Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 37
Текст из файла (страница 37)
гл. 11). При расчете на ЗВМ можно использовать (с заменой формульной части) приведенную в приложении программу. ~ 27. Моментная.теория круговой цилиндрической оболочки постоянной толщины Круговая цилиндрическая оболочка представляет собой част иый случай оболочки вращения, поэтому теория, изложенная в $ 26, полностью для нее применима. В частности, может быть проведен числовой расчет произвольно нагруженной оболочки (в том числе и переменной вдоль образующей толщины) путем численного интегрирования уравнений (5.78).
Зтн уравнения, однако, существенно упрощаются, так как для цилиндрической обрлочки соз 0 =0; з1п0=1; г=И, Я=сопз1; Я,=со. В отличие от других оболочек вращения, для круговой цилиндрической оболочки с постоянной толщиной стенки дифференциальные уравне-. ния представляют собой систему уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому можно проанализировать их решения в общем виде.
Выведем уравнения равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях. Отнеся оболочку к координатам и = — , ф, получим следующие равенства, определяющие деформации и параметры изменения кривизны срединной поверхности 1см. уравнения (5.67) !! ! ди. а1 иив — — ' да ' ! (до+ ). г (дф+Ж)' (5.97).
— '+ — +дую=О; дТ! д5 да дф — '+ — + — ~ — '+ 2 — ~+!)Р =О; (5.98) дТ, д5 1 /дМ, дН~ д!р да Я ~ д<р да ~ 1 к д2М д~Н РМд — — +2 + ' ) — Т,+рзК=О. й ~ да~ дад<р дф2 Выражая силы и моменты по уравнениям упругости (5.46) и заменяя деформации и параметры изменения кривизны их значениями по (5.97), получим уравнения равновесия в перемещениях.
Эту систему уравнений удобно записать в матричной форме 1.и=я, (5.99) где и] 1 — 1 д= — й ЕИ вЂ” Я 92 1 — матрица-оператор (3~с 3), элементы которой д~ 1 — 1! д' + ° да' 2 д!р' ' д 1и =1м=]' да ' (5.100) — + — + а' [2 ! ! — р! — .!- — ] ! 1 — и У д,г У д' 2 да~ дф~ да' дф~ д,г д" д!! !» ! — — — а*[(2 — р! ~+ —.]: д!р даз дф д<рз ! ! !+а ( —,.!- —,) . Здесь обозначено а' = —,, Для оболочек значения а /Р 3 весьма малы (10 ' — 10 ').
Для замкнутых оболочек естественным является решение уравнений (5.99) в форме рядов Фурье, Положим и = ',~ и1в1(а) соз Ьр + ',)' и1м (а) з1п Ьр; в=о й=1 278 Уравнения равновесия (5.69) после подстановки А = В = Я, Й, = со, г.= Я, = Я и исключения поперечных сил получают вид о= ~ о<~,(а)з1пЬр — ~~~ о~~~(а) соз Ьр; 1=1 !!=О а> =,~~ и!<д1 (а) соз Ьр+,~~ и!~~~! (а) з1п Ьр; 'с=о 1=! Ю СО д1 = ~ д!,~,(а) созЬр+ ~~ д1~~>(а)з1пЬр; ! =-о 1=! д2 = ~ д~ <~ ! (а) з1п Ьр — ',~~ 4 <!!1(а) соз Ьр; !!=! !!=О ц=,)" аз<и(а)созЬр+,)~~ 4рц(а)з1пЬр. !! О !!=1 Из этих равенств слагаемые без верхнего индекса описывают симметричную, а слагаемые с индексом з — кососимметричную относителЬно начального меридиана деформацию.
Подставив принятые разложения в дифференциальные уравнения (5.99), получим для Й-го члена ряда систему обыкновенных дифференциаль-. ных уравнений с постоянными коэффициентами. Система уравнений для величин а индексом з точно такая же, как и для величйн без индекса. Полученная система имеет вид — — й +~ 1+ р ~~Ми) ~ 1 — р 2 да ( 2 йР И+ -!-а'[2!! ->>! —,— !>')) г»> — (5.!О!) Р 11 рй — »[! — »' [(2 — >>! — — Й'л»»> — д»>>!', да' .1 ~ еа !- [!+» ( ~ — ~ ) ] ~>>>> ' — ~, „>>! Решение этих уравнений для каждого номера а может быть ' найдено обычным способом: оно состоит из общего решения одно-„',родной системы и частного решения неоднородной. Удобная ггформа решения а помощью функций перемещений предложена ";А!. И. Лурье [36!. Ограничимся анализпм однородных уравнений, '.
оответотвующих уравнениям (5.101). 279 Представив решение этих уравнений в виде и(й) = Ае (й) Веаа, (йг(й) = Се"', получим алгебраическое уравнение (ля характеристического показателя о: — йа )+)г 2 аг йг г 2 (га )+ )г' — — йа 2 — а' — й'+ а' [2 (1 — )г) аг — йг3 2 й — аг [(2 . а) а'й — йг) е- й+ аг [(2 — )г) агй = йг) (+ а' (а' — й*)' Эти характеристические показатели соответствуют осесимметричному краевому эффекту в цилиндрической оболочке (см.
$12). При й = 1 ненулевые корни определяются уравнением о4 — 4о' + ~ — „,~ — 2 (1 — ра)1 = О. Конечно, здесь можно пренебречь 2 (1 — [(') по сравнению ))г )42 с =... „. Нетрудно также видеть, что так как, .— большое число, то корни .уравнения также большие, и поэтому можно пренебречь слагаемым 4о' по сравнению о о', В результате при й = 1 приходим к тому же выражению (5,103) характеристиче- Раскрывая этот определитель и пренебрегая малой величийа юй ай= по сравнению с единицей, можно привести харак- . )20' ернстическое уравнение к виду [291 гг — 4Й а -(- [бг — (8 — гг.') й+ —,] г — 4И (я2 — 1)' о'+ И (И вЂ” 1)' = О. (5.102) Особенностью уравнения (5.102) является наличие большого иножителя —,2 при о.
1 4 При й = 0 и )4 = 1 два последних слагаемых уравнения (5.102) обращаются в нуль, и, следовательно, уравнение (5.102) имеет 4етыре нулевых корня.- Нетрудно установить, что при Й = О зтим корням соответствуют осевое растяжение и кручение оболочки, а также поступательное ее перемещение вдоль оси симметрии и поворот вокруг нее.
При й = 1 решения, соответствующие нулевым корням уравнения (5.102), описывают безмоментное напряженное состояние при изгибе цилиндрической оболочки как балки. Этй решения включают также повороты и смещение оболочки как жесткой. При й = О ненулевые корни характеристического уравнения )44 определяются уравнением о'.+ —, = О, откуда о= -)-,(1 ч- )) и; и 1г' —, =1ГЗ(1 — 14) йа) —. (5.103) — г' 1 — )(4 4 ских показателей, что и для осесимметричного краевого эффекта.
Соответствующие решения описывают неосесимметричный краевой эффект, способы расчета которого'будут рассмэтрены в дальнейшем (см. 2 Зб). 1 — )с При А > 1 и йз(( — =)/12 — благодаря наличию боль- 142 шого множителя, корпи уравнения (5.102) четко делятся на две группы — малых и' больших корней. Малые корни определяются приближенно из уравнения о 4 + 444 ((гз — 1)' = О, откуда о =' — (1 — () та, где Это уравнение имеет восемь корней: о,, = +.
т42 -~- (п42, оа-в = =' гпаз -4- (г422 (5.106) где гп = — ~~/ )/ лт4+ 4ф4+ 2/га — щ); ад — (т — ~/~l и + 4Р— 24'); ' В уравнении (5.105) опущены слагаемые — (8 — 2ра) Роа+ 4а2 (2742— — 1) о' — а2 (242 — 1), которые при больших значениях А малы по сравнени о с удержанными. Большие корни при этом совпадают с характеристическими показателями осесимметричного краевого эффекта (5.103).
Нетрудно непосредственной подстановкой проверить, что относительная погрешность решения уравнения (5.102) в формах (5.103) и (5.104) имеет порядок айа. Как можно убедиться, приближенные значения малых корпий уравнения (5.102):-совпадают .со значениями корней характеристического уравнения полубезмоментной теории (см. 2 33). Большие корни, как и при Й = 1, описывают неосесимметричный краевой эффект. Если йа имеет тот же порядок, что и —, или больше этой величины, то разделения корней на малые и большие не происходит. Для приближенного определения корней в этом случае (Й— велико) представим уравнение (5.102) в. виде ' (оз — И) + ' "' о4=0.
(5.105) д2 Интересно, что приведенные формулы дают близкие к точным результаты не только для больших значений А, но и-для малых. Исключением является случай Й = 1,. когда не получается нуле- вых корней, соответствующих, в частности, перемещениям обо- лочки как жесткой. Однако при я = 1 корни т„и п~, малы, так что если длина оболочки а = — не слишком велика, ошибка Ф получается малой. Приближенное характеристическое уравнение (5.105) с кор- нями (5.106) получается из так называемой теории пологих обо- лочек (см.
~ 35). 'Таким образом, анализ характеристического уравнения, осно- ванного на точной теории цилиндрической оболочки, позволяет сделать ряд выводов о применимости различных приближенных приемов расчета. Возможность применения тех или иных приближенных мето- дов зависит прежде всего от изменяемости напряженного и дефор- мированного состояния в окружном направлении (т. е. от числа волн Й). При й = 0 и й = 1 (осесимметричная и «ветровая» нагрузки) расчет может быть выполнен по безмоментной теории, дополнен- ной краевым эффектом.
При й' ~~ — или й (( ~ — быстро изменяющееся вдоль а образующей напряженное состояние определяется уравнениями краевого эффекта, аналогичного осесимметричному. Медленно изменяющееся напряженное состояние при этом приближенно описывается полубезмоментной теорией. Впрочем, если длина оболочки 1 не слишком велика, так что т~ 1 (0,3~или — ( < — ' ~/ — / то для описания медленно изменяющегося по а о,а ,~а ~/ а! э напряженного состояния можно пользоваться и безмоментной теорией. Наконец, при любых й (кроме, может быть, й = 1 в случае длинных оболочек) хорошие результаты дает теория пологих оболочек, $ 28.
Числовой расчет незамкнутых цилиндрических оболочек Незамкнутые цилиндрические оболочки часто используют в строительстве как элементы перекрытий (рис. 5.4), причем цилиндр может быть некруговым и иметь переменную по криволинейной образующей толщину стенки. Если криволинейные края такой оболочки шарнирно оперты на жесткие в своей плоскости диафрагмы, не препятствующие продольным перемещениям, расчет оболочки может быть выполнен путем разложения искомых функций в ряды по продольной координате. Выведем основные уравнения для некруговой цилиндрической оболочки.
В качестве гауссовых координат па срединной поверхности примем длину образующей з„отсчитываемую от некоторого начального сечения, и длину з, направляющей, отсчитываемую от начальной образующей (рис. 5.5). Так как координатами являются длины линий, параметры Ламе А = В = 1. ,1(ля цилиндрической оболочки кривизны — =О,— ! ! ! й~ ' Яр Р ' причем р = р (з,). С учетом этого основные уравнения ~ 21, связывающие деформации, углы поворота нормали и параметры изменения кривизны срединной поверхности, получают вид ди 6~ = —; дь, дО Ф за= =+ 1 дауд Р ди сЪ Уи= + .
1 дз~ дз~ дэ о,= — —. д! о Йв. 6 = — —— дв дд! дяде . ! дд, , аа, х,= — , 'и„= — = дЗ, д8, = — ' + — —. (5.107) дб, ! до дя, р дв, ' Уравнения равновесия (5.56), (5.57) также преобразуем с уче. том значений параметров Ламе и кривизн, а также соотношений Тогда дт! дЯ вЂ” + — +91=0; дз, дз, дТ, д5 1 дН 1 д.,*+ д., + р д., + р а+ай*=О (5.108) — + — — — Т,+д,=О; дЯ! доз 1 аз, дзз р дМ, дН вЂ” '+ — — Я =0' дМз дН вЂ” '+ — — Я,=О. дз, дз, и — 3; Р— Тз', 1 (заметим, что так как —. =О, то эффективная сдвигающая сила Я 5+ — = 5 . Остальные неизвестные следует нс- 2Н Нз ключить.
Для исключения усилия Т, воспользуемся уравнением упругости ди ! е — = — (Т, — (зТ,), дз, . ЕЬ откуда ди Т, = рТз+ ЕЬ вЂ”. азз (5.109) 284 Чтобы получить полную систему дифференциальных уравнений, к уравнениям (5.107) и (5.108) следует присоединить уравнения упругости (5А6). Граничные условия на криволинейных краях оболочки связывают перемещения и, о, щ О, с соответствующими им силами Т„ 2н .
ан Я Я + †, Ц = Щ, + †„ М,. На прямолинейных границах оболочки перемещениям и, и, и, 0 соответствуют силовые факторы Я, Т, Яз Д + †, , М,. Так как мы хотим дН дз1 ' заменить уравнения в частных производных (о помощью разло-, жения в ряды Фурье по координате з,) обыкновенными дифференциальными уравнениями,. в качестве основных неизвестных следует выбрать перемещения и соответствующие им усилия в продольных сечениях оболочки, а именно Аналогично поступаем с моментом И,: ущ! х1 ' ы (М1 рмл) дв1, Е)Р для М, = рМ,— —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
