Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(2.67) В этом выражении первое слагаемое представляет собой частное решение неоднородного уравнения, а остальные — четыре линейно независимые решения однородного уравнения. Четыре постоянные, входящие в выражения общих интегралов уравнения (2.62),.определяются из граничных условий на внутреннем и внешнем контурах пластины. Если пластина не имеет центрального отверстия, то вместо двух граничных условий используют условия ограниченности ы, и — при» вЂ” О. Следует отметить, что только йо~ с~» нагрузки, соответствующие членам разложения й = О и й =' 1, не являются самоуравновешенными.
При й = О приложенная в пределах круга радиуса» нагрузка 0, (») имеет равнодействую- щую 1 Р(») = 2я) д0(»)»»1», о При Й = 1 нагрузка, распределенная по закону и (», ~р) = 0, (») соз ~р, Решение этого уравнения, соответствующее осесимметричной деформации пластины, было-подробно рассмотрено в $ 2 гл. 1. При й = 1 функция ы, (») определяется уравнением Последовательно интегрируя уравнение (2.66) четыре раза, получим .
внутри круга радиуса г дает относительно луча ч) = — момент, равный г 2л Ж(г) = ~ ~ фг, 1р)гсоз)ргд~рй = 5 о г = 21 ~ 111 (г) г2 й., о (2.68) )2 Рис. 2лз Получим выражение момента Ж~ (г) в зависимости от прогиба 12)1. Для этого заменим в формуле (2.68) д1 (г) выражением из (2.66): г И)г) п))]т' — — — [т — ( — — )ы,))]~ )~. д(1~ д 1д о Интегрируя по частям, получим после несложных преобразо- ваний а~~ ~г: ж)г) -)) "— [ — — [ — — ),)]]. Йг ~ г Йг ~ г Й' (2.69) Эту же формулу для суммарного момента, воздействующего на часть пластины, можно получить, подсчитывая момент внутренних сил, действующих в цилиндрическом сечении радиуса г (рис. 2.19); (М1 соз | — М12з1п с~ — Я1г соз р) г саар. Подставляя М1= М1~1) соз <р; М12 = М12 <1) мп <р; ~1 = Я1)1) соз 1р, получим а)„= Ь.соз ч).
~д (г) пг [М1 (1) — М12 (1) — Я1 (1)г'1. ,замена моментов и сил их выражениями через 12)2 в соответствии с формулами (2,61) вновь приводит к равенству (2.69). В качестве примера рассмотрим расчет гибкого фланца, используемого для соединения- валов, допускающего их перекосы (риз. 2.20). Расчетная схема фланца представляет собой заделанную по внешнему контуру радиуса Я пластину с жестким центром радиуса а (рис. 2.21). Пластина деформируется вследствие поворота жесткого центра вокруг оси на некоторый малый угол 0 (Π— половина угла взаимного поворота валов).
При этом точки жесткого центра, лежащие на радиусе г, получают осевое пере- мещение Рис. 2.21 Рис. 2.20 и) ~, „= Оасозор. (2,70) Ввиду того что пластина жестко связана с центром, прн г = а — = о соыр. )2,7!) ди 1 доо)ц дг ~1=а дг о=а Выражения (2.70) и (2.71) представляют собой граничные условия, которым должен удовлетворять прогиб пластины при г = а. В заделке (г = Я) должны выполняться условия и),, = о; —,' ( - о. ди) (2.72) Так как распределенные нагрузки на пластину отсутствуют, требуется найти решение однородного дифференциального уравнения Р7'и) = О, удовлетворяющее условиям (2.70) — (2.72). Нетрудно видеть, что это решение имеет вид в = а))) (г) соз ~р, причем функция ы1 (г) должна удовлетворять условиям: при г = а ы)1 = Оа при г = 1т — =О.
йа)1 сЫ п)1=0; (2.73) В общем выражении (2.Б7) для функции г1), (г) сохраняются только слагаемые, соответствующие решению однородного уравнения, т. е. слагаемые с множителями С, (1 = 1, ..., 4). Вводя, безразмерный радиус р = г)а, представим выражение и1(р) в виде г1)1 (р) С,р'+ С,р 1п р+ С,р+ С,р '. (2.74) Прн дифференцировании этого выражения будем учитывать, что — = — — '. Определяя постоянные С, (1= 1, .;., 4) из Й61 1 да)1 дг а др Точки пластины, примыкающие к жесткому центру, переме. щаются на условий (2.73), найдем С,= —; С.,= — 2аО аг) т'+1 с,-,г(г г.
', '); с,,г ",', где гл =21(т2+1)1пт — т'+11 т= —. Я В результате получим ю г) ао ( (2 (ггг + 1) п1пр — Р' — (т~ — 1) р+и (г . (), г '- . ' ' '-'~ ~( » г(г где р= —; т= —. а' а' При этом прогиб пластины определяется формулой аг(», гр) = аг,(») созгр. Вычислим теперь величину приложенного к пластине момента ":,М, Подставляя в формулу (2.69) выражение (2.75) и учитывая, что г = ра, получим К (г) =  — р' — ~ — — ~ — — (рог,) ~ ~ = 0 — ( — 4С.,), рлр ар ИЛИ, Я уЧЕтоМ ПОСТОЯИНОИ С~г 4гг (иг — 1) / И(») 00 г(1) „,, ~т= — ~.
Так как распределенная нагрузка на пластину отсутствует, еуммарный момент не зависит от г и равен моменту, приложенному к жесткому центру. )Кесткость при изгибе соединения валов, показанного на рио. 2.20, составляет — =О 2гт 28 (и' + 1) 1и т — т2 + 1 ' По формулам (2.61) можно теперь подсчитать амплитудные значения изгибающих и крутящих моментов, а затем и напряжения в пластине.
Наибольшие напряжения возникают на внутреннем контуре пластины (г = а) при <р = О, г(, где гг)1 тг — 1 89 Л В качестве второго пример а рассмотрим расчет круглой равномерно нагруженной пл аУ стины, опирающейся на три точечные огюры, располо женные на внешнем контуре (рис. 2.22). Реакции точечных опор 1 Я ~пав з Е В разложении распределен- ной нагрузки в тригонометриРив. 2,22 ческий ряд присутствует только нулевой член, т. е. дб = — ~ = = сопз1.
Разложим в ряд Фурье и опорные реакции, которые должны равняться приведенной поперечной силе на внешнем контуре пластины Я1 (й). При разложении учтем, что периодом изменения нагрузки (а следовательно, и деформаций пластины) является . 2и угол —. Поэтому, располагая начало отсчета угла ф на луче, проходящем через опору, получим (Ю Я1 (Я) = ~~'.~ (~1 1д1 (Я) соз Аф; А=О, 3, б,... ряд содержит только алагаемые с 1б, кратными трем. На одном и и периоде — —., < ф ~ — ряд представляет собой сосредоточенную силу Я, которую можно записать а помощью 6-функции ширака, так как ) 91(й)йдф=_#_ при з- О.
Поэтому — в Я1 (й) = — 26(ф) = ,'~~ Д1 1в1(о) сов |гф, 1 М В=б, З, б„. Лля определения коэффициентов разложения Я1<б> Я) умножим левую и правую части равенства на соз )ф дф и проинтегрируем в пределах от — — до —,. При этом учтем, что ) 6 (ф) сов ) ф йр = 1, и при А, 1, кратных трем, ОО соз Ь~соз 1ф Ьр = О при 1+1 — при ) = й+ О; 3 2п — при 1= А=О. з В результате получаем 3 ! Ю((9)( ) = „— 2 ЧВ ф((,)ф) = — Я= — (1К (1=3, 6, „со). Итак, на контуре пластины должны выполняться граничные ус- ловия рр,/, р=ор р) ~, р=р(р(р .р ) р ррр).
1=3, 9, 9,... Разложение прогиба пластины в ряд Фурье будет иметь вид рр (() (Г, (!)) = (()„(Г) +,«~ (()~ (Г) соз Ь9, Й=З, б, 9,... где ир9 (Г) — прогиб симметрично нагруженной (д9 = — ()) пластины; (()~ — решения однородных задач при й = 3, 6, 9..., удовлетворяющие на внешнем контуре условиям М„„=О; О,"„,=да В гл, 1 было получено значение яуд С1~' (()9 = = — — + Сз(о). 64Р— 2 Из условия равенства нулю изгибающего момента М, ~, )! следует з+и дь' С,=— !+и (6Р ' Постоянную С9(9) оставим пока неопределенной. Таким обра- зом, ((), (Г) = — ~ à — Й Г ] + Сз (9) ° Ч Г 4 2(З+!)) 2 а1 64Р 1 (+р, Определим (в),, В общем решении (2.64) однородного уравнения ~)р 2+)р 2 рр (()д С) ()р)1 + С2 ()р)Г + С3 (ЩГ + С4 ()р)Г следует положить равными йулю коэффициенты С2(ь), С(((,), множители при которых имеют особенность при г- О.
Тогда (()), = С((),)Г~+ Сз()р)Г2+~. По формулам (2.61) находим (И„„=-ВИ1 — ! М() -1)С„, =-'+ + 1(й+ 2) (1(+ 1) — !((~' — й — 2)1 Сз(9)Г~); (~, !а! = 0 ((1 — р) 1,~ (!з — 1) С~ !а!г + +() +1)((1 — рР— 4)) С.„,. — ). Приравнивая при г = й И,<,! — О; О,*„! — дЯ, найдем дй4 ()а+ 1) [Ф+ 2 — р (й — 2)) Р 2(! — р)(З+р))а()а — !) ЧДа (1 — р) А (й — 1) —. (2.(й! Р 2(1-р)(З+р)!а(! -!) Л' Сз<з!— В результате получаем следующее общее выражение для и: (г, <р): ф~' в1', Ч) =С (з!+ 4Р 4 ( +р) а 1+р ()а+1) 1(а+2 — р (А — 2))р — (1 — р) )г(!а — 1) р + 2 (1 — р) (3+ р) И (!!а — 1) соз Аср +64 Ф=з, з, 9 Г где р = —.
И ' 2 (3-)- р) 54 2(+1+ р~ + (! р) (З ( „) ~'~ )~а ()~а 1)~ А=з, б, 9,,. Сз<о! =— ~ф~ б4Р или, после вычисления суммы, г5+ р 1 ") ~ф' Сз(з! =ю~~=О= ~! + (! ) з+ ) (7,28+0,96)а)~ 64Р ' Первое слагаемое в квадратных скобках соответствует прогибу пластины, опертой по всему контуру, второе слагаемое — дополнительному прогибу за счет наличия лишь точечных опор, При р = 0,3 прогиб пластины на трех опорах в 1,8 раза больше прогиба пластины, опертой по всему контуру, и составляет 0,116ч Расчет круглых пластин, нагруженных сосредоточенными силами, можно проводить путем представления сосредоточенной Нетрудно видеть, что постоянная Сз ри представляет собой прогиб в центре пластины.
Эту величину найдем из условия ра- 2 . венства нулю прогиба на опорах, т. е. при г = )т, !р = О, — зт, 4 — зт: з Рис. 2,23 Рис. 2,24 силы Р, приложенной в точке гр, гр,„в виде распределенной нагрузки Р д(г, ~р) = — 6(г — гр) 6(~р — гр,,), Гн разложение которой в тригонометрический ряд имеет вид Р ~(г, ~р) = — 6 (г — га) ~ — -)-,)~~ соз lг (ср — гр~) шя 2 Далее, также в форме тригонометрических рядов (2.57), отыскиваем соответствующее этой нагрузке решение уравнения изгиба пластины. Такой путь решения приводит к быстро сходящимся рядам для прогибов, однако ряды для изгибающих и крутящих моментов не сходятся с достаточной быстротой. Поэтому представляют особый интерес решения задачи в замкнутой форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
