Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Переходя в этих выражениях к аргументу О и. подставляя результаты в формулы (6.31), окончательно получим — [ С, (22' -)- 22 соп Π— сСо' О) С ОСв — С,)22' — 22 Π— и и'О)с)2 — , ') + + С,1д» вЂ” + С4с1к~ — + —.' ' з 2 4 2 ~е!пО)о — [ С, (22'О. 22сосо — ып'О))2' —— — С,(2И вЂ” 2йсозΠ— зш'О) с(д' — 1+ 2 1 +С,тц" — — С, сф' — + (,(~) 1 . 2 О 2 1, в!п 9,( Постоянные С, и С, имеют здесь те'же значения, что и в формулах (6.25), (6.27) для усилий, а частные решения ( .' ' и 1 з1пО < ,е .' ' ) подсчитывают по формулам'(6.32) и (6.33), в которых следует опустйть слагаемые, содержащие множители фф при вычислении деформаций.
В соответствии со второй из формул (6.8) нормальнре перемещение для сферической оболочки и(2 е(21 ы(),) = Щ2 (А) — , соз Π— Й 2!и О 2!и О В качестве примера использования полученных зависимостей рассмотрим оболочку в виде полусферы, на краю которой О = — осевые перемещения запрещены и задана касательная 2 нагрузка Я.= 5(2) 1 — ! з!и й(!). 2 / Так как распределенной нагрузки на оболочку нет,-в выражениях для перемещений и сил следует оставить только решения .однородных уравнений (т. с. решения, содержащие постоянные С,— С,).
Из условия ограниченности решения в полюсе (О = 0) следует, что С, = С, = О. ЭО! Следствием условия и ~ „= О является равенство С,(2А' — 1)+С, = О. в тд 2 ° 51»1 = — С» »1о'В ' 111»1 С еь(»» — 11 (йсозо+ 1) с(в (д» 2 ' (6.34) Н и„, — — о,»~-"р+-"-'рКй' — ~~ип ~.~.и-~-йсокй~ —., ~ц Р (1+(») А(»+сова) ыи С, И М» в. В частности, при В = — амплитуды перемещений связаны 2 У йЪ в амплитудой усилия 51»1~ — ~ соотношениями и ~ о / ч 1Р(1+и) 2»» — 1 И1»1( "У-( 1»1 1 2 У Е~ (6.35) и ди Угол поворота нормали д, = — — —, поэтому при Я и е- — ' 2 ~1'(2) 1~'~2) Ей (6.36) 5 32. Безмоментная теория круговых цилиндрической и конической оболочек ,Г(ля пилиндрической оболочки 1 Л Я Ф вЂ” О' 6 = — ' г Д=сопз(, 1 2 Уравнения равновесия безмоментной теории (6А) в этом случае существенно упрощаются: дт~ д5 — + — +й»К=О; да йр Таким образом, все постоянные, а значит силы и перемещения, выражаются через одну постоянную С,: , в щ— 2 ~1(») у2(»1 — С1»в ъ дт, М вЂ” '-"- — + д Р=о.
дч» ' да 1 — т д=о, 2 з— (6.37) где и = — — безразмерная продольная координата. Общее решение уравнений равновесия (6.37) можно представить как сумму частного решения неоднородных уравнений, обозначенного индексом ', и общего решения однородных, обозначенного индексом 1'): т,= т',+ т,'"; 3=5 +511); (6.38) Т2 = Т2+ ТР. Из третьего уравнения (6.37) находим т,=к~., т,''=о. 11) (6.39) т' — я )' Ц (»»,* .» — ',", ) Юю - д,~ Юю; а ~а (6.41) 7 1 = 11 (»Р) 1Х + )2 (Ч>).
Деформации срединной поверхности также можно разделить на две части, одна из которых соответствует усилиям Т1, Т2', 8, а другая — усилиям Т1 1), 5' ), т, е. е1 = е1+ е1» е2 = е2+ е2» 712 = 712+ 712» 11). ' 11) (6.42) где ю ) ю ю 11) ) е1= ~~, (Т1 РТ2)» е1 еь [ )1 %<~+6(»)»)1 ю ) ~ ю ю 1Н )» = — (Т2 — ~хт1)» 82 = — —. [ — 71 (1Р) Я+ ~2 (Я»))» 2»12= ~ Б ТП = Е)» 7~Ю 2(м+)») ° 1п 2()+Ф (6.43) Далее, интегрируя по а второе из уравнений (6.37), определяем Я" -),1»» 5' — — »» ) (д, -»»' ) жМ. 16.40) а гдел (ср) — произвольная функция угловой координаты.
Подставим полученные значения 5 в первое из уравнений (6.37) и проинтегрируем по а; тогда Таблнца б.б Таблнца б.! йариаитса аадаиия усилий Край Край т, 8 т, т, Саа а а, т,.з Для статически неопределимых оболочек число кинематических граничных условий увеличивается за счет статических. При полном закреплении обоих торцов оболочки все произвольные функции определяются из условий ~ (а=а, = И!а=сс = ~!сс=а, =~ 0 [са=сс = О.
Как следует из формул (6.45), непрерывные выражения для перемещений получаются в безмоментной теории только в том случае, если произвольные функции т, (ср), тй (ср), возникающие при интегрировании уравнений равновесия, непрерывны вместе со своими производными соответственно до третьей и до второй включительно. Это накладывает определенные ограничения на допустимые виды нагрузок и граничных условий. Так, в част- нельзя выполнить граничные'условия на продольных кромках (ср = сопз1) открытой цилиндрической оболочки.
Поэтому для открытых цилиндрических оболочек безмоментная теория может быть использована лишь в исключительных случаях, если автоматически выполняются тангенциальные граничные условия на продольных кромках.- Рассмотрим теперь граничные условия для замкнутой цилиндрической оболочки. Для того чтобы оболочка была статически определимой, необходимы два условия для определения функций ~, (ср), ~, (<р). Эти условия должны быть наложены на усилия Т„5 на краях оболочки. При этом, так как в выражения для 5 входит только одна функция ~, (ср), сдвигающую' силу можно задать лишь на одном краю оболочки. Для статически определимой оболочки возможные случаи задания усилий на краях приведены в табл. 6.1.
В 5-м варианте, естественно, должны быть выполнены условия равенства нулю суммы проекций на ось симметрии всех приложенных к оболочке нагрузок. Функции ~ (ср), ~, (ср) определяют из двух кннематических граничных условий, которым должны подчиняться функции и, о на торцах оболочки а = ай и а = а,. - Пяти вариантам задания усилий на торцах оболочки, приведенным в,табл. 6.1, соответствуют определенные варианты задания перемещений (табл. 6.2).
ности, задача о нагружении цилиндрической оболочки заданными на торце продольными и касательными силами Т, (О, <р) Тта (~р), 5 (О, ~р) = 5е (гр) (рис. 6.2) (при закрепленном втором торце) может быть рассмотрена в рамках безмоментной теории только при условии непрерывности Тта (~р); — „; — „,'; 3,; "Тто . готта., 4ое. "~а, " ~о ~ц,З При решении уравнений безмоментной теории в тригономе- трических рядах это обстоятельство может пройти незамеченным. Сравнивая деформации изгиба в поверхностных слоях обои й лочки е,„,„= х, —, з,„,„= хз — с деформациями растяже- ния з„з„можно установить, что первые малы по сравнению со вторыми только в том случае, если функции ~, (~р) (1 = 1, ..., 4) удовлетворяют ограничениям и ~Р— —,а ~ <<1, которые и выражают требование медленной изменяемости дефор- маций в направлении ~р.
Это требование накладывает дополни- тельные ограничения на допустимый характер распределения нагрузок Т „Я,. Еще одним фактором, лимитирующим применимость безмо- ментной теории к расчету цилиндрических оболочек, является длина оболочки. Как следует из приводимого ниже примера, область применения безмоментной теории ограничена не слиш- ком длинными (по сравнению с радиусом) оболочками. Пример 6.1. Цилиндрическая оболочка длиной 21 (рис.
6.3) нагружена постоянной по длине нормальной нагрузкой, изменяющейся в зависимости от угла ~р по закону дз (а, гр) = д соз 2ср. Торцовые сечения оболочки жестко закреплены. Требуется определить усилия н перемещения точек оболочки. Рис. 6.3 Располагая начало отсчета координаты а = — — в среднем сечении оболочки, Л будем иметь граничные условия при а = ~-а, и =.. О, о = О, где а, = —. Ф По формулам (6.38) — (6.41) находим общие выражения для снл в срединной поверхности Т, = ч)» соз 2ф; Я = ~ (ф) + 24ай ейп 2ф; Т = ~» (ф) — ); (ф) а — 2даЧ~ соз 2ф.
Слагаемые, содержащие и, представляют собой частное решение уравнений равновесия (Т.;, 5', Т;). Так как нагрузка на оболочку симметрична относительно среднего сечения (а = 0), то зависимость Т от а должна быть четной, а Б от а— нечетной. Поэтому ~, (ф) = О. По формулам (бАЗ) деформации, соответствующие частному решению уравнений рав»ювесия, д)г и» = = (Т~ — рТх) = — — (2а»+1») сов 2ф. Ей ' Ей ез = — (Та — )»Т») = —. (1+ 2)»аз) соз 2ф1 1 °, »)я ЕИ Ей »/1» — Е), з Е»)/~а в)п 2»р.
' 2 (1 ( р) 4 (! + р,) Ей Теперь по формулам (6.46) н (6.46) определим перемещения (о учетом того, что / (ф) ге О): Р ф~т / 2 и — 1 (ф) а -(- ) (ф) — — ~ — а» + ра ) сов 2ф) Ей Ей ~3 и = — —. 7з (ф) — — '1» (ф) а + Г (ф) + я ., а, 2(1+р) Ей 2 Ей 41»'а' а)п 2ф- дй' /а' азу — — ~ — + р — / 2 в1п 2ф, Ей 'т 6 2/' П связи с симметрией относительно сечения а = 0 перемещение и должно быть четной функцией а, а и — нечетной. Следовательно, (» (ф) = О. Лля определения произвольных функций ~ (ф) и /» (ф) следует рассмотреть граничные условия на торцах оболочки а = а„. Из условия и) = 0 следует ( (ф) = 4К~ —,а +)») соз2ф, / 2 в из условия о) = О ,)зз ) а» )»(ф) — — ~ —,+2(1+(») а~ соз2ф, Ей ~3 Приведем окончательные выражения для сил н перемещений» / 2 Т» = Чй ~ — и„+)» — 2а ) сов 2ф1 Т, ~ дР соз 5 = 24са $1п 2<р) данг 2 и = — — (а — 'а ) асов 2ср) еь 3 о — — — * + 2 (1+ р) (а — а )~ з1п 2<р; ,~дг 1 (а — а ) г г ю= — ~1 — р +р ~2а — — а)+ — (а — а) + 0А" Г г 1 г 2 Й 2 г г г ы з ° ) з ~.4д ~-р> ~ы — ч] о 2ф.
Максимальные усилия Тт и о возникают в сечениях у опор соответственно Л Д "Рн ч'= — в ~р = — в составляют 4 / 4 г тюхх=о)~ ( З а р 1 Апах=2Ф~а. Максимальные перемещения имеют место в среднем сечении оболочки (а = О) и определяются по Ч:ормулам Чйх Г а1 впох — — — ~ —, + 2 (1 + Р) ах 11; еь 'ь 3 ивах = Еь — а', + 4+ З р а*+ 1 — р ° Как видно из полученных в примере формул, несмотря на то, что нагрузка, прикладываемая к каждому поперечному сечению оболочки, самоуравновешена, усилия и перемещения неограниченно возрастают' с увеличением длины (оболочки 2т = 2сс,)с. Этот результат — естественное следствие расчета по безмоментной схеме, при котором собственная изгибная жесткость кольцевых сечений оболочки не учитывается, и вся нагрузка передается на торцы. Поэтому область применения безмоментной теории цилиндрической оболочки ограничивается сравнительно короткими оболочками (И~ (( р' К~И вЂ” см. ~ 33).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
