Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 41
Текст из файла (страница 41)
5 41. Влияние размеров источника света Во всяком реальном опыте источник имеет конечные размеры. Допустим, что угловой размер источника равен 2а. Это значит, что если мы производим опыт с удаленным источником (звезда, Солнце), то ГЛ. 1Х. ДИФРАКЦИЯ Б 11АНАЛ.11КЛЬНЫХ ЛУЧАХ 2а есть угловой размер его, наблюдаемый из точки, расположенной в центре щели Я (рис. 9.5 а); если наблюдение ведется с помоп1ью коллиматора, то 2ег есть угловой размер источника, наблюдаемого из центра коллиматорной линзы г (рис.
9.5б). И в том, и в другом случае источник можно рассматривать как совокупность некоге- АСВ рентных и практически точечных источников, посыла1ощих плоские волны, фронты которых наклонены в пределах угла 2гг. Эти источи и Е ники дадут ряд одинаковых дифракционных картин, смещенных Е Е друг относительно друга н пределах угла 2о (для простоты считаем отдельные источники одинаково яркими). -гг -~-гх -и +и На рис. 9.5 показаны положения главных максимумов от кра; ев источника, которые располагаются по обе стороны главного Е Е Е Е максимума от центральной С точ- -Нф П а 91~- ки нашего источника на угловых П расстояниях ~ег. Промежуточные точки источника дают максиму- Рис.
9.5. Дифракция на щели; мы, располагающиеся между А и влияние размеров источника: 2о— В. Если щель широкая, так что угловая ширина, источника; 2р р = Л/о значительно меньше а, = 2Л/Ь - ширина ценгрального то изображение источника геомет- дифракционного макимума; а рически почти подобно источнику источник АВ расположен в боскои лишь по краям окаймлено ела.- вечности; 6 — источник расположен быми дифракционными полосами в главной фокальной плоскости (вторичные максимумы). По ме- коллиматорной линзы Х, ре уменыпения ширины щели у увеличивается, приближаясь к 1г.
Изображение источника становится более расплывчатым, и дифракционное уширение составляет все бблыпую и ббльшую часть геометрической ширины изображения. При очень узкой щели, т.е. при ~р, значительно большем гг, дифракционное уширение становится значительно больше, чем геометрическая ширина изображения, так что наблюдаемая картина мало отличается от картины, даваемой точечным источником. Дифракционные картины, наблюдаемые в этих случаях, показаны на рис.
9.6. При р )) а штриховая кривая, представляющая картину точечного источника, будет практически сливаться со сплошной кривой, дающей картину от источника шириной 2а. Влияние размеров источника. света на дифракционную картину можно выяснить иным способом, основанным на представ.ленни о частичной пространственной когерентности излучения (см. 9 22). Рассмотрим когерентность света в плоскости щели Я (см. рис. 9.5), обусловленную действием всего протяженного источника. Согласно сказанному в 9 22 область когерентпости в указанной плоскости име- ДИФРАКЦИЯ СВНТА ет размер 21„„= Л/2а, где 2о — угловые размеры источника.
Если 21 ~, )) Ь, то все точки щели почти полностью когерентны, и картина в плоскости зкрана ЕЕ будет практически совпадать с картиной, наблюдаемой при дифракции света от точечного источника (рис. 9,6 6). Рис. 9.6. Дифракция при угловой ширине источника 2а на щели шириной Ь: сплошная кривая — изображение источника, штриховая — изображение точки, расположенной в центре источника„а — широкая щель, р = Л/Ь < а; б — более узкая щель, у = Л/Ь = о; в — узкая щель, у = Л/Ь > о В противоположном предельном случае 21 ~, <( Ь когерентными оказываются точки щели, удаленные друг от друга на расстояние, малое в сравнении с ее шириной Ь.
Позтому ширина изображения будет определяться дифракцией света как бы на щели с шириной 21„~, и в угловой мере окажется равной Л/21 „= 2а, т.е. будет совпадать с угловыми размерами источника (рис. 9.6 а). Таким образом, применение понятия частичной пространственной когерентности света приводит нас к уже полученным выводам, что было, разумеется, заранее очевидно. ГО1, 1Х. ДИФРАКЦИЯ В 11А1'АЛЛКЛЬИЫХ ЛУЧАХ 167 ~ 42.
Дифракция от прямоугольного и круглого отверстий Если щель имеет ограниченную длину 1, т.е. представляет собой прямоугольник со сторонами 6 и 1, то, очевидно, и в направлении длины щели будет наблюдаться дифракционная картина. Общий вид, получаемый в этом случае, изображен на рис. 9.7 а. Форма отверстия показана маленьким белым прямоугольником в правом углу фотографии; источником света служит маленькая ярко освещенная дырочка (точечный источник), расположенная в фокусе большой линзы. Согласно изложенному в ~ 40,,—;:1.:-"':,:-, -~,:-'„'-,-""'-,'=,~~"="',-,,-'.~;,:"„. "!-'" 4 дифракционная картина шире в том направлении„которое соответствует более корот- 5Й кой стороне прямоугольника.
В случае квадратного отверстия картина в обоих направлениях будет симметричной. При графическом решении этой задачи волновой фронт разделяется на элементы в виде маленьких прямоугольников, получающихся от разбивки поверхности отверстия рядом линий, параллельных той и другой стороне прямоугольника. Направление дифрагировавшего луча определяется следующим образом. Через направление первоначальногоо распространения луча проведем две плоскости, Рис. 9.7. Картина лифракции от прямо- параллельные сторонам пря- угольного (и) и круглого (я отверстий.
уг ° а1и Ь, ественно. Тогда напРавление,1 к й дифрагировавптего луча будет характеризоваться углами ф~ и д между его проекциями на указанные плоскости и направлением первоначального распространения. Направления, удовлетворяющие условиям /э1пЮ.', = пЛ или Ьв1п~р = = тЛ, гле т и п - целые числа, соответствуют, очевидно, минимумам интенсивности, т.е. черным полосам на фотографии. Аналитическое рассмотрение задачи о прямоугольном отверстии не представляет трудностей и может быть выполнено по схеме ~ 39. Результаты вычисления интенсивности выразятся формулой я1п" (л-Ья1п р/Л) йп2(~г1я1п1Ь1'Л) Р ~ — о (,.Ья1п„РР (,„1„п~уЛ) (42.1) 168 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА где 1о — интенсивность света, идущего по первоначальному направлению гр = О, 11 = О.
Так как обычно ~р и ~~ невелики, то можно положить з1п р = у и зш ф = гр, и тогда получим в1п (ггбр/Л) вгп (~г1ф/Л) (згбуггЛ) ~яЦ/Л) Случай круглого отверстия представляет бг5льшие трудности для вычисления. При графическом решении задачи, разбив круглое отверстие на полоски параллельными линиями, заметим, что крайние полоски играют меньшую роль, чем в случае прямоугольного отверстия„где длина их такая же, как и центральной полоски. Поэтому в отличие от случая прямоугольника диаграмма будет составлена при помощи векторов неодинаковой длины, В соответствии с этим и численные результаты расчета амплитуды получаются несколько иными ). Общий ход распределения интенсивности в дифракционной картине подобен случаю прямоугольного отверстия, но максимумы и минимумы располагаются в фокальной плоскости объектива, конечно, в виде концентрических колец ~см. рис.
9.7 б), и угловой радиус темных колец определяется приблиогсенно соотношением 0,61+ ~гп — 1)/2 в1п р,„= л где  — радиус отверстия и т = 1, 2,... Таким образом, чем больше радиус отверстия. тем мельче дифракционная картина. Более точные значения угловых радиусов темных и светлых (максимумов) колец даны в табл. 9.1. Таблица 91 Угловые радиусы темных и светлых колец Последний столбец показывает относительную интенсивность в максимумах разного порядка. Из него видно, что уже в ближайшем максимуме интенсивность составляет менее 2% от интенсивности центрального. ) При выполнешли расчета задача приводится к бесселевым функциям.
1'Л. 1Х. ДИФРАКЦИЯ В 11АРАЛ11ЕЛЬНЫХ ЛУЧАХ Случаи дифракции на круглом отверстии очень важен практически, ибо все оправы линз и объективов имеют обычно круглую форму, так что при рассмотрении явлений в оптических инструментах всегда приходится считаться с дифракцией на круглом отверстии (см. гл. ХЪ'). $ 43. Гауссовы пучки В предыдущих ~ 40 — 42 и гл. Ъ'111 распределение освещенности, возникающее в результате дифракционных явлений„вычислялось для таких условий, когда амплитуда волнового фронта остается постоянной на протяжении всего отверстия, ограничивающего размеры волнового фронта. Во многих случаях это условие не выполняется, Например, можно получить изменение амплитуды вдоль волнового фронта, если на пути волны 11оместить пластинку с переменным коэффициентом пропускания.
Разумеется, общие свойства дифракционных явлений такие, как порядок величины угла дифракции) останутся прежними. днако целый ряд важных деталей испытывает существенные изменения. Пусть плоскость ЕЕ (рис. 9.8 а) представляет собой поверхность волнового фронта, и амплитуда колебаний в точке х', у' определяется функцией ао(х', д'). Согласно постулату Френеля, возмущение в точке наблюдения М(х, у, -) с координатами х, у, ~ выразится в виде интеграла по волновому фронту (см.
Я 33 и формулу (33.1)) где г — расстояние от точки (х',у', О) до точки М(х,д, ~). Подынтегральное выражение в (43.1) описывает колебание в точке М, обусловленное вторичной волной Гюйгенса — Френеля, испущенной элементом дх' ду' волнового фронта в плоскости .ЕЕ. Если ао(х', у') отлично от нуля в области О < х' ( о, О < д' < / и сохраняет в ней постоянное значение, то соотношение (43.1) будет, очевидно, описывать дифракцию на прямоугольном отверстии со сторонами б, 1, разобранную в ~ 42. ь1асто приходится иметь дело с распределением амплитуды в плоскости волнового фронта, описываемым функцией Гаусса, т.е. х' + д' а(х Р) =аоехр~ —, ) (43.2) 21оо Величина и~о определяет, очевидно, область изменения х', у', где интенсивность колебаний, пропорциональная а (х'„у'), уменьшается в е Раз по сРавнени1о с максимальным значением ао, Достигаемым пРи 2 х' = О, у' = О.
Таким образом, величина ыо характеризует размеры области, в которой сосредоточена энергия волны в плоскости ЕЕ, и в дальнейшем будет назь1ваться ии|рипой распределепик иптепсивпости. Дифракционные явления в случае изменения амплитуды по Д!Л<РРАКЦИЯ СВР ТА закону (43.2) обладают рядом замечательных особенностей,. позволяннцих сравнительно просто анализировать многие дифракционные задачи. Реально распределения амплитуд вида (43.2) возникают при излучении злектромагнитных волн лазерами. ж о ж Щ О о В Я о Ф Й ф о о о Ф о Ф о о и о. Рис. 9.8. К расчету днфракпии волны с амплитудой колебаний, изменяющейся по волновому фронту (а), фотографии поперечного сечения лазерного пучка с гауссовым распределением интенсивности при разных расстояниях между плоскостью наблюдения н лазером (б, в, г) и фотография, полученная прн ограничении лазерного пучка щелью (д) ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
