Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2. Счетчик и( — указатель номера интегрирования, НН начальная без- размерная толщина пластины, Н шаг печати, Т, Т! — начальные значевия независимой переменной. 3. Начальные значения вектора состояния. П вЂ” символ, равный нулю прн интегрировании однородного уравнения, и единице — неоднородного. 4. С1, С2 — постоянные интегрирования. 5.
Стандартная программа интегрирования методом Куттз-Мерсана (про- грамма в тексте опущена), Из стандартной программы удалена команда вывода и она заканчиваетси процедурой .восстановления шага. б. Подсчет и печать размерных переменных (Б! = прогиб в см; Б2, Бй моменты М,, Мм Б4 †.
поперечная сила), 7. Запаминаютсп результаты интегрирования при р = р,. и. Определяются и выводятся на печать постоянные С,, С,. и. Переход к следующему интегрированию, или остановка, сели счет ча- кончен. 1О. Задание закона изменения толщины по участкам. !1. Формальное аписанне правых частей дифференциальных уравнений, 12, Задается точность интегрирования (Е), границы интервала интегряро- ваиия и число )(» дифференциальных уравнений. 13.
Формулы правых частей дифференциальных уравнений. Символ П 'вклю- чен как множитель при интенсивности нагрузки. 14. Размеры массивов. ~ Мерсона с автоматическим выбором шага, входящей в математи',- ческое обеспечение машины. Постоянные величины, необходимые для расчета, аледующие: Г ЕЛО р =0,3; Е=2 ° 10' Н~см'', В = о= !и (! „з! Фо = 1,47 10' И см; д .= — ', = 0,106 .'::.Переход от безразмернои величины у, = — к размерному знаЛ1~ ,:М 3 , :чению момента производится по формуле ля Ро уз Ро сй~ = Д- — = — ' Р Йо где ~' = 6,87 ° 1Оь Н, Йо В табл. 1.4 приведена программа расчета (на языке машины ~'МИР-1) а необходимыми пояснениями.
Машина печатает значения постоянных С, = — 4,502362 10 4; ;;::С, = 2,148376 10 ' и таблицу значений прогиба в (в см), момен- ;.тов М, и М, (в Н) и поперечных сил Я (в Н/см) в четырнадцати ,„равноотстоящих по радиусу точках. В точке р = 0,16 (на внутрен- ':нем контуре) значения моментов и поперечной силы не печатаются, :.;.однако эти величины определяются поотоянными С~, С~: 'ж,-о; и,--' — '=й~~- о-фю.~,л.~о с,= — ~до ~о н; !~=у, — '=С,— '=С, ' =3,17.10' Н/см.
В, В, 1,47 !О гас ~Яо 4 25 На основании данных расчета на рис. !,20 представлены гра:фини изменения прогиба, моментов и поперечной силы в зависимости от радиуса. В данном случае' ось г направлена вниз, поэтому д принято йоложительным, так что положительные значения моментов 'соответствуют растяжению в нижних алоях пластины. Глава 2 Общая теория изгиба пластин Общая теория изгиба пластин построена на основе тех же гипотез Кирхгоффа, что и теория осесимметричного изгиба круглых пластин, — гипотезы о сохранении нормали и гипотезы о малости нормальных напряжений в плоскостях, параллельных срединной. При малых, по сравнению с толшйной пластины, прогибах также предполагают, что смещение каждой точки срединной плоскости при изгибе нормально к этой плоскости, и пренебрегают деформациями элементов, лежаших в срединной плоекости.
Однако обшая теория изгиба пластин сушественно сложнее, чем теория осесимметричного изгиба. Так как прогиб является теперь функцией не одной, а двух независимых координат, задача сводится к решению дифференциальных уравнений в частных производных. Известно лишь ограниченное число точных решений задач об изгибе пластин преимущественно постоянной толщины.
Некоторые из таких решений для прямоугольных пластин приведены в~6. Изгиб круглых несимметрично нагруженных пластин постоянной толщины рассмотрен в ~ 7. Следует отметить, что для круглых неосесимметрично нагруженных пластин переменной толщины эффективным является численное решение путем интегрирования на ЭВМ обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых после разложения решения в тригонометрический ряд по угловой координате.
Соответствующая методика расчета в данной главе ие приво. дится, так как она представляет собой частный случай более общей методики численного расчета оболочек вращения, приве. денной в ~ 26 гл. 5, Вариационные методы расчета, которые позволяют получать приближенные решения задач об изгибе пластин, рассмотрены в $8.
Краткие сведения об изгибе пластин при больших прогибах приведены в ~ 9. На основе полученных там результатов можно оценить пределы применимости линейной теории,' базируюшейся на гипотезе об отсутствии деформаций в срединной плоскости. ~ 5, Основные зависимости Отнесем пластину к декартовой системе координат, располо- жив оси х, у в срединной плоскости и направив ось г по нормали к этой плоскости.
При изгибе пластины точка М срединной пло- скости (риа 2.1) получает перемещение в = ю (х, у), а материаль- ный элемент, нормальный к срединной плоскости, поворачивается так, что составляет теперь а осью г углы д, и б„(соответственно В плоскостях хз и дз). На основании гипотезы Кирхгоффа углы поворота нормали равны углам поворота координатных линий х = сонары, у = сопз1 на срединной плоскости: дв дв д= —; 6= (2.1) ду Рассмотрим теперь перемещения точки Ф (рис.
2.2), лежащей на расстоянии г от срединной плоскости. Эта точка, наряду с по- перечным перемещением в, получает также перемещения, напра- вленные вдоль осей х, д: и = — д,г; О = —.дуг. (2.2) Зная перемещения и, п произвольной точки, лежащей на по- верхности, характеризуемой расстоянием г От срединной, не- трудно найти и деформации этой поверхности. На рис. 2.3 изображены выделенные около точки У отрезки пх, ду до и после деформации.
Считая углы поворота этих отрезков малыми, найдем их относительные удлинения ди йх + — дх — <Ь дх ди , "х (Й дх ' дО ду ду + — ду — ду дО е = ду ду Угол сдвига у„„равен сумме углов поворота отрезков, т. е. ди до Т = + хУ ду д~ Рис. 2Л Рис. 2.2 дд~ е = — — я' дц (2.3) Если использовать следующие из гипотезы Кирхгоффа зависимости (2,1) углов поворота нормали от прогиба и, то д~й~ дх' д'~ е У ' 2 др (2.4) дь ~ у, = — 2 — г., х д д Считая материал изотропным и используя соотношения закона Гука (в предположении о,~(а„, о„), найдем напряжения в слое пластины г: е .Е У д~щ двю ~ а = — (е+ре)= — — ~ ) (х )з; 1хи х 0 1 „ а ( дха дд и Е / д'"ю дЪ па= 1 Р~(еи+Рех)= 1 ю( ~. +р д.
) з1 (25) Е Е дух 7" 2 (1 + и) Тхд 1 + И дхду Как и в случае осесимметричной деформации пластин, касательные напряжения т„, т„, возникающие в сечениях пластины ,р,„ ди Рис. 2.3 Подставляя значения а и о 1см. (2.2)), выразим компоненты деформации слоя через углы поворота ддх х д ~1 аЪ Фх Уу + — Уду) Ух ду ~И ч — х урух У ду (~ху+ ~-"-~ Ух д~ь» дЬ дд ~~~„+ Ух,) ау д» (д ~- "ух)уу (~~ ~-У-а~)Ых х дх У дУ (Д а3 Рис.
2.а Подставляя в формулы для моментов выражения напряжений (2.5) и выполняя интегрирование по г, получим (2.6) д~в хд Ух = ( — Р) дхд э —,+ — +д=о; дух дЮ„ дх ду — "+ У" — ~, =О; дя„дМ,„ дх ду (2.7) — + — —.Я =О, д~нр д~нхх ду дх где д — интенсивность внешней поперечной нагрузки на единицу площади пластины. 'еаз где 0 = — цилиндрическая жесткость пластины.
12 (1 — )хф) Рассмотрим теперь равновесие элемента дхйу пластины (так как внутренние силы приведены к срединной плоскости, можно рассматривать равновесие элемента срединной плоскости). На рис. 2.5, а изображены приложенные к элементу силы, а на рис. 2.5, б — моменты. Можно составить три уравнения равновесия элемента— уравнение проекций сил на нормаль к срединной плоскости и уравнения моментов относительно осей, направленных вдоль граней дх и пу. Эти уравнения после пренебрежения малыми высшего порядка и сокращения на ахну получают вид (2.9а) Исключая из уравнений (2.7) поперечные силы и учитывая, что М„„= М„„, придем к одному уравнению равновесия, в которое входят только изгибающие и крутящий моменты: г 2М, даМ,„д~М„ (2.8) Так как моменты выражаются по формулам упругости (2.6) через прогиб, то уравнение (2.8) представляет собой уравнение в частных производных четвертого порядка относительно функции ге(х, у).
Наиболее просто уравнение (2.8) можно преобразовать для пластины п о с т о я н н о й толщины. Лля этого случая, подставляя в (2.8) значения моментов по (2.6), получим (2.9) Уравнение (2,% можно также записать в форме Р7'и.— Ф " где Ч ( ) =,, +, —,оператор Лапласа. 2 Э ' ) д 1 ) Зля пластины постоянной толщины упрощаются и формулы . для поперечных сил. Определяя Я, и Я„из уравнений (2.7) и . подставляя выражения моментов через про~иб, получим д / д'а д'а, 9 = — й — —. + — = —.0 — ' (7'и) дх ~ дх' ду' дх д д Чтобы краевая задача для уравнения четвертого порядка .
имела определенное решение, на контуре должны быть заданы два граничных условия. Рассмотрим, например, границу пла. стины х = сонат. Если этот край пластины заделан (рио. 2.6, а), то граничные .' условия на нем имеют вид и>= О; — = О. дю дх На шарнирно закрепленном краю к = сопз( (риа. 2.6, 63 прогиб и изгибающий момент равны нулю, т. е; и = О, М„= О. Более сложными являютая граничные уаловия на краю, поперечные перемещения которого не запрещены. Рааамотрим, например, свободный край пластини.
На первый взгляд кажется, что должны быть равны нулю все внутренние силы, т. е. (на краю к = сонат) М„=О; М,„-О; Я„-О. Однако па краю могут быть выполнены лишь два, а не три граничных условия. Как было уатаповлено Кирхгоффом, условия, наложенные на крутящий момент и поперечную зилу„не являются незавиоимымн и должны быть заменены одним уеловием Я +д~Ж О Это условие является прямым еледе1вием кинематической гипотезы Кирхгоффа. В самом деле, в связи с тем что нормали остаются и после деформации перпендикулярными к срединной поверхности, заштрихованный на рио. 2.7 элемент ду границы к = сопз( дм'1 поворачивается в своей плоекости как жесткий диак на угол — ) . ду) Поэтому приложенный к элементу крутящий момент М, й~ можно заменить ататиатически эквивалентной ему парой верт~~- кальнык сил, равных М,„каждая. На соседнем элементе ду дМ, действует момент ( М„„+ — д-"2- ду) ф; заменяя его также парой аил, обнаруживаем, что ыа границе участков приложена неурав.
дМху повешенная сила, равная — "~ пу. Таким образом устанавливаем, ду что крутящий момент М,„ ататичеаки эквивалентен распределенной по контуру поперечнои аиле интенсивности †~ — "-. дМ у Таким образом, величина дМ~и Ю. =О. +— ду представляет собой приведенную поперечную силу в сечении к = сопз(. Именно эту величину, а не ~, и М„, в отдельности И,-В Юу УМ У Рис, 2.7 Рис, 2.8 еледует приравнивать нулю на звободном контуре. На основе принципа Сен-Венанз можно утверждать, что замена действительных условий Я„= О, М„„= О на свободном контуре граничным условием Кирхгоффа Щ = О может повлиять на напряженное состояние плаетины только в примыкающей к контуру зоне, имеющей ширину порядка толщины пластины Й. Если контур пластины не аовпадает о сечением х = сопз1, а нормаль ~ к нему составляет посыл х угол у (рис. 2.8), то граничные условия накладываютая на величины и', —, М,, Я„ дИ3 ' где — — производная прогиба по направлению нормали; М,— нормальный изгибающий момент; Я; — приведенная поперечная зила на контуре, Ь Ь+ — д~)- ° (2.12) При заделанном контуре дю ~О = Π—.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
