Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Для заделанной по контуру пластины, нагруженной сосредоточенной силой, такое решение получено Мичеллом. Изложим кратко это решение. Напомним вначале известное из аналитической геометрии определение окружности как геометрического места точек, отношение расстояний которых от двух фиксированных точек постоянно. На рис. 2.23 показаны две такие сопряженные точки О, и О,.
Нетрудно видеть, что расстояния от них до произвольной точки окружности составляют г1 = ~ й + (Ю) — 2К Хй соз (р; г~ = ~/ Р'+ (Я/Х)' — 2Л Ю~ соз (р. ~Гаким образом, с" — '= Х= сопз1. г~ Пусть заделанная по контуру пластина радиуса К (рис. 2.24) нагружена силой Р, приложенной в точке О, на расстоянии ХЯ от центра. Сопряженная а точкой О, точка О, находится на расстоянии ЯЙ от центра. Положение произвольной точки М пластины можно задать рааатояниями г, и г, от точек О, и О„. Эти г1 = (х — И~)'+ у'; (2.76) 2 ( )~,))2 1 2 Найдем выражение оператора Лапласа от какой-нибудь функции ~1> в координатах г„г„для чего определим д$ д4> дг, д$ дг, д~ х — М д'ф х — Н1Х.
дх й"; дх дер дх дг, г., дар г~ д'~~ д'~ (х — ХЯ)' д"~~ (х — И/Х)' ' + дх~ д~-', г', + дт1 4 Аналогично, д~~1~ д'$ д' д'ф д2 д$ / 1 ц~ ~ ду' Ф~',~', дй41 + д», (, г, г1 7 Суммируя, находим д'$ д'т д'$ д'ф ~ ( — — — ", ). (2.77в~ ! дф ! дф дг, г~ дг, ' Эту формулу можно также записать в виде (2.78) Вычисление бигармонического оператора 7'7~~р сводится к двукратному выполнению операции (2.78).
Заметим, что решениями уравнения Лапласа 7'~~ =- О в координатах г„г, (гармоническими функциями) являются, в частности, выражения 1ь — 1, ф — 1пг, ф — 1п~-> ф — 1пг 1пг, ф — г,— г, а также выражения вида Ф = У, (иг,).7, (Йхг,), где /~ — бесселева функция нулевого порядка; сс — произвольная величина. Решениями бигармонического уравнения 7'Ч'ф = О, кроме гармонических функций, являются также решения уравнения Рф = = ф„в правой части которого стоит какая-либо гармоническая функция. Отметим, что частными решениями уравнения Ч'~ = 1 являются выражения ~ = — 1; $ —, а частным решением уравне- 2 ния Рф = 1и г, — выражение ф = 4 г', 1п г, Решение уравнения изгиба круглой пластины, нагруженной сосредоточенной силой Р в точке О„представим в виде суммы расстояния связаны с декартовыми координатами х, у точки М формулами В частном случае пластины, нагруженной в центре, Х вЂ” О, и полученные формулы совпадают а формулами для этого случая, приведенными в гл.
1. (2.80) где ю, (х, у) — заданные координатные функции, каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям; С,— подлежащие определению коэффициенты. Принятое выражение м (х, д) подставляют в формулу полной энергии системы (2.20) (2.81) П=и+и, д где (см. формулы (2.25), (2,22)) 11 р (( ~ +2 ~1 — ф (( д д ) — д„, д„, 1)хдхдд; (д.дд) д= — Дд(х, д) идхддд$ [т ~4 д1 — я" ~4и1 ид; здесь поверхностные интегралы вычисляются по всей площади пластины, а контурные — по ее контуру. После фактического выполнения интегрирования в формулах (2.82) полная энергия системы оказывается выраженной через постоянные С,: И= П(С, С„,, „).
96 ~ 8. Вариационные методы расчета пластин Точные решения задачи изгиба пластин могут быть получены лишь в некоторых частных случаях, преимущественно для пластин постоянной толщины простой конфигурации и при определепных видах граничных условий. Применение вариационных методов расчета является эффективным средством определения прогибов пластин в более сложных случаях. Наиболее часто в практике используют расчеты, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Выше, в 5 5 этот принцип был .использован для вывода дифференциального уравнения изгиба пластины и граничных условий. Ниже будет рассмотрено применение некоторых прямых методов вариационного исчисления (метода Ритца, метода Бубнова — Галеркина н метода Канторовича).
Согласно м е т о д у Р и т ц а форму изогнутой поверхности пластины отыскивают в виде ряда Из требования стационарновти энергии 8 П = О следуют ра-венства дП зс — — 0 ('=1, 2„..). (2.841 дСс Так как (7 является квадратичным, а Р— линейным функционалами от в, то уравнения (2.84) представляют собой систему линейных неоднородных уравнений относительно С„. Решение втой системы, будучи подставленным в формулу' (2.80), и дает решение поставленной задачи.
Если координатные функции в; образуют полную систему функций, то бесконечный 'ряд (2,80) с коэффициентами, найден. ными из уравнений (2.84), представляет собой точное решение. В большинстве случаев, однако, ограничиваются лишь несколькими членами ряда (2.80). В результате получается не точное, а приближенное решение задачи, погрешность которого в большой степени зависит от выбора координатных функций и, и от количества слагаемых а, сохраненных в выражении Б = Е СФ, (х, у). (2.85) 1=1 Заметим, что в результате ограничения числа членов ряда (2.80) в систему как бы вводятся дополнительные связи, и она становится более жесткой, чем в действительности.
Поэтому при' ближенное решение, полученное методом Ритца, удовлетворяет неравенству Ар -'. А, (2.86) где А — работа заданных нагрузок на соответствующих им действительных перемещениях; А — ~' = Д д ~х, у) и Их ду — $ (т (а) — — С' ф и) й; д~р з Ар — аналогичное выражение, в котором перемещения заменены их приближенными значениями, найденными методом Ритца. Определим с помощью метода Ритца прогиб заделанной по контуру прямоугольной пластины постоянной толщины, нагру.
женной равномерной нагрузкойч Для приближенного определения . прогиба ограничимся од. ним слагаемым ряда (2.80) и примем го= С~1 — соз — ) ~1 — соз —," ) (2.87) (координатные ови совпадают с краями пластины). Принятое выражение удовлетворяет условиям заделки. При х=Оих=а д в=О' — „=О. дх 4 в. л. ви~ р 97 Приу=Оиу= Ь (2.88) Это можно показать путем интегрирования по частям с учетом граничных условий ьа = О; — = О.
Интеграл (2.88) равен нулю д~ аа гакже в случае опертой по контуру пластины постоянной толщины, контур которой ограничен прямыми линиями. В указанных случаях можно пользоваться упрощенной формулой для вычисления энергии У = — Ц ( — „, + -~-";) дх Ыу. (2.89) Вычислим дйа, 4лга дггх ау х ° дх~ аа — = С вЂ” соз — ~1 — соз — )' а д'в 4гР / 2пх '1 2лу — = С вЂ” ~1 — соз — ) соз —. дР Ь а ) ь Подставляя эти значения в формулу (2.89) и выполняя интегрирование по х от О до а и по у от О до Ь, находим С2~,1 2 л За'+ ЭЬ'+ 2а'Ь' цзьз . ° Для потенциала внешних сил, учитывая, что на контуре гв = О, д~ — = О, получим дл Р = — ~ ~ дС (1 — соз — ) ~ 1 — соз — ~ г1х йу = = СцаЬ, зях х г зла ~ ь ) О О Приравнивая теперь нулю величину дП до дУ + „Э ас аа+ аа определим ддльл лггЧ) (Зал + зЬ" + 2а'Ь') ; =О; — -О. ЙФ~ дд Вычислим энергию деформации и потенциал внешней нагрузки.
В выражении (2.82) для энергии деформации У в случае постоянной жесткости В и наличия заделки по контуру обращается в нуль интеграл и, следовательно, 4аЧ) (За~+ ЗЬ~+ 2а~Ь~) ~ а / ~ Ь /' Максимальный прогиб д уф ~ювх 4(Э(зда ( ЗЬа+2УУ) (2.90) а Ь ~ имеет место в'центре пластины (х = —; у = — ~.
В частном слу. чае квадратной пластины (а = Ь) в~,„= 0,00128 ~ ' (точное решение задачи в рядах 1501 приводит к значению з,„= ~~4 х = 0,00126'~., ). Для удлиненной пластины (Ь ') а) формула (2.90) приводит к значению в = †, — = 0,00342 в , тогда как . точное значение прогиба (равное прогибу равномерно нагружен.
! да4 да' ной балки) аоатавляет — — 0 00260 —. 384 В ' 0 В случае квадратной йлаатины погрешность в определении максимального прогиба составляет лишь 1,5%, а в случае удли. пенной пластины — 24% . Это связано с тем, что для удлиненной -. пластины принятая форма изогнутой поверхности в форме (2,87) является весьма грубой. Это видно из рис.
2.25, на котором пока-. зано сечение изогнутой поверхности по большой оси симметрии пластины (а — истинный вид упругой поверхности, б — вид ее в соответствии а формулой (2.87). Ббльшая точность может быть получена при удержании нескольких слагаемых ряда (2.80), При этом в качестве координатных функций могут быть приняты функции вида 2ци 2(1+1) ти 1 / 2/Щ 2(1'-~-1)ду~ и, =~~сов — — соз а а )~ ~ ~сов —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
