Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 193
Текст из файла (страница 193)
3. Определить предельный угол, .при котором наступает полное внутреннее отражение при переходе света а) из стекла в воздух; б) из стекла в воду (показатель преломления стекла 1,51, воды 1,33, воздуха 1,00). Ответ. а) г = агсв|п0,66; г 42'; б) г = агсв1н0,88; г 62'. 4. Составить уравнение плоской волны, фронт которой распространяется вдоль линии, .составляющей углы о, д, .'у с осями координат. 2к / хсозо+усозД+ асов у Ответ.
в = асоз— т ~ о 5. Составить уравнение волны, излучаемой бесконечной нитью (цилиндрическая волна). а 2л ~ г~ Ответ. в = — соэ— ~/т Т и 6. Написать выражение для монохроматической волны в виде показательной функции (в комплексном виде) и выяснить физический смысл комплексной амплитуды. 7. Написать выражение простой периодической функции, изображенной на рис. 1, и разложить ее в ряд Фурье. 8, Почему. в опыте с двумя камертонами мы говорим, что моРис. 1 дулировавное колебание приблизительно эквивалентно трем колебаниям, а в разобранном теоретическом примере говорим точно о трех монохроматических колебаниях, эквивалентных модулировахпюму? (Обратить внимание на закон изменения силы звука первого камертона.) Ответ.
В опыте закон модуляции отличен от а = А(1+ сов 2лт1). 9. Опыт, аналогичный опыту с камертоном, можно осуществить с обычным частотомером переменного тока. Нормально городской переменный ток имеет 50 периодов. Поэтому, пропуская ток через такой частотомер, мы будем наблюдать отклонение язычка, соответствующее 50 периодам. 783 У11РАЖНЕНИЯ а) Какова реакция частотомера., если ток прерывается регулярно три раза в секупду7 б) Какова реакция при нерегулярном прерывании или изменении силы тока? Проверить сделанные заключения на опыте. Ответ.
а) Вибрируют язычки 47. 50, 53; б) приходят в колебание и вновь замирают многие язычки. 10. Доказать, что яркость источника в данном направлении В, численно равна отношению освещенности Е площадки (расположенной перпендикулярно к данному направлению) к телесному углу Й, под которым виден с этой площадки испускающий участок нашего источника, т.е. В, = Е/Й. Следствие.
Яркость источника не зависит от расстояния. 11. Определить освещенность площадки Я, лежащей на расстоянии В от бесконечно большой светящейся плоскости и расположенной параллельно этой плоскости, если яркость плоскости по нормальному направлению есть В и она подчиняется закону Ламберта. Отеет..Е = кВ. У к а з а н и е. Решить задачу обычным расчезом и на основании упражнения 10. Объяснить физически, почему в разбираемом случае освещенность не зависит от расстояния. 12.
Пусть яркость Со:пща В = 1,2 10" кд,?мг. Определить освещенпостгь даваемую Солнцем на поверхности Земли (поглощением в атмосфере пренебречь). Ответ. Е = 94000 лк. 13. Вывести формулы (12.3) и (12.4) при сложении гармонических колебаний в = в д + вг = а~ вш (гЛ + ~р~ ) + аг ебп (сЛ + ~р ). У к а з а н и е. Использовать комплексную форму записи гармонического колебания в = 1ш(а~ ехр[ю(ы1+ ~р~)~+аз ехр[~(оЛ+ уг)Ц = 1ш Аехр [г(оЛ+ 0)]. 14. Графический метод ивобразсенил гармонических колебаний (рис. 2). Если вектор а~ вращается с угловой скоростью ы, начиная с положения, отсчитываемого углом ~р~ от оси Ох, то его проекция на ось Ох есть в~ —— а~ сов (оЛ+у~), т.е.
изображает гармоническое колебание с амплитудой а~ и на скальной фазой у~. Показать. что сумма двух гармонических колебаний может быть найдена путем построения диагонали параллелограмма на векторах а~ и аа, т,е. амплитуда результирующего колебания А = ОР, а его начальная фаза о = г'.РОх. Найти графически сумму нескольких гармонических колебаний, имеющих соответственно амплитуды и начальные фазы а~, у~ ', аг, ~рг, аз, уз и т.д.
(рис. 3). Р Рис. 3 Рис. 2 784 УПРАЖНЕНИЯ 15. Могут ли колебания разного периода быть когерентными между собой? От,вет. Нет, ибо разность фаз между ними непрерывно меняется. 16. При какой начальной разности фаз средняя линия (см. рис. 4.1, с. 60) будет линией нулевой интенсивности? От,вепг. При у = гг. Как осуществить на опыте такое расположение? 17.
Показать, что для бизеркал Френеля источник э и два его мнимых изображения эг и Я~ лежат на окружности, центр которой О совпадает с точкой пересечения ребра бизеркал с плоскостью, перпендикулярной к этому. ребру и проходящей через о. Рис. 4 Пользуясь этим построением, показать, что (рис. 4): 1) ЛЯ~ОЯ~ — — 2ег, если а — угол между зеркалами; 2) 2аг = 2аВ/(т+В), где 2ш -- апертура интерференции для центральной точки поля М, т — расстояние О;э', . — расстояние ОМ; если В >> г, то юг = 2п; т 3) 2ш = 2ег —, где 2ге — угол схождения интерферирующих лучей 'т+В' для центральной точки поля ЛХ: 4) Яг Яа = 21 = 2тег; т+В 5) ширина, сюлосы,'.Ж = Л т 2а Указа.ние.
Углыег,аг,гемалы. 18. Бизеркала Френеля образуют угол, равный 1'. Источник находится на расстоянии 10 см, а экран — на расстоянии 1 м от ребра бизеркал. Какова предельная ширина источника (щель, освещенная зеленым светом).' Ответа. Около 0,4 мм. 19. Какова гюследовательность чередования цветов в опыте с бизеркалями Френеля, если источник посылает белый свет? От,вет. Центральная полоса белая, цветные полосы — от фиолетового к красному; полосы высших порядков накладываются друг на друга.
20. Вывести формулы (22.2), (22.3). У к а з а н и е. Воспользоваться тождеством сов 'ргт + у(т)] = сов агт сов гр (т) — вгп агт в1п р(т). Замечаггие. Произведение у(т) сов [Ыт+ ф(т)] можно представить в виде .?(т) сов (агт + ~Цт)] = Ве Цс(т) + гв(г)] ехр (ггвт) ). 785 УПРАЖНЕНИЯ Комбинация (с(т) + и(т)) ехр(Ыт) называется комплексной сгиенень)о когерентностпи; ее модуль совпадает с ~(т), а аргумент — с а)т+ ~~(т). 21. Вычислить степень когерентности для пучков, состоящих из последовательности волновых цугов.
Комплексная степень когерентности (см. упражнение 20) определяется соотношением 1 р [с(т)+ ге(т)) ехр (тат) = ехр (к )т) — ~ аЯа(1+т) ехр Ц(р(1+т) — р(ЦЦ дй. О Пусть амплитуда постоянна., а цуги имеют одинаковые длительности. В этом случае фазу (р(Ф) можно представить следующим образом: р® =;р„ут < ~ < (~+ 1)т, г = О,1,2....., Х вЂ” 1, где (р, — случайные числа. Область интегрирования О, ~ = ЛТ разбиваем на Х интервалов длиной Т каждый.
В пределах у'-го интервала фаза р(8) имеет постоянное значение, равное (р,, а фаза (р(й + т) принимает два значения, зависящие от соотношения между т и 'Т. Если т < Т, то в интервале )Т < 1 < () + 1)Т вЂ” т будем иметь (р(1 + т) = (р, а в интервале (у + 1)Т— — т < 1 < О + 1)Т получим (р(1 + т) = (р)» ь Поэтому 1 О+1)Т- т И+1)Т ()~- ()= 1 1' "'+ 1' -р((и; -и))е)= о=о 9+1)Т вЂ” т А — 1 — ~1 — — + — ехр ~г((р» 1 — (р ))~.
л 21 т т Если разность фаз (р,».1 — (р принимает произвольные случайные значения и если % » 1, то суммой членов ехр (г((р)+) — (р) )) можно пренебречь. Следовательно, е(т) = О, с(т) = 1 — т(Т. т < Т. Если т ) т, то на всем интервале )Т < й < (у + 1)Т фазы (р(~) и (р(~ + т) принимают различные значения ((р и (р.» ) при Т < т < 2Т;:р и (р» ~ при 2Т < т < ЗТ и т.д.). Поэтому при % -+ оо имеем с(т) -+ О, е(т.) = О. Изменение знака т приведет к уже полученным результатам, но т нужно заменить на — т.
Итак, ( 1 — ~тУТ, .~т! <Т, е(т) = О,. с(т) = О, )т! > Т. Пусть теперь Х1 цугов имеет длительность Т1, %2 цугов — длительность Т~ и т.д. Тогда, прн выполнении условия Хь )) 1 получаем ( ) = — ~ Л, ~~1 — — '~~, Л = '~ (т! ') К ~ Т,~' причем в сумме по Й следует учитывать лишь ге члены, для которых Ть ) т.
Результат суммирования зависит от доли цугов Хь/Х с длительностью Т),. 786 У11РАЖ11ЕНИЯ Переходя от дискретного изменения Тв к непрерывному и полагая относи- тельное число лугов с длительностью Т в интервале Т, Т + йТ равным = ехр (распределение Пуассона), получим с(г) = 1 — — = ехр — = = = ехр (т! Пусть теперь фаза у постоянна, а амплитуда а($) есть случайная величина: тогда 1 1 с(г) = = — ~ аЯа(1+ т) сЫ. а~ 0 Для последовательности пугов одинаковой длительности Т амплитуду а(1) можно представить в виде аЯ=а~, ОТ<1< Ц+1)Т, 1=0,1,....Х вЂ” 1. Разобьем область интегрирования на интервалы с длительностью Т и рас- смотрим сначала случай ~г~ < Т. С помощью рассуждений, аналогичных использованным выше, находим ~ )= —, у [(х — — '),'+ — ',,~] ~Р, / /ст.
При болыпом зна1ении Х суммирование по 1 практически эквивалентно усреднению 1 2 — ,'~ а, =а', 1 1 — ,'> а,а, ь~ —— — ,'1 (а~ — а+а)(ад.1 ~ — а+а) = (а) . (о) ~т ~ (и) а, а,~-ь ехр (~(у, — у~+у,)) = О. В случае ~г~ > Т в подынтегралыюй йфОи а а,+~ Итак, с(т) = (й) ~2 Если изменения амплитуды и фазы аза,„ь будет фигурировать функции будут только члены а~а .1 1,, = (й)'. )г! > Т. происходят одновременно, то вместо 787 УПРАЖНЕНИЯ 22. Вывести формулу (22.11). У к а з а н и е.
Исходить из выражения Х = Х1 (м — Ы) + Хг(ы — й) + 2 Л~Т~ сов (ыт) й ~, Х1 (а~ — 2) Х1 используя формулы (22.10) и тождество созмг = сов((ы — ч)т+Вг~) = соъштсоъ(и — ш)т — япЫгв1п(м — ш)т. 23. Вычислить степень когерентности ~(т) при доплеровском механизме возникновения немонохроматичности и максвелловском распределении атомов по скоростям. У к а з а н и е. Воспользоваться формулой Эйлера 2Ц + — зр сову = 2 и интегралом Пуассона Г)гпвет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
