Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 43
Текст из файла (страница 43)
=о! дФ Э Ф~, „=О, где а, = !7е!. Этн условия приводят к равенствам — С! 4К,(Х)+С,Кз(Х) = О; О)7ь Сзк! (Х) +СзКз (Х) = — э 360 ' Г з 1ГД где Х=тза = ф. Р'1 — )з'К !7 )с' Определив постоянные, получим Фз = — — ~! — — 1Кз (Х) Кз (тза) + 4К, (Х) Кз (т,а) ) Д К (Х) Кт(Х)+4Кз(Х) Кз (Х) = — (зй2Х+ 21п 2Х). 1 4 Далее по формулам (7,31), (7.32) находим амплитудные значения перемещений н усилий в среднем сечении оболочки (а= 0): ЪД Г Кз(Х)1.
о2 Ф2~ — О Л == зы) д йз 4О)7з Г К (Х) 1 2 2~ — О= .И о= 36х! ~ Ей вафа ~ ОзГз 2 4К (Х) З / 1 — )зз 2 К (Х) 7' <21 —— — з о, з ~ =ЕЛ вЂ”,т~ ~ — — 4 ~ — в!7 ь~ а ~а=о Лба Д з 3 д з 11 В. Л. Бвлерввв В соответствии с формулами (7.32) нз граничных условий и =* О, о = 0 на торизх оболочки следует йз 1й 11 'рз~ =о= — ~1 — — ~ ' Р ?) у а= з ~ А ~1 уз ив = 1?ч — 48д4 гв.'1а=-е з 11+ а 1 ° Р Ф Г 4К 1Л~1 В случае длинной оболочки (Х-+оо) получаемые результаты совпадают с решением задачи об изгибе кольца жесткости Р погонной нагрузкой э соз 2~р, В этом случае ф~? ф~~, д3~~ !эвах ~ = ' ?вшах = ' ?Изааз = ° 18О' 9Р ' 3 Ф ~~~ Ф,~язв!и —, гнат г ч б сг„-гул Подстановка этого выражения в уравнение (7.16) Рис.
7.1 Представляет интерео сопоставление результатов решения данной задачи по полубезмоментной и по безмоментной теориям. На рис. 7.1 показана зависимость максимального перемещения и от относительной длины а, = †„ оболочки, Кривая 1 соответствует решению по безмоментной теории, кривые 2, 3— по полубезмоментной соответственно при — = 100 и — = 20, 1?, й й Ь При оценке кривых следует иметь в виду, что при больших значениях сз, полубезмоментная теория, учитывающая изгибную жесткость оболочки в окружном направлении, точнее, чем без. моментная.
При малых а„. наоборот, безмоментная теория, в которой учитываются деформации сдвига, точнее, чем полу.- безмоментная. Наконец, при очень малых значениях ссч (оса < ЧГ л~ < 3 р — ~ обе теории неприменимы, так как в этом случае деформаци~ быстро изменяются в зависимости от продольной координаты. Полубезмоментная теория может быть использована также для приближенного расчета открытых цилиндрических оболочек. Если такая оболочка длиной 1 по торцам оперта на жесткие в своей плоскости диафрагмы, которые не прела пятствуют осевым перемещениям, то (как и в точной теории, см.
й 28) ЖО решение может быть по. лучено разложением функции Ф в тригонометрический ряд по продольной МЮ координате Ф Г7ш ~» ( р Д и) ~ д~В(И+4~ Дз()1 (7.33) где учтено, что нагрузки представлены в виде рядов ЙЯ5~ В ~ Ч ~~) В)со~ Аля~ . д2= ~~) ов<»~ (~р) з1п —, »=в »ж1 д~- ~~ а,ц ~ср)в~п —. »=~ Решение неоднородного уравнения, соответствующего (7.33), не представляет затруднений. Рассмотрим однородное уравнение УФ» ~»Ф» ФФ» а — +2 — + — +и»Ф» =О »рв»р» ар» Э (7.34) где а »»я»Л" ЕЬ Я4 Д» и» = — = й»л4 ° 12 (1 — 1»') — —.
Р В 1»»» ' Характеристическое уравнение 6+2 ь+ 4+ а (7.35) Свободный член этого уравнения — большое число (из-за наличия большого множителя йв/Ч). Поэтому и корни уравне° в/'а ния — большие, Если пренебречь величинами порядка ~ — по сравнению с единицей, можно не учитывать второе и третье слагаемые уравнения (7.35) по сравнению с первым и заменить это уравнение приближенным ов+иа» =О. Корни этого уравнения оь.» = — (Ь вЂ” »~»)' о»-в — А — в г»)ю (7.36) приводит к, обыкновенному дифференциаль.юму уравнению для каждой из функций Ф» (э,). Для круговой цилиндрической оболочки это уравнение имеет постоянные коэффициенты. Ограничимся рассмотрением этого случая, так как иначе требуется численное. интегрирование уравнения, и приближенный расчет оказывается ие проще точного, рассмотренного в ~ 28. Уравнение (7.23) получает вид где у„= тьсоз —; бь = ть з1п —. Тогда приближенное решение однородного уравнения (7.34) получает вид Ф =е " (С,соз б,ф+С, з1пбьф)+е ~ (Сьсозбьф+ + С4 з1п бьф) + е ~ (С, соз у„ф+ С, з1п ур) + + е ь (С соз 'ур+Сьз1п~ур).
Входящие в это выражение восемь постоянных определяются из граничных условий на продольных кромках оболочки. В соответствии с формулами (7.24), (7.25) силы и перемещения, соответствующие я-му члену разложения, выражаются через функцию Ф„следующим образом'. э'и' Йяь1 ° Т = — Е1ь — Ф„з1п— 1 1В 1 0 44Фь Эяь1 И = — — — з1п —; ь — Дь,1ф4 1 Ф 0 ДеФд%, АЯЗОМ ть =~КЧь — —,— „ы )З1П вЂ”,1 дв,1фь (7.37) 1 1 О сад ~Мьоп 1 Йи~, 5= — ~ — —.— й — — К7ь <ь1~соз —; ь.
~ В~ 1ф7 нф эя ! ДФь й~з~ . и = — Ф соз — о= — — — з1п —; й 1<р 1 1 йьФь Эпь1 в = — — з1п —. 11 ~фг В приведенных выше выражениях, так же как и при решении характеристического уравнения, пренебрегли самой функцией Ф„ ~Р<Р,~ по сравнению с ее второй производной Как следует из полученных формул, при нагружении оболочки на прямолинейном крае нагрузкой, меняющейся пропорционально > з1п — ' деформации затухают а удалением от этого края, как е — 'з.
Оценим длину дуги йф„на которой эти деформации еще сушествеины. Положим б,ф, = 3; тогда Я~ = — — 2,бу'Ю~Р~ ЗИ ЗЯ * 6 .. л т ьш ! 4 й Зь4 Ка такую длину распространяется по окружности влияние нагрузок, приложенных к прямолинейному краю оболочки. Если полный центральный угол, занимаемый открытой оболочкой, больше, чем «р, то граничные условия на каждом из ее прямолинейных краев можно удовлетворять независимо. Следует отметить, что применение полубезмоментной теории расчета цилиндрических оболочек ограничено. Необходимо, чтобы отношение длины полуволны продольной деформации 1, = 1lй к радиусу оболочки Я было достаточно большим, т.
е. (7.38) В противном случае не выполняется основная гипотеза о более быстрой изменяемости функций в окружном направлении, чем тд ьл в продольном, т. е. условие — ) —,. С другой стороны, если относительная длина волны деформации очень велика, т. е. Ф>> а (7.39) + С, з!п ~р + Ч> (С, соз Ч~ + С, з!и я>)) ° (7.40) Если оболочка замкнутая, то из условий однозначности Ф постоянные. ффффС, равны нулю.
Тогда Ф = з!и — ~ (С~ + С соз йр + С з!и Ьр). Перемещения ! дФ 1 зги! о = — — — — — з!и — ( — С з!и <р+ С соз ф)' л ар 6 ! а~в и = — — = — — 'з!и — ! (С соз <р + С з!и <р). афа - д ! ь 6 325 то можно вообще пренебречь искажениями формы поперечного сечения оболочки и рассматривать ее как тонкостенный стержень (см. гл.
10). В самом деле, в этом случае коэффициент та в уравнении (7.34) мал (т~~ << 1). Пренебрегая его величиной в характеристическом уравне.нии (7.35), запишем последнее приближенно так: о' + 2о' + а4 = 0; это уравнение имеет четыре нулевых корня и два двукратных — !, Следовательно, приближенное решение однородного дифференциального уравнения имеет вид Ф = з[и — ' [С, + Сд + Сурэ + С,дР + С соз !р + Но эти выражения соответствуют перемещениям сечения в своей плоскости как жесткого.
В случае незамкнутой оболочки к тому же выводу можно прийти, рассматривая выражения для изгибающего момента Мв (7.24) и поперечной силы Я,. Подставляя в эти выражения значение Ф по (7.40), получим и гэ4 М = — — ~ — + — ~Ф= У ~ар +а~,) дз з1п 1 (2Св + бСа(р + 2гр (Св соз ср Св з1п ~р)) — — — з1п — "(6С +2С (соз~р — ~рз1п «р)— дМв В Фпв~ Цдумр Я' — 2С, (з1пср+ ~р спаса)).
Если нагрузки таковы, что частным решением неоднородных уравнений является безмоментное решение, то найденные значения М, и Я, представляют собой общее решение задачи, но тогда из граничных условий М, = О, Я, = 0 на продольных кромках оболочки следует Св = Св = С, = С, = О. .Таким образом, М,: — О, а это значит, что поперечные сечения оболочки не искажаются. Хотя анализ проведен для частного случая круговой цилиндрической оболочки, его результаты пригодны для цилиндрических оболочек других конфигураций, если под Я понимать харак. терный размер поперечного сечения оболочки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
