Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 198
Текст из файла (страница 198)
Импульс 1 слагается из двух синусоид: у' = вйпсЛ и у" = 2 эш ЗьЛ. Импульс 11 слагается из д' = е4п ьЛ и у" = 2 ейп (З~Л +;г/4). Показать, что эти импульсы соответствуют одинаковому спектральному распределению энергии, но имеют разные формы. (Для простоты импульсы представлены суммой двух синусоид, а не бесконечной совокупностью близких по периоду синусоид.) 92. Полосы Тальбота. Если при наблюдении в трубу спектра, получаемого от дифракционной решетки, закрыть часть объектива трубы тонкой стеклянной или слюдяной пластинкой, то получается спектр, пересеченный темными полосами. Явление наблюдается, если пластинка вдвинута с красного конца спектра, и отсутствует, если пластинка вдвинута с фиолетового конца.
Объяснить явление, исходя из рассуждений 3 51 о роли решетки. Как нужно видоизменить условия опыта, чтобы внесение дополнительного слоя с фиолетовой стороны вызывало явление, а с красной стороны не вызывалоу У к а з а н и е. Внесение слоя толщиной Ь с показателем преломления и замедляет распространение света от прикрытой части решетки, внося Ь(п — и') дополнительную разность фаз пропорциональную 2х, где и' показатель преломления среды.
Эта разность фаз зависит от у, и в спектре могут возникнуть интерференционные полосы. Замедление импульсов, идущих от нижней части решетки, или ускорение импульсов, идущих от верхней части решетки (см. рис. 9.30), позволяет отстающим импульсам догнать ушедшие вперед и ведет к образованию интерференционных полос.
Обратные воздействия исключают встречу и интерференцию. Таким образом, результат зависит от знака п — п и положения вводимого слоя. 93. Дифракционный опыт Гримальди (1665 г.). Гримальди описан наблюденное им явление чередования света и тени при освещении двух рядом расположенных щелей светом Солнца (угловой диаметр Солнца равен 31' — 0,01 рад.
Каково должно быть расстояние р между щелями при этом расположении, чтобы могла возникнуть интерференция? (рис. 24; Л вЂ” расстояние до Солнца.) Ответ. р < 25 мкм (рас; 2Ы чет для зеленого цвета, Л = 0,5 мкм). Этот результат заставляет сомневаться в том, что Гримальди наблюдал в данном опыте дифракционные явления. Вероятно, наблюдавшиеся полосы Рис. 24 имели субъективное проис- хождение (контраст). 94.
Дифракциовный опыт Юнга. В отличие от расположения Гримальди, Юнг использовал в качестве источника не Солнце, а сильно освещенную щель (см. 3 16), Рассчитать допустимое расстояние между щелями В и С и опыте К)нга, считая, что расстояние от А до ВС равно 1 м и отверстие А представляет собой изображение Солнца, причем солнечные лучи сконцен- УПРАЖНЕНИЯ П1 П2 П1 П2 для случая преломления на выпуклой Рис.
25 поверхности. Рассмотреть случай преломления на вогнутой поверхности, при котором изображение получается мнимым (выполнить построение и вывести формулу). 98. Получить из формулы П1 П2 П1 — П2 а1 а2 Л формулу выпуклого и вогнутого сферических зеркал. 99. Где увидит глаз, находящийся в воздухе, монету, расположенную вертикально под ним под водой на глубине 1 м? У к а з а н и е. Применить формулу преломления на границе раздела двух сред. Ответ.
На глубине Ь = 3/4 м. 100. Найти главные плоскости для сферической поверхности. Ответ. Из условий (см. (74.1)) П,1 112 П1 — П2 а1 а2 Л П1а2 П2а1 =1 и найдем а1 —— а2 —— О. 101. Исследовать формулу тонкой линзы — — — =(?~ — 1) ~ — —— а2 а1 1'1 '1'2 для случая выпуклых и вогнутых поверхностей линзы, воздушной линзы (пузырь) внутри воды, стеклянной линзы в воздухе и т.д., указав, в каких случаях линза собирательная и в каких — рассеивающая. 102. Исследовать формулу тонкой линзы 1 1 1 а2 а1 выяснив взаимное расположение предмета и изображения и 1', т.е. знак и величину поперечного увеличения (при Ъ' = 1, а1 — — а2 = О, т.е.
главные плоскости тонкой линзы сливаются в плоскость, проходящую через, линзу). трированы линзой с фокусным расстоянием 10 мм (рис. 25), т.е. А имеет размеры 0,1 мм. 95. Какова будет разность хода между соответственными лучами от двух соседних п1елей, даютцих добавочные минимумы в случае трех щелей? четырех щелей? Какой вид имеет диаграмма амплитуд для этих случаев? Ответ. Для трех щелей Л/3 и 2Л/3; 4Л/3 и 5Л/3 и т.д., :треугольники; для четырех щелей: Л/4, 2Л/4 и ЗЛ/4; 5Л/4, 6Л/4 и 7Л/4 и т.д.; квадраты.
96. Определить положение доба- .! ночных максимумов дифракционной ре1петки (период д, число 1птрихов Х). Оп2.е1п. пэ1п;2 = (1п+ 1/2)Л/Х. 97. Вывести формулу вов УПРАЖНЕНИЯ 103. Обозначив расстояние источника от переднего фокуса через х1 и расстояние изображения от заднего фокуса через хг, вывести формулу тонкой линзы в форме, данной Ньютоном: х1хг = — « . 104. Согнем проволоку под углом гг — 1г.
Точку сгиба О поместим на расстоянии ОК = 1 от линии АВ (рис. 26). Показать, что точки пересечений концов проволоки с АВ суть со- О пряженные точки линзы с фокусным расстоянием « = 1/1л. Если А М М В вращать проволоку относительно К О, то движения ЛХ и 1У представят собой движения источника и изображения относительно линРис. 26 зь1, расположенной в О.К. (Модель справедлива для таких углов 1р, при которых ЛХО ЛХХ1, т.е.
ЛХО может изображать параксиальный луч.) 105. Показать, что для линзы, по обе стороны которой среды различны (п1 ~ пг), имеем «1/«г = — п1/пг. 106. Вывести соотношения, определяющие сопряженные точки оптической системы (рис. 27) и ее поперечное увеличение: П1 Хг «1 — += =1, — = — —, г'= —— а1 аг «2 пг ' «г х1 х1х2 = «1 « Введем следующие обозначения: А1Е~ — — — х1, А1В1 — — у1., Е1Н1 — — — «1', .41Н1 = — а1, '~Н1АЩ1 = — и1, 'Х~А2 = хг, '.4гВ2 = — уг; Н Гг = +«2', Н2А2 = +аг, '~Н2А292 = +и2.
Выводы. 1) из подобия треугольников г1А1В1 и г1Н1М1 и треугольников ггНгЛХ2 и Х2А2В2 имеем — 12 = — уг/у1 = хг/«г — «1/х1, 'отсюда х1х2 = «1 «2 Или «1/а1 + «2/а2 = 1, иоо х! = а1 — «1 и х2 = а2 — «2. А2 У2 В2 Рис. 27 2) Из треугольников Я1Н1 А1 и ЯгН2Аг получим а1и1 — — агиг (для параксиальных пучков); далее, учитывая соотношения 11 — г') = аг/«2 и 11 — 1/1') = а1/«1, находим «1у1и1 = — «гугиг. Воспользовавшись соотношением Лагранжа п1и1у1 = пгигдг (см. ~ 74), находим — «1/«г = п1/пг, те.
отношение фокусных расстояний равно отношению соответственньгх показателей преломления крайних сред, взятому. с обратным знаком. 107. Две толстые линзы ® и «2) расположены так, что оси их совпадают и расстояние между фокусами равно Ь. Определить фокусное расстояние «полученной сложной системы (рис.
28). Отпоет,. « = «1«г/Ь. 809 УПРАЖНЕНИЯ У к а з а н и е. Луч ЯХ2, параллельный оси системы, выходит из нее по СГ. Таким образом, точка Г есть передний фокус системы; плоскость МЛХ, пересекающая луч СГ на высоте луча ЯЭ, есть передняя главная плоскость и Н -- главная точка. Для построения луча СГ используем свойства главных точек составляющих систем (Г!, Н!, Н,', Г,', Гг, Нг, Нг, Гг); в частности, лучи из точки С, лежащей в фокапьной плоскости первой системы, должны выходить из атой системы параллельно друг другу, т.е.
ВГ! параллельно СГА, Итак, фокусное расстояние системы 1' = НГ. Из чертежа найдем А ~~ А~г ЛЬ ВН СГ,' ПНг Ь Л Аналогично для второго фокусного расстояния найдем При Ь = 0 получим 1 = оо, т.е. телескопическую систему: параллельные лучи, проходя через зту- систему, выходят вновь параллельным пучком. НГ = ЛН!Г! = Х!~Г!Г2 = А~Н2Г2 = Х2 Н!Г! =.!! Н2Г2=Х2 НГ =Х Рис. 28 При совпадении главных плоскостей Н! и Нг, т.е. при Д + Л вЂ” 1г = 0 и при условии, что 1г —— — 1г (ср. упражнение 105), имеем 1 1 1 — = — +— У' У! Л ' т.е. оптическая сила соприкасающихся линз равна сумме оптических сил составляющих.
Передний фокус Г сложной системы сопряжен относительно первой линзы с точкой Гг (луч ГгЯСГ). Расстояние яг от Г! до Г находим с помощью формулы (79.1) АЛ хк Аналогично для расстояния т'~ от Я до Г' имеем ! У~,!г яр1 810 УПРАЖНЕНИЯ Положения главных плоскостей Н и Н~ относительно фокусов Г~ и Г2 соответственно определяются очевидными равенствами: ян = яр — /, ян, —— / ! Х~ Ф Простейшим примером сложной системы является линза. Если принять за составляющие системы две преломляюп1ие поверхности и воспользоваться формулами (72.1), то легко найти /( /1 /2 (и — 1) (1/Л~ — 1/Л2) + ((и — 1)'/и'Й~Л~ Лв ' где д — толщина линзы на оси. В отличие от формулы (77.1) для тонкой линзы, в знаменателе появился член, описывающий влияние толщины линзы.
Выбрав д таким образом, чтобы /' = оо, получаем из толстой линзы зрительную трубу (см. 8 93). Я 108. Преломление на плос- РП кой границе вызывает астигматизм пучка. И а) Показать, что лучи, исходящие из одной точки (о'), после преломления на плоской границе не имеют оощей точки пересечения (рис. 29), У к а з а н и е. Найти расстоя- ние точки пересечения двух сим- 21 метричных лучей до границы и убедиться, что оно зависит от угла 1 1' 2 падения. б) Убедиться в появлении Рис. 29 астигматизма при преломлении на плоской границе, рассмотрев пучок, падающий косо на плоскость. Обратить внимание на то, что угол расхождения между лучами, лежащими в плоскости, определяемой осью пучка и нормалью к поверхности (меридиональное сечение), изменяется сильнее, чем для .лучей, лежащих в перпендикулярной плоскости (сагиттальное сечение).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
