дон дзМз 1 —,'+ 2 — + —,' — — Тз+ оз О.
дз', дзз дз, дз', р д 2 дх„ .— — — =О; ' дзт дз дху дх;з 1 /дтз, дг~ ~ — — -+ — — ' — — О дз, дз, р ~ дз, дз,/ (7.3) д'зз дзу уз д'з1 1 — + — — х =О. дззу дзу дзз дззз р Преобразуем уравнения равновесия, используя гипотезу (7.1), Из соотношений упругости уу~м,-ррм,~ — — з("",+м(ф — е ( — ))1т Гд'уз д / уу ~ дзирт Мз = В (хз + р,х,) — 0 — — — — + и —., 1д4 дзз~ р ) ' дз',~ о учетом ! —,, ~ со ( — „( следует м,=в,= — п~ —",~ —,' ~ — ")1; (7.4) Так как д медуз уу 1 '~-~ (е е-") Хдз "~ (1 )е) Р дзу~ дзз р )Р то д, (С Кроме чосо, ( —,т ) (( ) —,'(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
