Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 196
Текст из файла (страница 196)
Отсгода следует, что поверхность зерка.льна, когда 6, мал 6 по сравне- ееЯ ю Ъ м нию с Л; для рентгеновских лучей Л вЂ” порядка атомных расстояний, и Рис. 19 зеркальная полировка невозможна. Лишь при падении под о тень малым скользягцим углом удалось наблюдать зерка.льнов отражение рентгеновских лучей (Комптон, 1923 г., угол скольжения равен 10 — 20', Л = 1,28 А). 56.
Прохождение света через матову»о поверхность (рис. 20). Плоская волна, проходя через матовую поверхность, становится диффузной (матовое стекло «непрозрачно»). Покрывая матовое стекло водой или, лучше, бензолом или глицерином (и и 1,50), просветляем его. Объяснить явление. При каких размерах (6) неровностей стекло будет матовым? У к а з а н и е. Рассмотреть разность хода при прохождении через неровности матового стекла. Ответ. 6(п — 1) ) Л/2.
Рис. 21 Рис. 20 57. Вычислить радиус центральной зоны Френеля для случая, изображенного на рис. 21, где АР = а, РВ = Ь, ЛХВ = Ь + Л/2, МО = г. аб 2 Ответ. т = — Л. (Пренебречь членами с Л по сравнению с Л.) а+о 798 ут1РА>кнения 58. Вычислить радиус центральной зоны Френеля,лля случая п.лоской волны геометрически и как частное рептение задачи 57. Онтввт,. г = у'ЬЛ. 59. Разобрать задачу о зеркальном отражении и преломлении плоской волны на плоской границе но методу:юн Френеля. У к а з а н и е.
Разбить гранину па плоские зоны птириной а, перпендикулярные к плоскости падения. Если волна падает под углом тр, отражается в первую среду под углом тЬ и проходит во вторую под углом Л, то для лучей, отраженных от границы зон, разность хода тЛ, = а(япу — ялта), а для нре,ломленных 'т,т = а(пт яп тр — тт2 вш Л).
Можно всегда выбрать а так, чтобы Л„= Л, т,е. чтобы волны, .отраженные левой и правой половинами каждой зоны, взаимно уничтожались. Только для направления ешти = янтЬ, т.е. р = тЬ, такой выбор ширины зоны невозможен. По этому направлению свет будет отражаться.
Аналогично для преломленных волн единственное направление, по которому свет при лтоболл разбиении поверхности на зоны не будет уничтожен, удовлетворяет условито пт яп тр — п2 яп;т. = О, т.е. закону преломления. 60. Рассчитать амплитуду колебания в точке В (см. рис. 21), обусловленную действием первой зоны Френеля. У к а з а н и е.
Результирующая амплитуда пропорциональна площади первой зоны, которая согласно упражнению 58 равна ттЬЛ. Но так как вторичные волны от разных участков первой зоны доходят до точки В с известной разностью фаз, то их действие, согласно рис. 8.8, уменьшается в отношении 2/тт. Отпвети. Амплитуда пропорциональна 2ЬЛ.
61. Рассчитать амплитуду элементарной вторичной волны ФренеляГюйгеттса. У к а з а н и е. ав пропорционально амплитуде А колебания, доптедптего до элемента тЬ, и нлотпади этого элемента, лте. ав = сАтЬ. Для определения коэффициента с сравним непосредственное действие плоской волны А вш (~Л вЂ” тр) в то ттте В (см. рис, 21) и действие, рассчитанное по методу Френеля, когда в качестве вспомогательной новерхттости выбран фронт плоской волны. Расстояние от Р до В есть Ь. 1. Непосредственный расчет для то тки В: А яп (тв~ — р — ЬЬ). т.е.
амплитуда в точке В должна равняться А и фаза — (вт + йЬ). 2. Расчет по методу Френеля. Согласно (33.1) амплитуда в В примерно равна ав/Ь (ибо МВ Ь), т.е. сАтЬ/Ь. Согласно упражнению 60 действие первой зоны с учетом ее площади и разности фаз от разных ее участков есть сА 2ЬЛ/Ь = 2сАЛ. Так как действие в точке В равно половине действия первой зоны,то искомая амплитуда в точке В есть сАЛ. Сравнение с непосредственным расчетом дает сАЛ = А, т.е, 1 с= —. Л Итак, от каждого элемента тЬ идет сферическая волна ав АтЬ вЂ” вш (тЛ вЂ” тр — Йг) = вш (ы1 — у — Йг).
г гЛ У11РАЖЕ11гН11Я 799 62. Определить разность хода параллельных лучей, отражающихся от плоского зеркала. Ответи. Нуль. 63. Если круглое отверстие (например, ирисовая диафрагма) увеличивается таким образом, что размер его, ранее равнявшийся одной зоне, доходит до двух зон, то в соответствующей точке В освещенность значительно уменьшается, падая почти до нуля, хотя поток световой энергии через увели 1ивп1ееся отверстие возрастает почти в два раза. Каким образом согласуются эти два факта? У к а з а п и е.
Принять во внимание распределение энергии по всей дифракционной картине, 64. Пусть в опыте Араго — Пуассона источником света служит не точка, а маленькое светящееся тело, например, крестик. Будет ли в центре геометрической тени наблюдаться изображение источника или светлая точка7 Ошвепь Изображение источника. 65, При разделении поверхности волны на кольцевые зоны мы пришли к выводу, что фаза, определенная по методу Френеля, отличается от истинной на я/2, а разбивая поверхность волны на меридианные лунки, мы сделали заключение, что различие в фазе между вычисленной и действительной волнами равняется я/4.
Обьяснить причину кажущегося расхождения. У к а з а н и е. При сравнении надо исходить из одного и того же начального направления вектора, обусловленного элементарным участком у полюса волны. В методе же лунок на вуальным направлением с титают направление вектора, обусловленного действием меридиональпой полоски. Нужно ввести соответствующую поправку, разбив полоску на зоны, аналогичные меридиональным. 66. Теорема Бабинв. Экраны и отверстия называются дополнительными, если они совпадатот по форме, размерам и расположению.
Показать, что дифракционная картина, обусловившая дополнительными экранами и отверстиями, совпадает для всех точек фокальной плоскости, кроме области А, соответствующей изображению источника Я в отсутствие дифракции. У к а з а н и е. Обратить внимание, тто во всех областях, кроме А, господствует темнота, если волна ничем не ограничена, т.е. нет ни экранов, ни отверстий. Если в какой-либо точке амплитуда при наличии экрана есть а, а при наличии дополнительного отверстия есть Д, то о + Д = О.
67. Найти графически и аналитически амплитуду результирующего колебания при фраунгоферовой дифракции на щели при косом падении. 68. Определить значения угла р, соответствующего максимумам амплитуд при Рис. 22 дифракции Фраупгофера на одной п1ели. У к а з а н и е. Условие максимума приводит к трансцендентному уравнению Ся а = а, где а = (Ья/Л) я1п р, решаемому графически (рис. 22) 866 Ъ Ш АмаХЕНИя и имеющему корни при ао = 1,43~г, аз = 2,46~г, а4 = 3,471г., аь — — 4,47х .. аг =О., а(т,д) = воехр ~— / т.'+д''1 2ш~~ У к а з а н и е.
Искомое поле определяется интегралом Френеля— Кирхгофа в1я,д) = ~ / ' соя ~го1 — ?гг+ — ~ пх Йд., 1 Г а~х',д) г' 7Г / / 2,~ Множитель 1/г следует заменить на 1/ю, а в аргументе косинуса положить приближенно !)2 + ~ !)2 2я представить косинус по формуле Эйлера е' +е сова = 2 и воспользоваться интегралом „,о+юг 2(, о+ Ошвеш. (апшо) о о ( я ~=.+, - =-о+~' — '~, 18а= — я.
11./ ' 69. Вычислить значения амплитуды и интенсивности при дифракции Фраунгофера на одной щели для значений а = (оя/Л) егп~р через каждые 30' и построить соответствующие графики. 70. Найти углы у, определяющие положения минимумов, если плоская волна падает на щель ширины о по направленгпо, составляющему угол ф с нормалью к плоскости щели. Ошвеш. ейп ~р = е4п г/~+ тЛ/о, где т — целые числа. 71.
При увеличении щели вдвое проходящий световой поток увеличится вдвое. С другой стороны, амплитуда при этом возрастает вдвое, так что интенсивность должна возрасти вчетверо. Как разрешается этот кажущийся парадокс? Ответ. См. упражнение 63. 72. Рассчитать дифрагировавшую волну при гауссовом распределении амплитуды на плоском волновом фронте 1см. рис.
9.8 а) ВО1 73. Показать, что если период решетки Н соизмерим с шириной п1ели Ь, так что Й = пЬ, то в спектре решетки исчезают все максимумы, номера которых кратны числу и. 74. Вывести формулу (46.1) вша вш Хф .4 — 4о— а япр' У к а з а н и е. При выводе надо иметь в виду, что распределение амплитуд, определяемое действием одной щели (ширина щели Ь )) Л), есть япа яЬ Ао = /(а), где а = — яп<р, /(а) — медленно меняющаяся функция а от ~р, и при изменении р в не очень широких пределах се можно считать постоянной.
Для получения действия всей решетки надо суммировать действия отдельных щелей, принимая во внимание, что разность фаз от двух соседних щелей есть 2х Ф = — Ияп ~р = 2~3. Л Таким образом, действие и-й щели в точке с координатами х, я (ось д рас- положена вдоль штрихов решетки) выразится фактором и„= 1(а) ехр Яй(х яп ~р + я сов ~р) + пФ1], и = ~ и, = /(а) ехр~И(хяп~р+ соз~р)]Я, о где 1 — ехр (гХФ) ехр (гХФ/2) яп (МФ/2) Я = р ехр (миФ)— 1 — ехр (1Ф) ехр (ю'Ф/2) яп (Ф/2) Множители, содержащие мнимые показатели, определяют фазу результирующей волны, а остальные — ее амплиту,~у, которая равна, таким образом, аш (ХФ/2) яп а з1п Ж~ /(а) =Ао яп (Ф/2) а яп ф Переходя к интенсивности, т.е.
образуя и и*, получим ~зш а яп Хф 1=и и'=Ао а~ яп р' 75. Пользуясь формулой распределения амплитуды (и интенсивности) яп Хф в спектре дифракционной решетки А = Ао/(а), где /'(а) — медленяп р' но меняющаяся функция от р и 3 = — с1вш у. найти расположение главных Л максимумов; добавочных минимумов; добавочных максимумов в спектре решетки: определить амплитуду и интенсивность добавочных максимумов; полуширину главного максимума; относительные интенсивности добавочных максимумов.
Ответ. Положение главных максимумов определяется из условий: з1п~3 = О, япН(3 = О, откуда р = тл, а т = 0,1,2,..., т.е. тяп,р = тЛ. Положение добавочных минимумов определяется из условий: яп~3 ~ ~ О, яп Юф = О, откуда,3 = т(т+ р/Х), где т — любое целое число, а 802 УПРАЖНЕНИЯ р пробегает значения 1, 2, ..., (Х вЂ” 1) т.е. с1я1пр = Л(ггг+ р/АГ).
Положение добавочных максимумов определяется из условия яш Агр 1 (ибо яп 3 ат~ относительно медленно меняется с Я. Отсюда >3 ~г(т, + и/2Л), где т-- номер главного максимума (ги = О, 1,2,...) и р — целое нечетное число от 3 до (2Аг — 3). Добавочные максимумы с р = 1 и р = 2Аг — 1 не существуют, так как при этом яп Д меняется относительно быстро (см. ниже). 1 Амплитуда добавочных максимумов пропорциональна,, „., их яп (р~г/2АГ 1 4Аг~,агг интенсивность пропорциональная , ибо —, мало для яп (р~г/2АГ) я р неболыпих р т.е. вблизи главного максимума.
Значение р', соответствую- а щее половине интенсивности главного максимума (се% /2), определяетз1п" %~3" Хэ 2 ". " 2 ся условием ., = . Так как,З' малб, то яп Ь~' = (М~ ) /2. яп',8" 2 Численное решение этого трансцендентного уравнения дает АГ,8" = 80' = 1,38 рад. Величина 23' определяет ширину главного максимума на уровне половины интенсивности 2,8* = 2,76/АГ (рис. 23). Так как Х очень велико, то главные максимумы весьма резки. Расстояние Аг между точками, где функция яп Х3/ э1п,3 принимает максимальное значение и значение, равное половине максимального, есть г3* = 1,38/Х, а расстояние Х~ 2р' между этой первой точкой и точ- 2 кой, где данная функция первый раз обращается в нуль, есть яАГ > 2~3' = 2,76/АГ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
