Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Ь(тяп р) = Л/№ или асов рАу = = Л/№ откуда. Ьр = Л/Хд соэ р. При не очень больших углах дифракции (сов ~от 1), что соответствует обычно не очень большим порядкам дифракции (небольшим т), резкость главных максимумов не зависит от порядка спектра и равна Ьр = Л/Хд.
Из этой формулы следует, что резкость главных максимумов тем больше, чем больше ХИ, т.е. чем больше общая ширина решетки. При заданном периоде решетки а рез- щ=- 3 2 1 0 1 2 3 у кость главных максимумов возрастает (Ьр уменьшается) с ростом числа штрихов № Рисунок 9.17 наглядно показывает уменьшение ширины главных мак- 4 симумов (увеличение их резкости) по мере роста № В хороших решетках 1У достигает 10, благодаря чему спектр, изображаемый такой решеткой, состоит из очень резких линий, если источ- 6 ник испускает достаточно монохроматичегкое излучение.
10 Расстояние между главными максимумами для определенной длины волны Л определяется периодом решетки д, а распределение интенсивности между отдельными максимумами зависит от соотношения между 6 и д. Рис. 9.17. Изменение характера В том случае, когда 6 и а' соизмеримы, лифракционного спектра в завинекоторые главные максимумы будут симости от числа щелей Х (нега- отсутствовать. Так, при д = 26 про- тив) падают все четные максимумы, причем, конечно, соответствующим образом усиливаются нечетные. При а = 36 исчезает каждый третий максимум и тд. Общая формула, передающая распределение амплитуд дифрагировавших волн в зависимости от угла р, гласит 1~.
Бш о Б1п ЮД (46.1) аяша где а = (к6/Л) яп р, ~3 = (Ы/Л) яп ~р, Х вЂ” число щелей и Ао — амплитуда, задаваемая одной щелью в направлении первичного пучка р = О. 184 диенАкция свнтА Формула (46.1) получается без труда, если суммировать действия отдельных щелей, принимая во внимание возникающую разность фаз Б1п о (см. упражнение 74). Множитель Ао выражает действие одной вш %13 щели, а множитель .
— интерференцию волн„распространяющих- в1п Д ся через Х щелей. Положение главных максимумов, определяемое из условия д з1п р = гпЛ, соответствует максимальным значениям множи- а1п Х,З теля . ', который при этом обращается в Х (см, упражнение 75). в1п ~3 Таким образом, в главных максимумах амплитуда в Х раз, а интенсивность в Л'~ раз больше, чем дает в соответствующем направлении одна щель. Если бы интерферировали волны, прошедшие через Х некогерентпно освещенных щелей, то интенсивность возросла бы только в Х раз, т.е.
была бы в Х раз меньше, чем при интерференции когерентных пучков, обусловленных решеткой. Кроме того, в случае решетки отдельные яркие главные максимумы разделены темными областями, а при Х некогерентно освещенных щелях мы имели бы — 1-й 0-й 1-й 2-й максимум — 2-й максимум Рис. 9.18. К теории дифракционной решетки. Положение главных максимумов и распределение энергии по различным порядкам в щелевой решетке. Штриховая кривая передает ход множителя 1'(а), выражающего распределение, обусловленное дифракпией на отдельной щели. Если б)) Л, то До) = = а1п а/о. В противном случае 1(а) оказывается несколько иной функцией (см.
конец З 39). При большм числе щелей Ж высоты главных максимумов значительно больше, чем указывает штриховая кривая Х-кратное наложение сравнительно широкой дифракционной картины от одной щели (ср. со штриховой кривой рис. 9.11, где Х = 2). Формула (46.1) показывает, что в выражение для распределения амплитудьт входит множитель Ао в1па/а, даюгций распределение, обусловленное одной щелью. Следовательно, при дифракции на решетке, 185 ГЛ. !Х. ДИФРАКЦИЯ Б !!А!'А.1!.1!ЕЛЬНЫХ ЛУЧАХ так же как и при дифракции от двух щелей, почти весь свет сосредоточен в области центрального максимума, обусловленного одной щелью.
Так как ширина щели о обычно очень мала, то зтот центральный максимум с угловой шириной, равной 2Л/Ь, довольно широк, и на его протяжении укладывается несколько главных максимумов решетки, соответствующих нескольким порядкам (рис. 9.18). На рис. 9.18 по оси аосцисс отложен угол дифракции р, и отчетливо видна незквидистантность главньпс максимумов. Иногда, например, при теоретическом анализе удобнее в качестве независимой переменной выбрать з!и р. При этом главные максимумы оказываются эквидистантными. Приведем графики функций ((з!и Х,З)/1У яп р)2 (рис. 9.19а), [(а!па)/а]2 (рис.
9.196) и их произведения (рис. 9.19в). ЗА яп!р яп <р Рис. 9.19. К теории дифракционной реп!етки: а — график функции '!(в!и%/1/Хв!пЯ, описывающей интерференцию света от Ж щелей, /1 = = (~гсК/Л) яп у; б график функции /~(а) = !(йп а)/а], ск = (~гЬ/Л) яп у; в произведение графиков а и б Из формулы (46.1) нетрудно определить распределение интенсивности по главным максимумам. Действительно, находя из соотношения с!яви = тЛ значение з!п~р, соответствующее направлению на тп-й! (главный) максимум, подставляем эту. величину в формулу (46.1) и возводим в квадрат; тогда А2 АО~~ и вш (я!вп/с!) АО-~ и, 2 ятнп вш, (46.2) 186 ДИФРАКЦИЯ СВНТА причем 6 < и'. При соизмеримых 6 и д величина э1п (тбгп/д) проходит через нуль при некоторых значениях ш. Спектры соответствующих порядков отсутствуют.
Ниже приводятся данные о распределении интенсивности по максимумам разных порядков для разных соотношений между 6 и д, причем интенсивность нулевого порядка принята за 100. Положение главных максимумов можно определить путем элементарного рассмотрения явлений на дифракционной решетке, аналогично тому, как это сделано для одной щели (см. 8' 39). Условие для положения главных максимумов дв1п р = ш.Л, где ти = О, 1, 2,..., можно вывести из рис. 9.18. Это элементарное рассмотрение не дает, однако. необходимых сведений относительно распределения энергии в дифракционной картине, в частности, оставляет без ответа важный вопрос о роли числа штрихов решетки.
Для некоторых вопросов, впрочем, такое рассмотрение вполне достаточно. Так, например, из условия о',яви = тЛ следует, что спектры порядка, большего, чем д/Л, не могут иметь места (о физическом смысле этого см. в упражнении 77). Рассмотрение действия дифракционной решетки показывает, что при большом числе щелей свет, прошедший через решетку, собирается в отдельных, резко очерченных участках экрана.
Положение максимумов на этих участках, определяемое формулой дв1пд = тЛ, зависит от длины волны Л. Другими словами, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Чем меньше длина волны Л, тем меньшему зн лению угла д соответствует положение максимума. Таким образом, белый свет растягивается в спектр так, что внутренний край его окрашен в фиолетовый цвет, а наружный в красный (рис. 9.20). Значение хв = 0 определяет максимум по направлению р = 0 для всех значений Л. Следовательно, в этом направлении (направление первичного пучка) собирается излучение всех длин волн, т.е.
нулевой спектр представляет собой белое изображение источника. Спектры первого, второго и т.д. порядков располагаются симметрично по обе стороны нулевого. Расстояние между соответствующими линиями спектров возрастает по мере увеличения порядка спектров. В зависимости от спектральной однородности анализируемого света, т.е. различия крайних длин волн, его составляющих, спектры высших порядков начиналот накладываться друг на друга. Так, для солнечного света., даже есчи ограничиться лишь видимой частью его излучения, спектры второго и третьего порядков частично перекрывают друг друга (см. упражнение 82). Применяя решетки с малым периодом и пользуясь спектрами высших порядков, мы можем получить значительные углы дифракции и таким образом очень точно изме- ГЛ. 1Х.
ДИФРАКЦИЯ Б 11АПА.1!.11ИЛЬНЫХ ЛУЧАХ рить длины волн. Измерения Ангстрема (1868 г.) и, особенно, Роулзнда (1888 г.) привели к составлению превосходных атласов солнечного спектра„положения фраунгоферовых линий которого измерены с точностью до шестого десятичного знака. Несмотря на высокое совершенство изготовления современных решеток, в них нередко наблюдаются некоторые незначительные искажения единого строго выраженного на всем протяжении решетки К ФКФ ФКФ К о Т 7 ! !! 1~ 1! 11 и е и и и н Рис. 9.20. Разложение белого света дифракционной реп1еткой. Красный конец спектра второго порядка перекрывается фиолетовым концом спектра третьего порядка периода, существование которого мы предполагали при нашем рассмотрении.
Это влечет за собой отступление от того распределения интенсивности по главным максимумам, которое приведено в формуле (46.2). Сверх того, указанные нарушения влекут за собой появление добавочных максимумов, обычно не сильных 1так называемых «духов»), Появление «духов» нередко приводит к ошибкам при анализе спектра дифракционной решеткой, ибо максимум, соответствую1ций «духу», можно принять за присутствие какой-то добавочной спектральной линии, в анализируемом спектре в действительности не имеющейся. й 47.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
