Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 202
Текст из файла (страница 202)
190. Показать с помощью формул Френеля, что плотность лучистой энергии и (энерггля едиглицы объема) пропорциональна квадрату показателя преломления среды. У к а з а н и е. Среда принимается недиспергирующегг, так что групповая скорость (скорость энергии) совпадает с фазовой. Поток энергии сквозь плошадку Е, составляющую угол а с направлением скорости распространения энергии с, есть И" = Гси соь сг. Плотность энергии пропорциональна квадрату амплитуды, так что И~г = ЕсйЕ, сов о и И; = ЕсйЕ,, сова, 2 2 При прохождении через гранину имеем пототс во второй среде И',л = И; — И'„. Расчет особенно прост для нормального падения, а именно Е2 '~, — * 7 Применяя формульг Френеля для нормального падения, найдем Ия = ЕсЫЭ~и = Š— ил, гг т.е.
ил = й.о и . в 2 е'~ = сову+ азгпу. Действительная и мнимая части этого выражения в отдельности представляют собой тригонометрические функции, имеющие широкое применение в вопросах колебаний. Так как большинство математических операций легче производить с показательными функциями, чем с тригонометрическими, то рационально вести вычисления таким образом: ввести вместо тсосинуса или синуса показательную функцию, имея в виду использовать в 191. Показать с помощью формул Френеля, что поток падающей энергии равен сумме потоков отраженной и преломленной (закон сохранения энергии).
У к а з а и и е. Пользуясь результатами упражнения 190, рассмотреть наклонное падение отдельно для 1-компоненты и для )(-компоненты, приняв во внимание соотношение сечвиий падающего, отраженного и преломленегого потоков. 192. Рассчитать толщину и показатель преломления поверхностного слоя на стекле 1гг = 1,5), сильно снижающего отражение для лучей с Л = = 600,0 нм при нормальном падении. У к а з а н и е. Интенсивности лучей, отраженных от верхней и нижней границ, должны быть близки между собой; разность хода должна составлять Л/2. Оигвеиг.
д = 125,0 нм, и 1,2. 193. Введение комплексных величин часто облегчает математическую трактовку вопросов, связанных с колебаниями и волнами. В основе лежит формула Эйлера уиРА>кненитт конце концов ее действительную (или мнимуто) часть. С этой поттазательной фупкпией произвести необходимые вычисления и в котще вернуться (в случае необходимости) к тригонометрическим функциям, взяв действительную или мнимую часть. Если у = ат~, то е'г = е'"' может изображать гармоническое колебание с периодом Т (ы = 2лттТ), а ехр (г(атЬ вЂ” Йх)) — гармоническую волну, идущую вдоль оси х и обладающую длиной волны Л (й = 2тт/Л), Выражение л = Се'"' = Ссояат~ + тСятттш1 изображает «колебаттие~ с амплитудой С.
а) Величина С может быть комплексной. В таком случае введение ее учитывает начальную фазу нашего колебания. Действительно, если С = = а + Ьг', то можно написать С = ге'Я, т.е. л = гехр ~и(атЬ+ б)), где г обычная (действительная) амплитуда, а д начальная фаза. При этом а = г соя 6, Ь = гятпд, Ь '=~/ т+Р, 1РР= —.
а б) Если С = а + гЬ вЂ” комплексное число, то сопряженное ему число С = а — гЬ. Показать, что квадрат действите,льной амплитуды г~ (интенсивность) равняется произведению комплексной амплитуды (С) на сопряженную с ней (С*): СС* = (а+ тЬ)(а — тЬ) = а + Ь = г . в) Пусть «комплексная~т амплитуда С имеет вид а+ гд А+гВ а +Ь Показать, что действительная амплитуда т =, а фаза д опредеА2+ В2 ляется соотношением ЬА — аВ тлд = аА+ ЬВ а+ тЬ г) Показать, что если С =,, то г = 1; 1бдтт2 = Ь/а. а — тЬ 194. Показатель преломления алмаза равен 2,42, анатаса — 2,535 (для обыкновенного луча). Можно ли при однократном полном внутреннем отражении на этих материалах осуществить круговую поляризацию света? Рассчитать необходимую форму куска и дать полную схему опыта (пренебрегая двойным лучепреломлением).
Ответ. Для анатаса ~рт = 27',о и ~рг = 35',О, для алмаза ут —— ~р~ = = 32',7. 195. Если опыт Мацдельштама — Зелени производить с широко расходящимся пучком, так что уг,лы падения будут больше или меньше предельного, то свет флуоресценцтпт будет иметь различную интенсивность в разных участках пучка. Какие участки будут более интенсивными и почему? (Обратить вниматше на толщину флуоресцирующего слоя.) Каков предельный угол в случае водного раствора флуоресцеина? 196. Показать, что в случае полного внутреннего отражения ~Е„~ ~ 2 — !Б т!в и ~Е !11~ — ! Е И!2 825 ЛП*Ажнкния У р . И ыы ю у ~3 3132 у р~ 123,б).
1~~ 132. П~в., 13 — 2 = . Р 13— ""ч' 2 р и ' р следовательно, 18 2 У к а з а н и е. Придав формулам Френеля вид Е,б вш усов 1р — вшфсовгд Е, г вш1рсов3Ь вЂ” вшф1сову Е,~~ вшусову+вшусовф ' Е,3 вшусовф+в1пь' сову ' использовать указания 3 137 и упражнение 193, г). 198.
Найти разность фаз д, падающей на металл и отраженной волн в случае нормального падения. У к а з а н и е. Придав выражению (141.3) вид бб+ 3Ь, найдем Ь 2(им) бе г а 1 — и' — (и.бб) 3 199. Найти отношение интенсивностей Ь~ = (Е~/Е,) и разность фаз д~ падающей на металл и проходящей волн в случае нормального падения.
У к аз ание. Использовав формулу (135.7), найти Ев/Е, = Ьехр(Ыв). иж Ответ..Ь , 18дц = —. (и + 1) ~ + и~.рб~ и + 1 200. Составить графики падающей, отраженной и преломленной волн (сдвиг фаз и соотношения амплитуд при нормальном падении для и = 2, (и3г) = 5 и для и = 2, (ирб) = 0,1), Ответ. Для и = 2 и (и3б) = 011 см. рис. 43. Рис. 43 201. Показать, что скорость фазы вдоль нормали ц и скорость фазы вдоль луча и в анизотропной среде связаны соотношением 21 = всовсб, где сб -- угол между направлением нормали Ы и направлением луча. 8. У к а з а н и е. Построить два положения волновой поверхности, соответствующих двум бесконечно близким моментам времени, и найти из чертежа выражение для д и е.
202. Выполнить построение Гюйгенса для различных случаев падения плоской волны на одноосный кристалл; найти направления лучей и нормалей и волновых фронтов обыкновенного и необыкновенного лучей для следующих случаев. а) Волна падает нормально на естественную грань. б) Волна падает ноРмально и поД Углом на пласт3пукУ1 выРезаннУю пеРпенДикУлЯРно к оп- У1И'А>КНЕ11ИЯ тической оси. в) Волна падает нормально и под углом на пластинку, вырезанную параллельно оптической оси и расположенную так, что ось лежит в плоскости падения и перпендикулярно к ней.
У к а з а н и е. При построении рационально преувеличивать различие в скоростях распространения обыкновенной и необыкновенной волн. 203. Определить число прерываний, осуществляемых установкой Керра, если она питается от генератора частоты и = 10 Гц, дающего импульсы 7 с амплитудой напряжения 6000 В. Конденсатор Керра имеет длину 1 = 5 см, расстояние между пластинами 1 мм. В качестве жидкости взят нитробензол (В = 2 10 ' СГСЗ). У к а.
з а н и е. При расчете обратить внимание на то, что система Керра не пропускает света всякий раз, когда разность хода лучей в конденсаторе достигает целого числа длин волн. Ошеепь 1,6. 10в, 204. Каков будет вид интерференционной картины, наблюдаемой в спектрографе, скрещенном с интерферометром Жамена, если в одно из плеч интерферометра введена тонкая стеклянная пластинка? Как изменится картина при увеличении толщины пластинки? Как изменится картина при употреблении стекла с большей дисперсией? при переносе пластинки из одного плеча в другое? при помещении одинаковых пластинок в разных плечах? У к а з а н и е. Уравнение й-й полосы при введении в одно плечо пластинки толщиной с~ с показателем преломления и, а в другое — толщиной д' с показателем преломления и' имеет вид р = а[ЙЛ+ (и — 1)д — (п' — 1)д'), причем и и и — функции Л.
206. Какой вид будет иметь интерференционная картина (см, упражнение 204), если в одно плечо введена стеклянная пластина, а в другое— слой паров натрия? У к а з а н и е. Обратить внимание на очень быстрое изменение показателя преломления паров натрия вблизи полосы поглощения. 206. а) Вывести формулу Эйнштейна (160.2) для интенсивности рассеянного света.
б) Исходя из формулы Эйнштейна„вывести соответствующую формулу для газов, совпадающую с первоначальной формулой Рзлея: 1 — 1о ~ — / Х(1+соя О) — 1о — (1+соя 0). я~1'~ / де '1 ~ я~ (е — 1)2 2Л П ~ам~ 2Л Л в) Вывести формулу Рзлея для газов, рассматривая непосредственно флуктуацию числа частиц. г) Отношения интенсивностей анизотропного, суммарного и изотропного рассеяния выразить через деполяризациго суммарного рассеяния (наблюдение под прямым углом к падающему пучку).
У к а з а н и я. а) Исходить из формулы (160.1) и выражений, полученных в теории термодинамических флуктуаций: Воспользоваться термодинамическими соотношениями 827 УПРАЖНЕНИЯ и приближенными равенствами (более подробно см.: И, Л. Ф а б е л и н с к и й. Молекулярное рассеяние света.— М.: Наука, 1965 г.). б) Воспользоваться уравнением состояния идеального газа и соотношением е — 1 = сопяС Х. /'де ~ в) Записать Ье в виде Ь- = ~ ~ ЬХ и воспользоваться соотноше~дж ~. нием (д"ъ М) ~ = Х, где Х вЂ” среднее число частиц в том объеме, для которого вычисляется флуктуация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
