Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Дифракция на щели: гра- фическое вычисление результирую- щей амплитуды для разных направ- лений Рис. 9.2. Дифракция на щели: к аналитическому вычислению ре- зультирующей амплитуды ЕХ~ = 6з1п р = Л/2, где о — ширина щели ЕЕ. Результирующая амплитуда выражается вектором 8 = 2Ае/я, ибо в равно диаметру полу- окружности, длина которой равна Ае. Диаграмма рис. 9.1 в соответствует разности хода лучей от крайних элементов волнового фронта, 11 ) При косом падении фазы в разных точках поверхности шели не были бы одинаковыми. а изменялись бы по простому закону.
Вычисление в этом случа,е не представит большого труда. наших элементарных волн будут одинаковы, ибо выбранные элементы имеют равные площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения. Эти два обстоятельства — равенство фаз ) и равенство ампли- 1~ туд — чрезвычайно упрощают как графическое, так и аналитическое решение рассматриваемой задачи. Графически результат сложения амплитуд для любой точки экрана можно представить векторными диаграммами рис. 9.1. Диаграмма рис. 9.1 а соответствует совпадению направления наблюдения и первоначального направления волны (,р = О), при котором элементарные волны не приобретают никакой разности фаз. Результирующая амплитуда я = Ао.
Диаграмма рис. 9.1 6 соответствует направлению, при котором крайние элементы волнового фронта в пределах щели дают разность фаз, равную л, т.е. разность хода, равную Л/2. Из рис. 9.2 видно, что это направление соответствует условию ГЛ. 1Х. ДИФРАКЦИЯ Б !1А!'Аз!ЛЕЛЬНЫХ,~!УЧАХ равной Л, т.е. соответствует направлению. определяемому условием башат = Л. Результирующая амплитуда равна нулю, т.е. в указанном направлении света не будет.
Нетрудно видеть, что нулевая амплитуда будет соответствовать также направлению, при котором разность хода от крайних элементов будет равна 2Л: следующий минимум соответствует разности хода ЗЛ и т.д., т.е. минимумы соответствуют направлениям Л 2Л пЛ В1П~Р =— 7 Ь Р '''7 Ь 7 где п — целое число. Для аналитического расчета. интенсивности света, распространяющегося по разным направлениям за щелью, напишем вьгражение для волны, посылаемой каждым элементом волнового фронта, и просуммируем действие всех элементов.
Амплитуда волны, обусловленной одним таким элементом, пропорциональна его ширине !Хх, т.е. равна С дх. Множитель С определится из условия, что по направлению у = = О амплитуда волны, посылаемой всей щелью, равна Ао, т.е. СЬ = Ао или С = Ао/Ь. Таким образом, световое возмущение в соответствующем участке щели выразится соотношением Ао дв = — !!х сов м1. Ь Для отыскания действия всей щели в направлении, определяемом углом р с первоначальным направлением, необходимо учесть разность фаз, характеризующую волны, доходящие от различнь!х элементов волнового фронта до пункта наблюдения В, (см. рис.
9.2). Проведем плоскость Г0,перпендикулярную к направлению нормалей дифрагировавших волн. Распределение фаз, которое будет иметь место на.этой плоскости, определяет соотношение фаз элементарных волн, собирающихся в точке В~, ибо линза не вносит дополнительной разности фаз (таутохронизм, см. ~ 20). Таким образом, достаточно определить разность хода, возникающую на пути от плоскости ГЕ до плоскости ГХ). Из рис. 9.2 видно, что разность хода между волнами, идущими от элементарной зоны нри точке Г (край щели) и от какой-либо точки Ж (лежащей на расстоянии х от края щели), есть 11!Р = хйпу.
Световое возмущение в точке Р плоскости ГХ) запишется следующим образом: 118 = ' Йх сов(ий — Йхв1п1р), (39.1) где й = 2я /Л вЂ” волновое число. Результирующее возмущение в точке В~ определится как сумма этих выражений, т.е. выразится интегралом по всей ширине щели (по всем значениям х от нуля до Ь). Итак, Ь в = ~ дв = ! — сов(оЛ вЂ” Йхв!пу) дх = Ао Ь О = А~ ~~,г ~ ~~ 1 сон !ий — — г~пр) . (39.2) (Ьй в!и у)/2 !. 2 б Г.С.
Ландеберг 162 диФРАкция свытА Таким образом, результирующая волна. идущая в наГГравл,еннга д, имеет амплитуду яп [(ЬА яп у)/2) яп [(ЬГГ/Л) яп У] (39 3) д о (Ь . )/2 о (Ь„/Л) яп~ так как й = 2л/Л. Во многих практических случаях, в частности при наблюдении в трубу, угол ~р настолько мал, что можно положить яппи ж ~р, и тогда получим Ао яп (Ь~гу/Л) (39.3') 67ГФ/Л Выражение (39.3') показывает, что вдоль экрана (с изменением ~р) освещенность меняется, проходя через максимумы и минимумы. Исследуем выражение (39.3).
А„обращается в нуль для углов ~р, удовлетворяющих условию (Ь~г/Л) яп у = тг, где и = 1, 2, 3,... (целые числа), т.е. для я1пф = —. нЛ Ь (39.4) Условие (39.4) определяет направления на точки экрана (и соответственно их положения), в которых амплитуда равна нулю и, следовательно, интенсивность минимальна.
Оно совпадает с условием, выведенным выше графическим путем. При определенньгх промежуточных значениях угла ~р амплитуда достигает максимальных и минимальных значений. Наибольший максимум имеет место, когда Ь7à — вш р = О, т. е. у = О, при этом А,, = Ао. Следующие максимумы, значительно уступающие по абсолютной величине главному, соответствуют значениям у, определенным из условий Ьг 67Г 61г — яви = 1,43гг„— яп ~р = 2,46ГГ, — вш р = 3,47ГГ, — яви = 4,47ГГ и т.д. Ь~г (39.5) (см. упражнение 68). На рис. 9.3 показана кривая распределения интенсивности (сплошная кривая) яп [(Ьт/Л) яп Д (39.6) [(Ьзг/Л) яп Д2 где Хо — — Ао есть интенсивность света, идущего от щели шириной Ь в 2 направлении первичного пучка..
Как видно из рис. 9.3, величина вторичных максимумов быстро убывает. Числовые значения интенсивностей главного и следук)щего максимумов относятся как 1: 0,045: 0,016 и тд.; приближенно эти отношения можно выразить в виде 1: —: 4 4 9т~ 25~Г~ ГЛ. 1Х. ДИФРАКЦИЯ Б 11АРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛУЧАХ Из установленных в настоящем параграфе формут1 ясно, что положение минимумов и максимумов зависит от длины волны Л.
Поэтому дифракционная картина. имеет описанный вид лишь для вполне моно- хроматического света. В случае белого света мы имеем совокупность соответствующих картин для разных цветов (сдвинутых одна относительно другой в соответствии с различием в Л). Центральный максимум (у = О) будет; конечно, общим для всех длин волн, так что центр дифракционной картины представится в виде белой полоски, переходящей в цветную каемку. Вторичные максимумы для разных длин волн уже не совпадают между собой: ближе к центру располагаются максимумы, соответствующие более коротким 4Х вЂ” ЗЛ 2Х' / Л 0 Л~ ~2Л ЗХ вЂ” 4Л Ь Ь Ь Ь Ь Ь Ь Ь Рис.
9.3. Зависимость интенсивности (сплошная кривая) и амплитуды (штриховая кривая) от направления дифракции па щели волнам. Длинноволновые максимумы отстоят друг от друга дальше, чем коротково.-1новые. Однако максимумы эти настолько расплывча; ты, что никакого сколько-нибудь отчетливого разделения различных длин волн (спектрального разложения) при помогци дифракции на одной щели получить нельзя. Все подробности картины можно выяснить, пользуясь формулой (39.6) или рис. 9.3. При разборе задачи о дифракции на щели мы допускали, что по всей ширине щели амплитуда и фаза вторичных волн одинаковы. Другими словами, мы пренебрегали искажающим влиянием краев щели, что допустимо, если ширина щели Ь значительно больше длины волны (Ь>> Л).
Таким образом, мы оставались в области применимости принципа Френеля--Кирхгофа, и наше ретпение имеет силу именно при этих условиях. Однако на практике нередко приходится иметь дело с дифракцией на 1целях, ширина которых сравнима с длиной волны. В частности, современные дифракционные решетки (см. 9 45) представляют совокупность щелей шириной в 1 — 2 мкм, т;е. сравнимых с длиной волны. Возникает вопрос, в какой мере метод Френеля — Кирхгофа пригоден в этих случаях? Для предельного случая ширины щели, малой по сравнению с длиной волны (Ь « Л), удалось дать строгое решение задачи„не пользуясь 1ипотезой Френеля — Кирхгофа (Рэлей, яш (Ь~гу/Л) 1897 г.).
В этом случае для амплитуды вместо фактора ' Ьяр/Л диФРАкция свитА получается иное выражение (через функции Бесселя), имеющее в общем ход, подобный изображенному на рис. 9.3, но несколько круче спадающий по мере роста у и отличающийся в максимуме в Ь>г~/4Л раз от значения, даваемого формулой (39.3).
Так, при Ь = Л/10 максимальная амплитуда оказывается в 4 раза меньше, чем по теории Кирхгофа. Для промежуточных случаев, когда ширина |цели сравнима с длиной волны, обгций ход решения, очевидно, будет еще больше приближаться к решению по теории Кирхгофа. Действительно, выполненный Морзе и Рубинштейном (1938 г;) расчет показывает, что при щелях шириной около Л и больше приближение Кирхгофа может считаться достаточно удовлетворительным. Таким образом, даже для наиболее тонких современных дифракционных решеток пользование методом Кирхгофа не ведет к заметным ошибкам.
8 40. Влияние ширины щели на дифракционную картину Как показывает формула (39.4), расстояние минимумов от центра картины возрастает с уменьшением Ь. Таким образом, с уменьшением ширины щели центральная светлая полоса расширяетпся, захватывая все 2 ~ 1 2 Ооьш~ю б~~ы~ую об~ась ~~ра а, Если Ь = Л, то р1 — — 90', те. первый минимум соответствует углу 90', следовательно, он сдвинут на бесконечно удаленный край экрана. Освещенность экрана падает от центра к краям постепенно, асимптотически прибли>каясь к нулю; ширина центральной светлой полосы возрастает беспредельно.
Таким образом. с уменыпением Ь освещенность стреРис. 9.4. Дифракпия на шели; митсЯ стать Равномерной по всему влияние ширины щели на рас- экрану (Рис 94). предсленис иптспсивностич кри- Наоборот, при увеличении ширивая 1 — узкая щель; кривая ь ны |цели положение первых минимуширокая щель мов придвигается все ближе и ближе к центру картины, так что центральный максимум становится все резче и резче.
При этом„как следует из (39.6), относительная интенсивность максимума остается неизменной; абсолютная >ке величина его возрастает, ибо возрастает энергия, проходягцая через уширенную щель. При очень широкой щели (по сравнению с Л) мы получаем в центре резкое изображение линейного источника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
