Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 194
Текст из файла (страница 194)
7(г) = ~ ехр ~ — ~ соь(ш — Цте(ы = ехр 24. Вычислить степень когерентности колебаний в двух точках, освещаемых протяжегпгым пекогерентным линейным источником света. Будем считать, что источник света состоит из светящихся точек, зквидистантно расположенных на отрезке длиной 2Ь (см. рис. 4.21). Каждая светящаяся точка посылает волну, которую в точке Р1 можно записать в виде А 2л 2хс — сов (~Л вЂ” М 1+ ~р ) Й = — ы =— (,1 где А — постоянный множитель, И.,1 — расстояние от у'-й светящейся точки до Р1, у, — постоянная фаза.
Суммарное колебание в точке Р1, создаваемое всем источником, равно 1 6,(Р1,~) = А ~ — сов(ы~ — Мй„+ у,), ~=1 где Х вЂ” число светящихся точек. Выражение для колебания бд(Р2, 1) получается из се|(Р1, 1) заменой И,1 на е(~2 -- расстояние от у-й светящейся точки до Рв. Дальнейшие вычисления удобно проводить, пользуясь комплексной формой записи колебаний (см. упражнение 23), а именно с помощью формулы совт = Ве е' . 788 УП1~АЖНЕИИЯ Тогда с)1(Р1, 1) принимает вид 1 1,"1(Р1,1) = АВ,е ехр (иЛ) ,') ехр [ — 1(ИЙ,1 — |р1)] = 1 — 1 = Ве а1(Р1) ехр [1(ш1+ 1/11)], 1 а1(Р1) ехр [й/11(Р1)] = А ,'1 — ехр [ — 1(И11 — 1р1)].
1=1 3 Й1 По определению (22.22) имеем 1 сш(т) +гв12(г) = а1(Р1)аг(Р2) ехр(Ф (Х' ) — /1(Р1)]) = Х1 Х2 12 В1 А 1 ~~) ехр (1[1(Й12 — Й11) + 221 — у1]). ъ/Х1 Хг Й1! Й12 Поскольку разности фаз у1 — 12 при 1 ф у принимают произвольные значения, то члены с 1 ф 1 дают пренебрежимо малый вклад и ими можно пренебречь. Будем считать, далее, что а',1 » Ь, Й,г » Ь, так что в знаменателе для всех 2' можно положить Й21 = Й12 = Й. Наконец, Х'1 и Хг получаются из выражения для с12(г) при точке Р1, совпадающей с Рг, и оказываются раввь1ми ЛА2 Х1 =Хг= Й2 Вследствие сказанного имеем 1 с12(г) + 1в12(т) = — ~ ехр [гй(Й12 — Й„)]. Если Йгг и Й11 значительно больше, чем размеры источника 2д и расстояние 21 между точками Р1 и Рг, то 21 12 Ьу 12 11 где ЬЬ = 2Ь/11 — расстояние между соседними излучающими атомами.
Поскольку ЬЬ С( Л, сумму по у можно заменить интегралом, вычисление которого дает в1п (2йЬ1/Й) С12(Г) =, В12(Г) = О. Отметим, что при получении соотношения (1) не использовались предположения о расположении точечных источников света и точек Р1, Рг, кроме большой величины Й12, Й11. Поэтому (1) имеет силу при произвольном неравномерном распределении источников, при расположении их на отрезке линии, участке какой-либо поверхности или в ограниченном объеме.
25. Вычислить отношение Х /(Х) для распределения Рэлея. Огавет. г — г Х Х -г Хг= ~ =ехр~ — =)ЙХ=2(Х) . ) О УПРАЖНЕНИЯ 26. Как изменяется размер интерференционных колец при замене воздушной прослойки в эталоне Фабри — Перо на стеклянную (и = 1,5)7 У к а з а н и е. При аналитическом методе решения следует принять во внимание преломление при выходе света из стекла. Угловое расстояние между полосами в случае воздушной прослойки Л Й= 2п'о1п з Угловое расстояние между полосами в случае стеклянной прослойки сов г сов г Л Й =п,о =и, совг соз1 2дошг Ошоегл. Радиусы колец увеличиваются в отношении с8 г/ с8 г.
27. Решить задачу 26 геометрически, находя изменение расстояния между мнимыми источниками (рис. 5). Рис. 5 Для воздуха э192 = 2д. Для стекла Я1 Я = 2г1 — < 2с(. ~8г ф81 г83 Ответ. Радиусы колец увеличиваются в отношении— $8г 28. Лучи, падающие под углом г' = 49' на пластинку интерферометра Жамена с толщиной й = 2 см и показателем преломления п = 1,51, дают максимум пятого порядка для Л = 500 нм. Определить угол между пластинками.
Отпоет. <р 0,6. 29. Как изменится интерференционная картина, создаваемая пластинкой Люммера-Герке из крона (и = 1,50). если одна поверхность ее будет погружена в сероуглерод (п = 1,75)7 Огпоегп. Картина сместится на 1,~'2 полосы. 30. Показать,что поток энергии в стоячей волне равен нулю.
У к а з а н и е. 1Лспользовать теорему Умова — Пойнтинга. 31. Рассмотреть детально, почему в проходящем и отраженном свете картины интерференции в тонких пленках дополняют друг друга (проследить разности фаз, например, для колец Ньютона, принимая во внимание потерю фазы на границе).
790 УПРАЖНЕНИЯ 32. Две немонохроматические волны от независимых источников не дают интерферегщии. Однако каждую из них можно представить как совокупность монохроматических волн (метод Фурье). Каждая пара таких моно- хроматических волн одного периода способна дать устойчивую интерференционную картину. Объяснить, почему наши волны не дают интерференции, хотя все их компоненты попарно интерферируют. (Обратить внимание на результат интер- М и' ференции двух пар компонент, О близких по частоте.) и 33. Опыт Шредингера. Для наблюдения интерференции пучков, расходящихся под большими углами, Шредингер пользовался расположением, указанным на рис. 6. Источником служила. накаленная волластонова нить ММ диаметром 2д = 1 мкм. Каков предельный угол и, при котором еще возможно наблюдение интерференции? Ответ.
Полосы смазываются при условии 2е(з1пи > Л, т.е. и 30'. 34. Вывести из принципа Ферма закон отражения света от плоского зеркала и показать, что в данном случае время минимально. 35. Поверхность, представляющая геометрическое место точек А, для которых сумма оптических путей до двух сопряженных точек Р и Р есть постоянная, носит название апланатичеекой Такой отражающей поверхностью является эллипсоид вращения по отношению к своим фокусам.
Апланатическая преломляющая поверхность была указана Декартом (1б37 г.): это — поверхность вращения, сечение которой (картезиансквй овал) плоскостью, проходящей через ось, определяется условием пАР+ п'АР' = сопзй для всех А (рис. 7). Найти уравнение картезианского овала (параметрами задач Рис. 7 являются расстояния РО = 1а и ОР' = 1~а и показатели преломления сред и и и"). Указать на чертеже поверхности, .для которых применимо требование минимума и максимума при формулировке теоремы Ферма. 36. Построить диаграмму расположения векторов Е, Н и у при отражении от границы стекло-вода, стекло — воздух и воздух--стекло.
37. При интерференции на клине с малым углом у (рис. 8) можно достичь гораздо болыпей яркости, чем с бизеркалами Френеля. Почему? Ответ. Апертура перекрывающихся пучков 2о определяется размерами клина и ее можно сделать болыпой: апертура интерференции определяется углом клина и равна 2у, т.е. ее можно сделать малой, а следовательно, ширину источника болылой. 38, При изготовлении бипризмы Френеля довольно трудно выполнить из стекла бипризму с углом при вершине, почти равным 180'; поэтому 791 У11РАЖЕ1ЕНИЯ нередко обходят затруднение следующим образом: приготовляют бипризму из сл екла (и = 1,52) с углом, заметно отличакнцимся от 180' (например, 170'), и дополняют прибор плоским стеклом, склеенным вместе с бипризмой так, что образуется полость (рис.
9). Эту полость заполняют бензолом (и = 1,50). Рассчитать эквивалентную бипризму из стекла. Ответи. а = 179'44'. 39, Поместим линзу, сделанную из стекла, в жидкость, обладающую таким же показателем преломления и налитую в плоскую кювету (рис. 10). Пусть на кювету падает плоская волна. Нарисовать, пользуясь принципом таутохронизма, вид фронта волны по другую сторону кюветы. 40. Нарисовать приблизительный вид фронта волны (характер фронта — - плоский, выпуклый, Бензол Стекло Рис.
9 Рис. 10 вогнутый) для предыдущего упражнения в том случае, когда налитая жидкость обладает показате,лем пре,ломления ббльшим, меньшим и равным показателю преломления вещества линзы. 41. Линза из крона (и = 1,50) лежит на пластинке, одна половина которой сделана из того же крона, а другая — из флинта с показате.лем преломления 1.70. Прослойки между линзой и пластинкой заполнены апилином (и = 1,58).
Описать характер ньютоповых колец в данном расположении. 42. Осугцествить опыт с тонкой пленкой (нефть на воде или мыльный пузырь) и проследить на опыте локализацию полос на поверхности пленки и изменение окраски при изменении угла наблюдения. 43. Рассчитать изменение видимости интерференционных полос в установке Френеля по мере увеличения ширины источника.
У к а з а н и е. Изображение источника шириной 2Ь разбиваем на узкие полоски дх (((Л), каждая из которых может дать максимальную освещенность 1в е(я. Для точки Х на расстоянии Й от центрального максимума М (рис. 11 а) освещенность, создаваемая участком 0х у середины источника, определяется выражением 4яЫ / 2яЬ '1 ЙЕ =1одх 1+сов ) =1едя ~1+сов —,. /, где для краткости через,Ю обозначено отношение ЛП~21 (ширина интерференционной полосы). Освещенность, создаваемая в Х участком с~х, расположенным влево от 5о на расстоянии х, равна е1Е = Хо 4х 1+ соя 792 лп Ажнкнин 2л.(Ь вЂ” х) 1 .Я, 2яЬ 2л.Ь Е = Хо 1+ соя х ~ /Хт = Хо 2Ь+ Хо — эш —, соэ —.. ,Ф /Г,Ю Я вЂ” ь Первый член этой суммы дает для всего экрана (для любого Ь,) постоянную освещенность (фон), а второй периодически меняющук)ся в зависимости от.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
