Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 3
Текст из файла (страница 3)
нагрузку, распределенную по кругу радиуса б, выделить из :, пластины цилиндрический ) час- рис. 1.11 21 ток вблизи зоны нагруже- ния и исследовать его де, формации с помощью методов теории упругости (без использования гипотез Кирхгоффа) !501. Р Такое рассмотрение позволяет установить, что элементарная теория, базирующаяся па гипотезах Кирхгоффа, достаточно точно определяет напряжения, если радиус зоны нагружения с превышает удвоенную толщину пластины, т. е. с ) 26.
Если зпна нагружения существенно меньше толщины пластины (с ( Й), то вблизи нагруженной поверхности пластины возникают большие местные напряжения сжатия ', В центре пластины, на стороне, противоположной нагруженной, возникают при этом напряжения равномерного двухосного растяжения, мало зависящие от размеров зоны нагружения. Эти максимальные напряжения можно вычислить по формуле 6М„ Ошах а 6 где М, — значение момента М„вычисленное по элементарной теории для сосредоточенной нагрузки по формуле (1.22), но не в центре пластины, а на расстоянии т = 0,166 от центра (при р = 0,З). При расчете пластин постоянной толщины, нагруженных произвольной осесимметричной нагрузкой, нагрузку обычно схематизируют.
Как правило, ее приближенно представляют как распределенное на ряде участков давление, постоянное на каждом участке, но меняющееся от участка к участку, а также в виде сил и моментов, распределенных по окружностям (рис. 1.12). Расчет нагруженных таким образом пластин не встречает принципиальных затруднений, однако если определять решения уравнения изгиба на каждом участке независимо, то придется на каждом участке иметь дело с двумя постоянными интегрирования, которые затем нужно определять из условий равенства моментов и углов поворота на границах участков.
'Это приводит к довольно громоздким выкладкам. Поэтому частное решение целесообразно строить так,. чтобы оно давало непрерывные значения д и М, на границах участков. В этом случае условия совместности деформаций будут выполняться автоматически, и постоянные С, и С, будут иметь единые значения для всей пластины. ' Эти напряжения имеют порядок Р(нс', и их распредечение аналогично распределению напряжений я контактной задаче Герца о сжатии шаров. 1 1 Г Г Г р'» (г) Ỡ— — — — — ) г ~ —.й й 2л0 ~ .)~ 1 ' г г» г, (1.23) При таком выборе нижних пределов при г = г тт» = О, а также обращается в нуль Определим частное решение, соответствующее действию на участок г ~ г, равномерно распределенного дополнительного , давления д».
В этом случае дополнительная сила, воспринимаемая частью ,пластины радиуса г (г> г»). Р» (г) = п»г» (г — г»). По формуле 1.23) находим Г 1» 2Д г '» " а»~ — — — 4гг» 1п— ыв ~ ' См. работу 145], т. П, гл. 1, ч2, В несколько ином виде аналогичный метод разработан С. Н. Соколовым [48, 201. 23 Ниже изложен метод построения, такого решения ', аналсн ичный известному методу А, Н.
Крылова в теории изгиба балок на упругом основании. Суть этого метода такова. Участки пластины (с постоянной нагрузкой) нумеруются от центра к периферии. На каждом участке выражение для частного решения принимается равным сумме соответствующего выражения на предыдущем участке и частного решения, отражающего влияние дополнительных нагрузок, действующих на данный участок. Это дополнительное решение строится таким образом, чтобы в начале участка .
оно обращалось в нуль вместе со своей первой производной. Тогда присутствие этого решения ие изменяет значений д и М на внутренней ~ранице участка, и постоянные С, и С, оказываются для данного участка такими же, как для предыдущего. Построение таких дополнительных решений несложно.
Пусть например, на данном Ьм участке г„< г < г»„имеется дополнительная нагрузка, вследствие которой полная сила, воспринимаемая частью пластинки радиуса г, увеличивается на величину Р» (г). Тогда дополнительное частное решение ()» можно построить по формуле (1,20), выбрав в ней оба нижних предела интегрирования равными внутреннему радиусу участка г»: Полученную формулу можно представить в виде д» =. — — Ф (г, г»), ч» (1.24) где Ф (г, т») = — (г — т» — 4г г» 1и — ~ 1 Г4 '4 юи г~ 1бт (, (! .25) 1 Ф, (г, г») = ~ Ф, (т, г») ог = 㻠— 1 г'+ 4г'~» — Б㻠— 4г» (г» + 2г ) 1п — 11, (1.26) 64 используемой при вычислении прогибов.
Лля вычисления изгибающих моментов необходима вторая производная от этой функции Ф, (г, т») = — Ф4 (г, г») = д 1 / 4 я» 4 22 = — ( Зг — 4г-т»+ 㻠— 4т г» 1п — ~1. 1бг» (, г» (1,27) Аналогичным способом можно найти выражения для дополнительного частного решения и в том случае, когда в начале участка (при г = г») приложена распределенная по окружности сила Р (рис.
1.13, а). Однако в этом случае проще пойти по другому пути. Рассмотрим нагружение пластины равномерной нагрузкой + о на кольце г»:.= г ~ г» + Л (рис. 1.13, б). Очевидно, что Р» при уменьшении ширины кольца Л, если д = ~ а, такая 2лг» Л ' а) нагрузка стремится к распределенной по окружности силе Р». С другой стороны, нагрузка, распределенная по кольцу, 6 может быть заменена двумя нагрузками: +у, действующей при г =. г»,и — 11, ~й действующей при г ы» +Л(рис. 1.13, в), . Частное решение, обусловленное каждой Ф) из таких нагрузок, можно найти по формуле (1.24), а их алгебраическая сумма даст при г )~ г» + Л решение, соответствующее кольцевой нагрузке. Рис. 1.13 является функцией двух переменных — текущего радиуса г и радиуса начала участка г.
Зта функция представлена в виде производной от некоторой первообразной функции Таким образом, при г ) г, + Л О, = — — Ф, (г, г~) + —." Ф,, (г. г„+ Л), Подставляя у = — и переходя к пределу при Ь О, Р„ 2иг~ Л найдем Р~ 1 д' ОА = — — —. Ф, (г, гА). 2лО г~, дг~ Это выражение можно также записать в виде (1.28) где 1 д Фг (», ~ъ) = — — — Ф, (г, г~) . 2иг~ дгь После подстановки Ф,', 1 / и г я я~ Ф;, (», г~) = — ~2» 1п — — г +»~). а (1.29) Для первообразной функции Фр (г, г~) и для второй производной Фр (г, г„) получаем выражения 1 д Ф (г г)= — — — Ф (г,г~)= Р Ф А 2Л»А дгд и В --'-[(г+4))п —,' — "+4); 1 д Фр (г, г~) = — — — Ф, (г„гг,) = 2иг~ дг~ (1.30) 1 ~ г В1 = — ~21 — + 1 — —,~.
ап Точно так же частное решение, соответствующее приложе- нию момента интенсивности гп, на окружности радиуса (рис. 1.14, а), можно найти, рассматривая эту нагрузку как предельный случай для двух одинаковых,но противоположно направленных кольцевых нагрузок (рис. 1.14, б).
Таким образом легко установить, что при г ) г, частное решение опре- д3 деляется формулой го~, Ф~ = — — 'Ф~(г, г~), Рис. 1.14 ! о ~ сч о с- СО ыа сч 3О о о О» а» с ~ СО са са а3 3О сч сч СО |О о о сч о СО са|асос» с~ с|ч'г ь»О»«са» ч о \Осчсад о О - сл ~- |О» .~ сО сч - о о а! са О» с-. с.. |- |О |О О ~л сО ч ч ч «С СО СО С'4 СЧ С4 С 3 С'3 С'4 С 3 С'4 СЧ С4 Ф! ! о |ОС» С |ОСЧ|ОСО СЬО О»а СО ОСЧОООСО сО сыосча»!а со ос. а|сь сасОО»с с с с |О « ! о а»саось|ОО «ссасасО|ОСО О «с ОООЪСО|аосчо са |Оса|ОС-сэ |Ос»ч с-счось а»~ ч сосчсс|ОСО р а»О»ссссо с»а»|ОСОосО|ОСО о СОЗ|ОСОО4 ОЗ СЬ 00$3 |О|О|О|О Р Р Ф Ч'СО СОСО СОСО С4СЧО» СЧ СЧ О»СЧ о | е |ОСОС» Ч' СОСО» О О СО СОСЧ 00 СЧ СО С»3СЧ «С|О |О|О 3О СОС4 О| Ч3 с с-с- |О|О|О 3 сО с»а|с-|Оч сч сьс |Ос» О»с-|асчоос|О «1 оь»о сч|О с|О-сО ь»|О г а|с.» 3" ~с» ос-сасач а|.3" о Ь»СО | СЧ|ОСЬСЗЧ'«О~ ООЮСОС0$ 3 |О |О 3' |3» С»СО| 3!»«ССО счО»О» сьсьй -«о О» - 6|О~ о СО |О СО |О |О 3О |О 3О |О |,О |,О |О ЬО |О М» |О |О !.О 3' 3' Ч' 3' «!' ,'3' Ч' Ч' «С СО СО ь М 3 |О СО!"О !'»ОС|О|| «С ~.Р |ОО»СО| 3О |О«с С4 с=! СО |О С4 О| |О сО О |О сО О||О С4 СО и» сч счч" ь»сас с»а»о счсО«сь»ос СОО» о с»СО«ссаос ооо оооооооооовоооо оо оооооооо \ 44 * || е -1: 9 ~« Ь ~ |а|О О»ч с-чоч с»СО|ОО»ч оосО |О СЬСОО» 3'С4 СЧСОСОО|Р»$ С'43 С3 сч|-.
с» а»со!' СОСО ссасчсч оо |"» С'3 С'4 С'4 |О «3' 3 'Ф | |О ОЪ С»3 С!» СО СО О| |О С'4 й| Г-Ч ОГ-СОО СО сьа О»сососос-с 1 о>ссо сч ооч св ~о осюосс с 1 счО')с0сб ссссссб жсРФ с"с ссс з сч сч сч сч о о о о о с сРсОсчоосчос'счсч а~ о~ о~ сс о со со сэ со со с.-" с-" л- мжос'с'ссор]счжс-ссс жюлж счч' счсощм ч" оооЖсч аоосчос-сссоюс в ч сссч с-сс.соч ос-асс яссаа ч'счсьс. ~'счосозч'сч слг-о ч'сч оотг-со ссч'Л осс :О сО ис |О асс ссс |й ч' 'Ф ч" ч' "Ф ссэ сО сО ссэ ссс сО ссэ сч сч сч с) с) сч ю сч 1.
с0004.О с с' счзОсОосчсчО 1'ч'оо счжсчсч ссо с ос- сасссчсчч сосо с ссссо ссо с ооссоосчо-~ сйоэ00$ с ю ооъйссс Ф 4'ч''ФсОсОсО с6сюч'а~сососчюо с'с сс о ссср ссосоасс осою ссос- исчвс ч ч ч с~ с с ~ сч сч сч сс сч асс',соус с сО соя ч' сою юл счсссос~~счжсчжсссЗ ой( ссссо Ф'ч'Оъсчсч 4счсчсч сч с ссъссс~ яос'4'Ф1 ОъсчЗ сбсОсОсОсбяссэсчсчсчсч счсчсчсс счсч' ° ~ ~ ч ° ° ~ ~~ ° ~ ° 1 Ю о сО сч д.с ссс со о со ж О сд ч сд о о со о оо ос с со и> сч сч с сОЗояРс Оъ «ч'сОсООЗ осО о оо сб<Оо с'Оъ~ъсчО>$~3,й сч й й со м Рз со со со щ я 3 ч чФ ч~ Ф ~ч ~ ~~ е Ф я Гэ ййз ~а й о ооо о оооо оо оооо оо о оооо оооо оо 27 Ю 1 о ссссо сР<ЮОъс сОсО сьоя счч'<ОО1счжо с оЗсс с" с'ссч оо сс ! о Ос $ о сч сч 3' съ сю сО сч сь с'О ИЯс~оЯЙЙЗ~-ФЙ О~О>О)СЬсОООСОсОс~В с 1 ь ЪЪ ь е -! С33 3' 1'СО СМСО ОЪ! 3 сосо аъ ь мЪО$ ьсчсо ООС- О СО!О ~МСЧСЧ Ь ч ! ь ЬМЪО 1'СО! СОСО С'3 МЬЬ СОММ 3'Оъс:3! Оъ 3 аъсо~ Ч'ЪО.ОСОЮ 3'1 3О 3 СО а!со!-сосонь сч м соо3с4 1 Ю 1 ь е -!.
ОЪ ЪС со сч ьь 4 1 Ю 33 1 ь аъм ~ ч' со ь СО С33 СО !=!О М О О О Е ЛФ СО СЧ ЬС13.ОЬЪОС3 СС 1 ! ! СООСЧ:ОЬ 1' ОЪ ЪО СО гЪО 3 аъ мЪОС-ьсчЪО 3- ь мсоаъмсосъмсо аъ сос-с со с33 3-.3ОЧ счьаъ3-3О со сч ьсоч !ось ьсо са Ъососч ! 3 3О СО со СО 3О 3О ЪО 3.О 3О 3.О 3.О 3О 3' "3' Ч' 3' 3' Ч' СЪ СЪ СО СО М а3 со СЧ с!со сосоьсасч ь ь с' съ Оъ соаъсчР Засосом ь аъьм аъ сч соьсоаъч аъ-3 ь о со ~ ОЪ О'! СО СО! !О \О!О!О!,О 3' Ч'СОСО мс-счсо ~аъ ~со ь ь аъс- со сог-ьмсомь~ со м С!34 О СО ЬСОСОЪОЧ'СЧ Ю С'4 С4 СЧ СЧ СЪ СЧ со 30 мсчсъьсОьм со СО со ОЪсчьсчьсч ь 1.
1 ь 3-сч со ь г-счсососч аъ со ч со3 счсо ЪО с-ьч ОЪ С-. ~ СЧ аЪ 3 - ~ Сч ас 3-. ЪО СЧ Ь СО О Ч' СЧ Ь ОО СО Ч Сч Ь ОЪ !О!О СО 3ОЪОЪОЪОЪОч3'ч33чс ч' ч3 мммммс4счсч сч сч ЪО 333!ам с!со !' 3' 1 Ъоаъсос Оъаь со чс~ 3 ЮОЪЮОЪЮ ч с33 со м соьмсчс4мсо со 4-3 аъ ! Р Ь Ч' СО СО СО СО СО С33 ОЪ 1О !О Ъ3' СО 3ОЪ С'4 СЪ 1 ЪО М ОЪ а!сог-~ сосОЪОСО ~ ч ч мммсчсчсчсч 33ОЖ с4сососо сч 3О мсос-ЪОЪОО33ОЗ ЪО ое-ьссч3асосч3-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
