Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 197
Текст из файла (страница 197)
Положению первого добавочного максимума / г (р = 1) соответствует ~3 = — , 2Х И= — 1~с р= =2%-1 †. Таким образом, первый 1,5 я=О и=1 Ю добавочный максимум (и = 1) Рис. 23 накрывается соседним главным максимумом, а последний добавочный максимум (р = 2Х вЂ” 1) накрывается главным максимумом следующего порядка, т.е. 1-й и (2Аг — 1)-й добавочные максимумы не наблюдаются и остается (Аг — 2) добавочных максимумов, расположенных между (Х вЂ” 1) добавочными миниму"мами. Первый наблюдаемый добавочный максимум соответствует р = 3 и отстоит от вершины главного максимума на расстояние, соответствующее р' = 3я 4,7 — = — . Его интенсивность составляет 4АГ /я р, т.е. 4/9я от главно- 2 2 2 а 2Аг Х го максимума (около 1/22 = 5 7о); относительная интенсивность следующего добавочного максимума (р = 5) есть 4/25к = 1/62 = 1,6% от главного максимума и т.д.
76. Рассмотреть дифратсцию плоской волны, падающей нормально на синусоидальную решетку (Рэлей). У к а з а н и е. Если решетка расположена в плоскости яу и волна приходит по направлению, то дифференциальное уравнение для волны Е 8ОЗ УПРАЖНЕНИЯ имеет вид дЕ дЕ 1 дЕ + д 2 д~2 2 Яэ Для синусоидальной волны частоты ш полу.чим дУЕ дгЕ , +, +й-'Е=О, где й = ((/и = 2л/Л вЂ” волновое число. Решение линейного дифференциального уравнения (1) имеет вид В=А р(( — *~4'- '(1, где А и и произвольные функции. Решение это представляет собой совокупность плоских волн с амплитудами А, распространяющихся по направлениям, составляющим углы у с осью, причем яп у = ~и/й (ср, упражнение 4).
Поскольку и — произвольная функция, то дифракционные волны могу.т, вообще говоря, распространяться по разным направлениям (единственное ограничение: и ( й). Общая задача о дифракции плоской волны на плоской гран~ще (решетка) конкретизируется свойствами этой решетки. На поверхности я = 0 значение Е в силу принципа Кирхгофа — Фрснеля имеет вид Е(т, 0) = /(т), где /(х) характеризует свойства решетки, т.е. ее воздействие на амплитуду и фазу проходящей волны, В случае синусоида,льной реп1етки Рэлея с периодом о (вдоль я) и максимальным коэффициентом пропускания С имеем Г, 2л /(я) = Сехр ~~ — я Для выбранной нами решетки Рэлея мы можем определить А и и из условия Е(я, 0) = /(я), т.е.
Ас' ' = Сехр ~ — я, откуда А = С и и = 2л/д, где С и д заданы свойствами решетки Рэлея. Подставляя найденное значение и в выражение вшу = и/й, определяющее направление распространения дифрагировавших плоских волн, найдем 2л1 Л япу = — — = — или Няне = Л. й 4 Таким образом, дифракция плоской монохроматической волны на синусоидальной решетке Рэлея дает спектр лишь 1-го порядка. Нулевой спектр, соответствующий у = О, и спектры высших порядков, для кото- 2 рых яп у„, = ~тЛ/(1 (т = 2, 3,...), отсутствуют. Если /(я) = Сэш — я = — ~ехр ~з — х~ — ехр ~ — г — х, то граничные условия Е(я, О) = /(х) 2я 1 Л Л удовлетворяются очевидно дву.мя волнами с и = — — = — и и = —— 7 (1 й т.е. такая решетка дает спектры 1-го и — 1-го порядков (см.
упражнение 78). 77. Показать, пользуясь результатами упражнения 76, что прн 4 ( Л дифракционные спектры не образуются, и выяснить физический смысл этого факта. 801 УПРАЖНЕНИЯ У к а з а н и е. При д < Л имеем э1п((г > 1, т.е. нет направления, по которому могла бы распространяться дифрагировавшая волна.
Из выражед=д р(г(,р рр — р)) дг., р д)д, р )Й,д имеет вид д=д р( — *;/Р— д). р(д ), т.е. получается волна, амплитуда которой убывает вдоль г по закону г Аехр ( — к иг — йг и, следовательно, на достаточном расстоянии г становится сколь угодно малой (затухает вдоль к).
Волна с конечной амплитудой распространяется лишь вдоль т в слое, достаточно тесно примыкающем к решетке. 78. Пользуясь результатами упражнения 76, рассмотреть дифракцию на произвольной одномерной периодической структуре. У к а з а н и е. Для периодической структуры с периодом ср имеем где т = О, т = ~1, т = ~2 и т.д. (теорема Фурье) Для дифрагированных волн можно написать Е=)~С ехр г 2гг ° г тт — + йг — тг с1 4 с1левы этого ряда для больших т (т 2гг/с1 > 2гг/Л) убывают экспоненциально в зависимости от н при больших в не играют роли. Остаются только члены ряда с т 2гг/д ( 2к/Л. Это — плоские волны по направлениям ((г,„, для которых эш ((г = тЛ/с1. Последнее соотношение известная формула дифракции на периодической ре|петке. С дает амп,литуду спектра т-го порядка и определяется характером периодической структуры (решетки).
79. Рассчитать условие наложения спектров высших порядков друг на друга. а) Зависит ли это от периода решетки? В каком порядке произойдет наложение спектров в случае видимых лучей (от Л = 400 нм до Л = 800 нм)? В каком порядке возможно перекрытие спектра ртутной лампы (яркие линии от Л = 579 нм до Л = 253 нм)? Ответ.
ЙЛс — — (Й + 1)Лг. б) Каков максимальный порядок спектра для длины волны Л, если период решетки равен (1? Ответ. т равно целой части дроби с1/Л. 80. Определить угловую дисперсию дифракционной решетки с периодом с1 = 2 мкм для второго порядка для Л = 5000 А.
Ответ. 6фБЛ = 0,4 мин/А. 81. Вычислить угловую дисперсию эталона Фабри — Перо, пластинки Люммера — Герке, эшелона Майкельсона, выразив ее через длину волны, толщину пластинки, показатель преломления материала пластинки. Зависит ли дисперсия эталона Фабри — Перо от расстояния между пластинками? й т о -..д~, „а,р, г,р„ дд — д рр. В р р щ ж д: рюр щкд . 6: ш~ ж Люммера — Герке и других интерференционных спектральных аппаратов. Ответ. А = Хт. УПРАЖНЕНИЯ А(ив — 1) Для пластинки Люммера — Герке А ., если пренебречь диспер- Л сией стекла (1. длина пластинки, и показатель преломления стекла).
83. Вывести выражение для области дисперсии пластинки Люммера-- Герке и других интерференциониых аппаратов. 84. Какими данными должна обладать дифракционная решетка, чтобы во втором порядке разрешить дублет натрия г.уг = 589 нм, .Ов = 589,6 нм? Ответ. М ) 500 штрихов. 85. Какую минимальную длину должна иметь пластинка Люммера— Герке, сделанная из стек,ла с показателем преломления и = 1,5, чтобы разрешить линию водорода Л = 656,3 нм, представляющую узкий дублет с расстоянием между компонентами 1,4 10 ~ см? Ошвет. Около 2,5 см.
86. Дифракционная решетка шириной в 3 см имеет период 3 мкм. Какова ее разрешающая сила во втором порядке? Какова разность различимых длин волн для зеленых лучей? Ответ. А = 20000, 6Л ~ 1/4 А. 87. В опытах по дифракции рентгеновских лучей пучок падает на реглетку с периодом 2 мкм под углом скольжения в 30' (угол скольжения— угол, составляемый направлением луча с плоскостью решетки). Угол дифракции для спектра третьего порядка получился равным 1,5'.
Определить длину. волны рентгеновских лучей. Ответ. 1,78 ггс. 88. а) Рассмотреть дифракцию на зонной решетке (пластинке). У к а з а н и е. Следует рассмотреть дифракционную картину первого, второго и т.д. порядков от различных элементов решетки и показать, что дифрагировавшие в данном порядке лучи от всех участков решетки пересекают нормаль в одной точке. Фокусное расстояние т-го порядка / = С/(2Лпг) где С вЂ” постоянная в величина, характеризующая решетку (С = г„/и, где и — номер кольца и — его радиус). Обладает ли зонная решетка хроматической аберрацией? б) Проследить аналогию между решеткой Рэлея и зонной пластинкой, в пропускание которой изменяется вдоль ее радиуса по закону эш — т .
У к а з а н и е. Вычислить амплитуду поля на оси зонной пластинки (падает плоская волна) с помощью принципа Гюйгенса — Френеля: 2я гтпах с?~р ейп — г соя Й Л + — г сй'. 0 0 Интеграл вычисляется после замены переменной г на Я. 89. Стетслянная пластинка, на которой нанесена дифракционная решетка, сделана одной из стенок длинного ящика, наполненного водой. Составить формулу, определяющую направление на максимумы внутри воды.
Если часть решетки выступает из воды, то за решеткой можно получить два спектра, расположенных один под другим, один в воде, другой в воздухе. Как будут различаться эти спектры? Ответи. Спектр в воздухе в 4/3 раза длиннее. 90. Проделать опыт с дифракцией лучей света,, падающих под углом, близким к 90', на миллиметровую линейку, и описать условия, при которьгх Воб УПРАЖНЕНИЯ удается наблюдать явление (удобно пользоваться миллиметровыми делениями, нанесенными на логарифмическую линейку, а в качестве источника света выбрать спираль газонаполненной лампы накаливания). 91.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
