Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 42
Текст из файла (страница 42)
1Х. ДИФРАКЦИЯ В 11АРАЛЛИЛЬНЫХ ЛУЧАХ 171 Рассмотрим сначала дифракционные явления Фраунгофера. В этом случае множитель 1/г в (43.1) можно считать постоянным, равным 1/~, и вынести его из-под знака интеграла, полагая г ж ~. Величину г в аргументе косинуса можно заменить приближенным выра.— жением хх +ур г- го— Л ' где го — — ОМ, Тогда интегрирование в (43.1) приводит к результату в= 2 ' ' е*р [ — ", (х'";р'1)со. (~й — В~о) (433) Соотношение (43.3) гласит, что дифрагировавшая волна является сферической волной (фаза постоянна на поверхности го — — сопв1), а распределение амплитуды по волновому фронту обладает осевой симметрией и также определяется гауссовой функцией — (43.4) причем ее ширина ю оказывается равной 1 Л и~ = — = — — г, йьоо л. 2ьоо или в угловой мере (о 1 1 Л (43.5) Й'(оо к 2(оо Таким образом, главная часть энергии дифрагировавшей волны сосредоточена в интервале углов, определяемом отношением длины волны Л к ширине распределения шо в плоскости ЕЕ.
Следовательно, основной закон дифракционных явлений Фраунгофера, установленный в ~ 41, 42 на примере дифракции на щели и прямоугольном отверстии, выполняется и в данном случае. При количественном сопоставлении соотношения (43.5) с его аналогом в случае дифракции на квадратном отверстии Л 2Ь ширину щели б следует сопоставлять с 2ко, т.е. угловая гпирина дифракционного максимума при гауссовом распределении амплитуд оказывается в т/2 раз меньше, чем в случае прямоугольного распределения, Дифракционная картина, описываемая формулой (43.4), характеризуется монотонным уменыпением интенсивности при увеличении угла дифракции от нулевого значения, т.е. отсутствием осцилляций и линий нулевой интенсивности (окружности при круглом отверстии и прямых линий при квадратном), а также быстрым спаданием интенсивности в «крь1льях».
Все эти качества очень полезны в оптических приборах, и иногда специально вводят на периферийных участках плоскости ЕЕ искусственное ослабление волны (так называемая аподизацоя). 172 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА Замечательная особенность рассматриваемого случая состоит в том, что гауссово распределение амплитуды имеет место не только в плоскости Е.Е (~ = 0) и в зоне Фраунгофера (я >> и,'о/Л), но и при всех промежуточных расстояниях между .Е.Е и точкой наблюдения М. Именно, расчет показывает, что при произвольных ~ выполняется соотношение (см. упражнение 72) 2 г г 2,2 г ( ~~о) и = о1-~ — ~, В=г+ ФКа = —,. Ьоо Ь"о Величина ю есть, очевидно, и|ирина гауссова распределения интенсивности поля на расстоянии ~ от экрана ЕЕ. Согласно соотношению (43.6) квадрат ширины распределения на расстоянии г равен сумме квадрата исходной ширины (итог) и квадрата ширины г/Ьво, подсчитываемой по формуле для дифракции Фраунгофера (ср.
(43.5)). При г — ~ оо (практически при г >> Ьаог —— 2ггвог/Л) величина ю стремится к значению ~/Ьво, характерному для фраунгоферовой дифракции. При малых г (т.е. г « Ьвг) ширина и~ переходит в гоо. Изменение ширины распределения интенсивности при удалении от плоскости Е.Е показано на рис. 9.8 а, где штриховые линии (гиперболы) иллюстрируют увеличение ширины и ее асимптотическое приближение к фраунгоферовскому значению г/Ьоо (штрихпунктирные линии); расстояние г = Ьво — — 2 тког/Л условно можно принять за границу между областями френелевой и фраунгоферовой дифракционных картин.
При г = йвг, ширина ш отличается от и~о в ~/2 раз. Фаза волны, определяемая соотношением (43.6), сохраняет постоянное значение на поверхности, которая описывается уравнением ~ + = сонэк. х +р 2В При малых значениях х~ + дг это уравнение задает сферу, и величина В, следовательно, играет роль радиуса кривизны сферического волнового фронта. Если г » Ьоог, то В- г, что соответствует дифракции ФРаУнгофеРа. Ксли г « Ьвог (дифРакции ФРенелЯ), то  — (Ьвог)г/г и при г -+ 0 волновой фронт переходит в плоский. Минимальное значение радиуса кривизны В„„„= 2Ьег достигается при г = Ьоо, т.е.
на границе между областями френелевой и фраунгоферовой картин. Зафиксируем расстояние г и в соответствии с правилами, изложенными в ~ 33, 34, построим зоны Френеля в плоскости .Е.Е. Радиус пг-й зоны Френеля дается выражением г = 2яв — =уЛгуд, т=1 2,... Если положить здесь г = Ьвог, то для этого расстояния г = ~/лгт, ъ' 2 ыо, 1'Л. 1Х. ДИФРАКЦИЯ В 11АРАЛ11ЕЛЬ11ЫХ ЛУЧАХ т.е. первая зона Френеля имеет радиус, в /т раз ббльший ширины распределения амплитуды в плоскости ЕЕ, равной у'2 и~о. При еще большем удалении от плоскости ЕЕ область концентрации поля также будет иметь размеры, значительно меньшие радиуса первой зоны Френеля. Указанное соотношение между г1 и 1го и составляет основной признак дифракции Фраунгофера.
Наоборот; приближение точки к плоскости ЕЕ приводит к уменьшению радиусов зоны Френеля заДанного поРЯДка т, т.е. пРи г (( Йшо на 1пиРине РаспРеДелениЯ ам- 2 плитуд у 2ь~н укладывается много зон Френеля (примерно Ьго/я ), 2 и распространение волны вправо от плоскости ЕЕ можно рассматривать по методу Френеля (см.
~ 33). Как и в предельном случае дифракции Фраунгофера, в области малых значений г., отвечающих дифракции Френеля, при гауссовом распределении амплитуд не наблюдается осцилляций интенсивности, характерных для дифракции на отверстиях, выделяющих из волнового фронта участок с приблизительно равными амплитудами (см. ~ 36, 37). Это различие связано, конечно, с постепенностью уменьшения амплитуды поля при удалении от точки О, а отнюдь не с конкретным (гауссовым) законом этого уменьшения, который использовался в вычислениях.
Действительно, рассмотрим случай очень малых г, когда радиус отверстия в экране значительно больше радиуса первой зоны Френеля, и расположим точку М вблизи границы геометрической тени. Тогда можно, очевидно, рассчитывать возмущение в точке М, не учитывая вторичных волн, приходящих от противоположного края отверстия, т.е. пользоваться результатами анализа дифракции на экране с прямолинейным краем (см. ~ 36, 37).
Колебания интенсивности в дифракционной картине, изобра>кенной1 на рис. 8.20, возникали в результате того, что по мере удаления точки набл1одения от края экрана в игру последовательно вступали четные и нечетные зоны (точнее, лунки) Френеля; приходятцие от них волны отличаются по фазе на величину (ги — 1)г от фазы волны первой зоны Френеля, т.е. четные зоны приводят к уменьп1ению освещенности в точке наблюдения, а нечетные — к ее увеличению (минимумы и максимумы на рис. 8.20).
При этом существенно, что амплитуды волн от последовательных зон, хотя и изменяются с возрастанием номера т, но очень медленно. Если же экран с отверстием отсутствует, а поле в плоскости ЕЕ (см. рис. 9.8 а) изменяется вдоль оси От, то смещение точки М, например, к оси О~, сопровождается не только приходом в нее волны от новой зоны Френеля,но и увеличением амплитуд волн от зон Френеля меньших номеров и прежде всего от первой зоны Френеля, расположенной против точки М. В результате влияние второго фактора оказывается сильнее влияния первого. и освещенность в точке М изменяется монотонно.
Таким образом, возникновение дифракционных полос вблизи границы геометричесйой тени характерно только в случае ограш1чения сечения волнового фронта непрозрачным экраном с отверстием. Б случае же постепенного уменыпения амплитуды колебаний, что тоже эквивалентно некоторому эффективному ограничению волнового фронта, дифракционные явления приводят только к расширению по- диФРАкция свнтА перечного сечения пучка, а тередования областей с болыпими и меньшими значениями освещенности не наблюдается. Это хорошо видно на фотографиях (рис.
9.8 6; в, г), полученных с помощью гелий-неонного лазера при последовательном смещении плоскости наблюдения. Фотография рис. 9.8 д получена после ограничения пучка в плоскости ЕЕ щелью из лезвий бритв, в результате чего появились характерные дифракционные полосы (ср. рис. 9.7 а). Пример гауссова пучка служит прекрасной иллюстрацией к диффузионной интерпретации дифракционных явлений, изложенной в ~ 38. Согласно этой интерпретации, дифракцию можно рассматривать как результат диффузии амплитуды поля вдоль волнового фронта по мере его распространения в среде.
Картина дифракционного расширения гауссова пучка, изображенная на рис. 9.8, действительно копирует пространственное распределение плотности диффундирующих частиц, если последовательным положениям волнового фронта сопоставить последовательные моменты времени после начала диффузии. Точное решение дифракционной задачи, изложенное выше, можно использовать для уточнения постулата Френеля (см.
~ 38). Положим в формуле (43.6) з = О; тогда будем иметь 2т а = — аеехр ~ —; ( соя р (43.7) й Вместе с тем, при ~ = 0 возмущение а должно принимать значение, отвечающее волне, приходящей слева на плоскость ЕЕ, т.е. а = аа ехр ~ — ( сов м1. / х +Р (43.8) 2'"'а Из сопоставления последних двух выражений видно, что амплитуда ае вторичных волн, испускаемых элементом дх' ду' плоскости ЕЕ, связана с амплитудой эе световых колебаний в этой плоскости соотношением й 1 по = — аа = — ао. (43.9) 2т Л Кроме того, наличие фазового сдвига, равного т/2, указывает на сдвиг фазы между колебаниями в реальной световой волне и во вторичных волнах Френеля.
Поэтому в соответствии с выводом, полученным в ~ 38 с помощью рассмотрения векторной диаграммы, источникам вторичных волн следует приписывать фазу, увеличенную на т/2 по сравнению с фазой световых колебаний, т.е. ввести член т/2 в аргумент косинуса в выражении (43.1), При расчете дифракционной картины в качестве исходного распределения поля использовалось распределение в плоскости ЕЕ, где волновой фронт плоский, а ширина распределения минимальная. Разумеется, за исходное или заданное можно принять распределение поля в любой плоскости, и вычисления световых колебаний во всем пространстве должны привести к прежним результатам. Из сказанного вытекает важный вывод: если в каком-либо месте волновой фронт сферический и распределение амплитуды поля имеет вид гауссовой кривой, то эти свойства сохраняются во всем пространстве, а изме- ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
