Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

При выполнении неравенства (7.39) открытые цилиндрические оболочки можно рассматривать как тонкостенные стержни в недеформируемым сечением (см, гл. 10). ф 34. Расчет гибкого колеса волновой зубчатой передачи по полубезмоментной теории Основным элементом волновой передачи является гибкое зубчатйе колесо, которое деформируется в радиальном направлении волнообразователем и входит на соответствующих участках в зацепление с жестким колесом. Главной нагрузкой для гибкого колеса является радиальная нагрузка, передаваемая на него волнообразователем.

Расчетная схема гибкого колеса показана на рис. 7,2,. Это тонкая цилиндрическая оболочка, связанная с одной стороны с пластиной, а с другой стороны — о кольцевым стержнем, моделирующим зубчатый венец. Проведем расчет конструкции, считая торцовую пластину жесткой в своей плоскости, но не препятствующей осевому перемещению точек оболочки. Также не будем учитывать жесткости зва кольцевого бруса при изгибе по направлению нормали к его плоскости и при кручении. В этом случае, отделяя оболочку от кольца, получим схему нагружения, показанную на рис.

7.3. Расчет оболочки выполним на основе полубезмоментной теории. Для оболочки рассматриваем однородную задачу (поскольку распределенные нагрузки отсутствуют) при граничных условиях а=О; Т,=О, о=О; (7.41) и = а, = —; Т, = О, 8 = 5' (ф). Распределение усилия Я' (ф) взаимодействия оболочки и кольца определяется из условия совместности их деформаций: на линии контакта окружные перемещения оболочки о ~ =„„ и кольца пн1 должны быть одинаковыми. Заметим, что попытка рассчятать цилиндрическую оболочку при граничных условиях (7.41), как безмоментную, привела бы к выводу, что эта оболочка вовсе не принимает участия в восприятии нагрузки. В самом деле, из условий Ть = О при а = О, а = а, следовало бы, что везде Т, = О [см.

формулы (6.41)), а также Я = сопз1, что соответствует только осесимметричному кручению оболочки. Но так как нагрузки Р не вызывают кручения, то 5 = О. Таким образом, напряженное состояние оболочки близко к чисто моментному. Поэтому при малой длине оболочки для ее расчета наряду с полубезмоментной теорией можно было бы использовать и теорию чистого изгибания. Полагая, что радиус срединной поверхности оболочки равен радиусу центральной оси кольца, установим, что интенсивности воспринимаемой кольцом нагрузки составляют 7 = — ~'(ф); Ь= 7;, (б(ф)+б(ф — и)!, где с помощью б-функций введены сосредоточенные силы Р, приложенные при ф = О и ф = л, Положительные направления нагрузок на кольцо показаны на рис.

7.4. 327 Для каждой из функций Ф, справедливо уравнение (7.29), но без правой части (однородное), решение которого вь!ражается через функции А. Н. Крылова Ф» = С2К2 (т»а) + С2К2 (т»а) +. + СзКз (т»а) + С4К4 (т»а), - Граничные условия при а = О (Т, = О, о = О) приводят к требованиям аз У „2 Ф» ~п=з = О! Ф» ~а=О = О.

С помощью этого соотношения в выражении для Ф» можно ,сохранить лишь одну постоянную (назовем ее С» = Сз!Кз(Л»)), т. е. Ф, = С, [К, (Л,) К, (т,а) + 4К, (Л,) К4 (т,а)1. Амплитудные значения усилия и перемещения в месте сопряжения оболочки с кольцом, т. е, при а = а; [см. формулы (7.31) и (7.32) [ Ей РФ» ! з ЕЬ 5» = — — ~ = С»т» — з [4К2 (Л») Кз(Л») М 4а я=а М вЂ” 4К, (Л,) К, (Л»)); » » 2 2 ; = — Ф ~ .

= — С [К2 (Л») + 4К4 (Л )1. (7. 45) Таким образом, 5» и о» связаны зависимостью Еа 4т~~ К2(Л») Кз(Л») — К1 (Л») К4 (Л») К2 (Л») + К4 (») ЕЬ ~'й зь 2Л» — з!и 2Л» Л' »з сь 2Л» — соз 2Л» (? Аб) Перейдем к расчету кольца, На него действует касательная нагрузка Ь = — 5 (!р) = — ~~~., 5» яп Й!р и нормальная »=2,4,6,... Ь = — „[б (р) + б (р — и) ). Р Отсюда следует, что коэффициенты С, и С, в выражении для ' Ф» обращаются в ноль. Далее используем условие Т, = 0 на правом конце оболочки (а=а,= — ): — = т» [ — 4С2К4 (Л»)+ С4К2 (Л»)1 = 0 (Л» = т»а,). Йг~ !а=а, Представим формально нагрузку !)„в виде тригонометриче 2Р! ! ского ряда д„= — !1 — + )'„! сов Фф) .

»=2, 4. б Ряд этот расходящийся, но пользоваться им можно, так каи он в дальнейшем будет интегрироваться. Равномерно распре. Р деленная нагрузка — несущественна, так как предполагаем, что кольцо нерастяжимо. Представим окружное перемещение кольца в виде ряда о!!) = ~4" в!и Ьр. »=2, 4,6,... Подставив этот ряд, а также нагрузки и„, д„в уравнение (7АЗ„' изгиба кольца, получим для каждого члена разложения — !в'(!а' — !) о»" =5» — + — Й. Е) пЕ./ Выражая 5» через о» по формуле (7.46) и учитывая, что пепе мещения кольца и оболочки одинаковы (о» ) = и»), определим !а-й член разложения тангенциального перемещения: ~п 2Рйа » и» ааЕ/...

2УЬ тЗ ви 2Х вЂ” 61п 2К ,/ »а с' 2Ь» — сов 2).» :-)то выражение можно также представить .в виде ип' иЕ3 А !)аа 1)в ! в)4 2Х» — юп 2)» ' 1+ и,— 2Х» си 2)» — сов 2Х» где ч — отношение цилиндрической жесткости стенки оболочк! на всей ее длине к жесткости кольца на изгиб; !)аа 12 [1 — )аа),/' Аи' »а — ! 1Г а )» т»а, 2~~'З!! „„а) Р ~~ И Тангенциальное и радиальное перемещения кольца в'" о~" 61п)вф » 2, 4. 6..., 2Р а»а 1 мп ьр пЕ) ~' )а (аа 1)а 1 вь 2Х» — всп 2)'» а !+~в »=2, 4,6,... 2Х» сЬ2А»- сов 2Х» и,п! Ь<1! 2Р)Ра 1 сов йр (Йр аЕ3 ~~~ ~ (Аа — 1)в 1 Й 2)» — в!п 2)»' 1+ »~в » 2,4,6...', 2Х.» с)а 2Х» — сов 2Х» В-этих ридах, которые сходятся очень быстро, от жесткости оболочки зависят только вторые слагаемые в знаменателе. Ограничиваясь одним первым членом ряда, что дает ошибку порядка 4%, можно сказать, что за счет присоединения оболочки жесткость кольца увеличивается в 1+ а — ' ' раза.

! аь 2Л вЂ” а1п 2Ла 2Ла сЬ 2Л, — сов 2Л, Как нетрудно видеть, такое же увеличение жесткости можно учесть, если добавить к жесткости на изгио кольца жесткость присоединенного пояска оболочки '"', где Е1эк в!э 12 11 — Иа!' яь 2Л, — а1П 2ла экв 2л, сЬ 2Л вЂ” сов 2Л.. Рассматривая изменение этой величины в зависимости от можно установить, что при малых значениях Ла 1„, ~ —, а при больших Ла 1,„„стремится к величине Поскольку перемещения оа = оа известны, не представляет (!) труда определение си,човых факторов в оболочке. Для этого по формуле (7.45) определяем коэффициенты С» = — „[Ка (Ла) + 4К4 (Ла)1 па = ВРГс' 1 Е/ Ьа 1!эа 1)а У 1 с!1 2Лв — сов 2Лэ + — (аь 2Лв — а1в 2Лэ) 2Лв а затем и вспомогательную функцию Ф = ~ Са [К, (Ла) К, (т„и) + 4К, (Ла) К, (т, а)) соз Ьр.

,![альнейший расчет внутренних сил производится по формулам (7.31). 35. Теория пологих оболочек Если напряженное состояние оболочки является быстро изменяющимся, уравнения общей теории могут быть существенно упрощены. Упрощенные уравнения такого рода использовались э!(онеллом [бО) и Х. М. Муштари [38). В общей форме эти уравнения были сформулированы В. 3. Власовым, который назвал соответствующую теорию теорией пологих оболочек [25).

Это название не является точным, так как область применения теории определяется не столько геометрией оболочки, сколько характером ее напряженного состояния. Ниже приведен новый вывод уравнений теории пологих оболочек, причем показано, что они справедливы в том случае, если напряженное состояние быстро изменяется в направлении хотя бы одной из координат а, р. Изменяемость какой-либо функции 7 (з) можно характеризо! ! д7(в) ! вать порядком величины выражения — ~ — ~ — —, где ! 7 (~) ! ~ дз ~ д Ь вЂ” некоторый линейный размер, а знак — означает одинаковость порядка величин.

Чем меньше характерный размер Ь, тем быстрее изменяется функция 7(з). Понятие характерного размера является особенно четким для экспоненциальной функции 7 (з) = ет', где у — вообще говоря, комплексная величина. В этом случае — ~ — ~ = ~у ~ = сопз(; Ь =— ! !д7! !7(~)! 1 дз! ' !т1' При действительном значении у величина Ь представляет собой длину подкасательной экспоненты. При чисто мнимом значении у, когда 7 (з) (точнее, ее действительная часть) изображается синусоидой, Ь = 77!т, где 7 — длина полуволны синусоиды.

В дальнейшем будем считать напряженное состояние оболочки быстро изменяющимся в а-направлении, еслй для любой из функций 7 (а, р) (перемещений, усилий) выполняется сильное неравенство (7.47) В данном случае выдвигается требование, чтобы характерный размер д был много меньше, чем наименьший радиуо кривизны оболочки. -Предположим, что условие (7.47) выполнено, а изменяемость напряженного состояния .в р-направлении произвольная. В этом случае можно существенно упростить выражения (5.33) для параметров изменения кривизны: (7.48) ! Г д'~ю ! дАда 1 дВ дэ '! )+ АВ(! дадй А др да В да дР / ! А д и ! В д о Кт В д(! ( А )+ И, А да(В )' Оценим порядок величин, входящих в выражения (7.48). При атом воспользуемся упомянутой выше (см.

Характеристики

Список файлов книги