Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 13
Текст из файла (страница 13)
— соз ь где 1, 1 — произвольные целые числа, начиная с нуля. Интересно отметить, что в рассмотренной задаче максимальный прогиб, определенный методом Ритца, оказался преувели ченным, однако можно показать, что неравенство (2.86) выпол няется, и точное значение Ц и дх дд больше, чем приближенное Значения изгибающих и крутящих моментов в пластине, определенные на основе при- а ближенного решения, менее точны, чем значения проги. бов.
Рис. 2.2З Так, в частности, в центре квадратной пластины из приближенного решения получаем д~в д~в да~ аале дх~ ду' 4лЧ) ' М М~ 4 ° да' 0,0253 (1+ р) да', Точное значение моментов в этой точке в 1,42 раза меньше 1501. При Ыа- оо точное значение момента М„в центре пластины в 1,62 раза меньше приближенного. Отсюда следует, что для надежного определения напряжений в пластине на основе метода Ритца необходимы, как правило, высшие приближения. Так как при выборе координатных функций следует учитывать лишь геометрические граничные условия, метод Ритца является весьма эффективным для расчета пластин со свободными краями, пластин с вырезами, а также пластин переменной толщины и подкрепленных пластин. В качестве примера рассмотрим пластину, представленную на рис.
2.26. При выборе для этой пластины координатных функций нужно выполнить только геометрические граничные условия п~~„~-01 — ' =ив О, дв дх~ о Этим уеловиям удовлетворяет, например, функция и х'(Се+ С~Р+ Сау+ СюФ'+ ~мху+ Сояу'+ *.*). (2.91) После подстановки производных этого выражения в первую формулу (2.82) следует выполнить интегрирование по площади полукруга. С этой целью в подынтегральном выражении (2.82) удобно перейти к полярным координатам, заменив х на ~ соз ~р, у — на г з1п <р, элемент площади — на М<р Й',.
и выбрать пределы интегрирования по с~ от — — до + — и по г — от нуля до К. 2 2 Потенциал внешней нагрузки 1/ = Рщ, где в, — величина прогиба в точке приложения силы Р, подсчитанная по формуле (2.91). Довольно громоздкие вычисления не представляют каких- либо принципиальных трудностей и позволяют определить прогибы, а в дальнейшем и изгибающие моменты с тем большей точностью, чем больше учитывается слагаемых ряда (2.91). Если пластина имеет вырезы (рис. 2.27), то расчет выполняют точно так же, но площадь отверстий исключают из области интегрирования при подсчете потенциальной энергии деформации. Для пластин сложной конфигурации и а отверстиями удовлетворительные результаты получщотся только при подсчете перемещений.
Ошибки в определении напряжений велики даже при учете значительного числа членов аппроксимирующей функции. (2,92 Ку+д=О, где К вЂ” матрица жесткости всей конструкции; у †вект неизвестных узловых перемещений; я — вектор обобщенных сил, Каждое из уравнений системы (2.92) представляет собой одна из уравнений равновесия какого-либо узла, ссютветствующее данному его возможному перемещению.
Число неизвестных и уравнений системы (2.92) равно числу узлов, умноженному на число степеней свободы каждого узла, В зависимости от сложности конструкции число неизвестных мо. жет составлять сотни, тысячи или даже десятки тысяч. Зто связано в наличием концентрации напряжений вблизи отверстий. В этих случаях наиболее перспективным является метод конечных элементов.
М е т о д к о н е ч н ы х э л е м е н т о в (МКЗ) в его наиболее распространенном варианте является разновидностью метода Ритца. Суть МКЗ применительно к расчету пластин заключается в том, что пластину разбивают на конечные элементы стандартной формы (обычно — треугольные или четырехугольные). Форму изогнутой поверхности задают -в виде полинома не для всей пластины в целом, а для каждого элемента в отдельности..Коэффициенты аппроксимирующего полинома (а следовательно, и энергия деформации элемента) выражаются через перемещения (прогибы, углы поворота) в характерных точках элемента — узлах. .Так как узлы являются общими для смежных элементов, то в конечном счете энергия деформации всей конструкции выражается через перемещения узлов.
Внсшние нагрузки также приводятся к узлам, так что и потенциал внешних сил оказывается выраженным через узловые перемещения. Таким образом, полную энергию системы можно представить как квадратичную функцию и неизвестных перемещений у,, где п — полное число степеней свободы узлов. Из вариационного принципа Лагранжа следует, что должны дП выполняться и линейных уравнений — = О. дяде Зти уравнения можно представить в векторно-матричном виде Составление и решение таких больших аиатем уравнений воз- можно только при использовании электронных вычиелительных машин средней и большой мощности. Основные трудности в практическом применении МКЭ свя- заны с составлением рациональных программ, реализующих этот метод на ЭЦВМ. Главные требования к таким программам — мини- мальный объем вводимой в машину информации и представление результатов расчета в обозримой форме.
В рациональной программе предусматривается ввод в машину лишь сведений о геометрии системы, ее физических ввойствах и нагрузках. Разбиение конструкции на элементы н формирование матрицы жесткости при этом возлагается на машину. Что касается выходных данных, то для инженерных целей желательно пред- ставление их в графической форме (топографики перемещений и напряжений) с выводом на печать величин напряжений и пере- мещений в характерных точках. Для расчета пластин и других тонкостенных конструкций сложной конфигурации МКЭ является наиболее перспективным методом, позволяющим получить исчерпывающую информацию о деформированном и напряженном состоянии конструкции.
Точность получаемых с помощью МКЭ результатов зависит от типа выбранных элементов н их числа. Погрешность расчета может быть доведена до допустимой с инженерной точки зрения вели- -чины, хотя не всегда можно доказать, что решение, получаемое с помощью МКЭ, в пределе при уменьшении размера элементов стремится к точному, В качестве иллюстрации сказанного приведем занятный пара- докс теории пластин. Этот парадокс заключается в том, что про- гибы опертой по контуру пластины, имеющей форму правильного п-угольника, при увеличении и не стремятся к прогибам точно так же нагруженной круглой пластины. В, самом деле, прогибы п-угольной пластины при заданной ее цилиндрической жестко- сти 0 не зависят от коэффициента Пуассона 9, так как он не вхо- дит ни в дифференциальное уравнение (2.9)„ни в граничные услод~и вия (в =0; —, О).
Прогибы круглой пластины существенно завиеят от коэффициента Пуассона, который входит в граничное д'а и ди условие — + — — = 0 на криволинейном контуре, дп' й да Поэтому при аппроксимации криволинейного контура пластины ломаной неизбежно появляется ошибка; которая. не исчезает при предельном переходе. Указанное обстоятельство является, конечно, следствием того, что угловые точки опертой пластины являются особыми — в них возникают сосредоточенные реактивные силы (подробное рассмо- трение этого вопроса содержится в работе (47]).
Поскольку в на. стоящее время имеется ряд фундаментальных руководств по при. менению метода конечных элементов в инженерной, практике, !02 Вариационные уравнения (2.94) были получены нами, как еледствие принципа Лагранжа при условии, что координатные функции в выражении (2.80) ы (х, у) = ,«~~ Су,(х, у) удовлетворяют веем (как геометрическим, так и статическим) граничным условиям. Возможна однако и другая формальная трактовка уравнений (2.94). Заметим, что выражение в прямых скобках под 'интегралом (2.94), будучи приравненным нулю, представляет собой дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция в (х„у): (2.96) где каждая из координатных функций удовлетворяет всем граничным условиям. Подставив гв, вместо в в дифференциальное уравнение (2.95), получим неравенство 7.(гв,) + О, где 7.(в,) — ошибка приближенного' решения (2.96).
Для минимизации этой ошибки потребуем, чтобы она была ортогональна к координатным функциям ы,. Зто вновь приводят нас к уравнениям ) ) Ь (ц ) ы, дх Ну = О (( = 1, 2,...). (2.97) Если функции ы, образуют в области В полную систему, то выполнение уравнений (2.97) для всех ( обеспечивает равенство 1. (в,) = О, и в этом случае и — точное решение задачи, Однако это не имеет особого значения, так как в выражении (2.96) учитывают, как правило, лишь несколько слагаемых. Существенно, что при рассмотрении выражений (2.96) и (2.97) как дающих способ приближенного решения дифференциального уравнения Е (ы) = О нет уже необходимости связывать эти уравнения с принципом Лагранжа.
Благодаря этому оказывается возможным применить изложенный метод, называемый методом Б у б по в а — Г ал е р к и н а, и к неконсервативным задачам, где потенциал П отсутствует. Е(ы) =О [в данном случае Ь (в) = 1РР~Ри — д(х, у)). Можно считать, что формула (2.94) дает способ приближенного- решения дифференциального уравнения (2.95) при однородных граничных условиях на контуре, Представим искомую функцию гв в виде ряда Следует иметь в виду, что дифференциальное уравнение (2.95) может быть записано не единственным способом.
Его форму можно изменять, например, путем умножения оператора А на произвольную функцию координат, дифференцирования и т. п. Различным формам уравнения будут, вообще говоря, соответствовать и различные результаты его решения методом Бубнова— Галеркина. Для консервативных задач лучшие (в среднем) результаты получаются в том случае, если уравнения (2.97) записывать в такой форме, в какой они аледуют из принципа Лагранжа. Для расчета пластин на изгиб метод Бубнова †Галерки является менее эффективным, чем метод Ритца, так как обычно трудно подобрать координатные функции, удовлетворяющие веем граничным условиям, а в случае пластин переменной толщины сложный вид имеют дифференциальные уравнения изгиба. В ряде случаев хорошие результаты можно получить е помощью м.е то да Л. В.
К а н то р о в и ч а, позволяющего от уравнений в частных производных приближенно перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Этот метод эффективен для расчета плаатин, контур которых .ограничен координатными линиями (прямоугольные, секторные и тому подобные пластины). Рассмотрим применение этого метода к расчету прямоугольной пластины.
Начало координат помеатим в центре пластины (риз. 2.28), Зададим выражение для искомого прогиба в виде в(х, у) =1(х) ч(у), (2.98) где ~ (у) — известная функция„удовлетворяющая геометрическим граничным условиям при у = Н; 1'(х) — функция, подлежащая определению. Подставляя выражение (2,98) в формулу (2.81), можно выполнить интегрирование по у. В результате энергия будет представлена в виде функционала, зависящего от 1' (х) и ее производных; и=* ~Ф(~, — „, —,, х) дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
