Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 205
Текст из файла (страница 205)
Х2 и расположенными в точках ел, 2 общей оси. Проанализллровать полученные формулы для различных соотношений между 11 и 12 ® = .6, ~л -+ оо, ~л < О, ~2 ) О и т.п.). Оливепл. Х 2~'2/Х вЂ” 1 2 ®+12)/Х вЂ” 1' ЛХ, ао — —— 4я (2) У к а з а н и е. Из соотношешля (228.1) и условий задачлл следуют два уравнения (аой) '2 ЯО (ао") Я1 — ЯО ' 272 = 22— — 2Хл —— ел— В = р,с+1,А, Сехр( — йХ) = р2Вехр(гйХ), (1) Рехр( — И1Х) =12Вехр(гйХ) (начало координат помещено на первом зеркале, ось Ое перпендикулярна к плоскости зеркал).
Решая эту систему уравнений, можно получить коэффллциенты отражения и пропускания эталона (см. упражнение 47). Если положить А = О, то система уравнений (1) определяет собствешлые решения задачи. При А = = О система (1) однородна, и ненулевые решения возможны только в том случае, когда ее детерминант равен нулю. Это условие дает уравнение относительно Й У11РА2КНЕНИЯ относительно искомых величии яе, ае. С помощью параметров — — К =1 —— 211 " ' 212 соотношения (1), (2) можно записать в виде К2( К1) К +К. — 2КлК (4) лх ао = 2я 1Лз (4) вытекает следующее условие сушествования решения: 0 <К1К2 <1, или, в прежних обозначениях, 0< 1 — —, 1 — — <1.
(5) Ответ. (е,,„д ю 1+ ' ~, 6~, <<1, (е= я, — (2т + 1) + — (2п + 1) а(т+(,о+1,2 ~~Гт,,и,д (ЛЬ Ль" = Ь(е ~ — (2т + 1) + — „(2и + 1) а2 2ГС 2Л~.~ = Йп, 252. Установить зависимость дифракционных потерь от величин лп, и, ~/ЛХ/а, ~/ЛХ/Ь для резонатора с плоскими зеркалами размером аЬ.
У к а з а н и е. После распространения волны на длину л за пределы второго зеркала может проникнуть лишь та часть энергии, которая проходит через полосу вдоль перллмегра исходного волнового фронта с шириной порядка ~/Л.1. Принимая зависимость энергии от координат вида 21п ~ — п22() 21п ~ — пу), дня полной энергии находим ~ — ли~ (в(лл ~ — лил) дт(1р = —. О О Энергия, сконцентрированная в указанной полосе, равна лй /Л1. 20 1' ! ( — щ~) 1~~2 1 ~ ( — У) Г~ — ( — ь + — ) (лц О О 251. Вычислить разность частот, отвечающллх двум боковым волнам с ллндексамлл тп, и, отличающимллся на 1.
Сравнллть с 22,(в, соответствующей изменению на 1 аксиального индекса а. 837 У11РАЖЕ1ЕНИЯ причем синусы заменены аргументами. Следовательно, для относллтельнллх потерь имеем 2 Ъг~~ 2»г Л'» 12) Коэффициент пропорциональности, согласно строгим расчетам, равен 1,03. Полученное соотношение справедливо, если синусы можно заменить аргументами, т.е. если ЛХ гг т ((1, ЛХ гг и <(1.
Тот же результат 12) получается и при раздельном анализе дифрак- цлпл Френеля для каждой плоской волны, образующей стоячую волну 1Ц. При сложелпли дифракционных картин от пчоских волн следует принять во внимание противоположность их фаз. 253. Опредегплть зависимость излучения лазера от времени при возбуж- дении Х типов колебаний, эквидллстантно расположенных в шкале частот и обладающих одинаковыми амплитудами, ып (!У~го!/2) / Я вЂ” 1 Ответ. в = ХА . сов~ ого+ Лог вгп 1г".го!/2) 2 Указание. Всумме Л вЂ” 1 а = А ~~2 сов ~гоо + у'Ьго)1 !=о использовать комплексное представление тригонометрллческих функций.
254. Вывести формулу 1232.3). У к а з а н и е. Воспользоваться соотношениями и / СПО 2 / Г Р = 2гг ~ БЯгйт; Я(г) = — Ао 1 1 — — ) 8гг г», а2 ) О 255. Определять кривизну р луча в пучке с линейной зависимостью освещенности от координаты в поперечном сечении.
Вычислить угол д отклонения и смещение пучка Ьх в слое толщины 1. н2Ао д и2Ао1,~ п2Ао 2 2 2 2 Ответ. р =; д = ; Ьх= 2апо ' 2поа ' по 4а У к а з а н и е. Воспользоваться выражением для кривизны луча р = И = — 11пгг); полагать д « 1. г1х 256. Вывести формулы 1233.3). У к а з а н и е. Применить формулу решетки Л гго4э!пд — э!!!до) = йЛ; аг = 2по в!и дод и закон преломления и вшд' = вглгд. 257.
Вычислить дипольный момент ангармонической молекулы, индуцировашльпл мопохроматическим полем Ю(г) = Асов(а!г+ гр) У11РА>КНКНИЯ и полем, состоящим из двух монохроматических волн Е(1) = А«сов(««11+ «р«) + Аг сов(««21+ «рг), Ответ. е /т Зу (е/т) 2,«3 е А 1 сов2(«Л+«р) ~ у ( «. А '~ совЗ(««1+ р) ш щ «во «'«о (2«т)2 ] 4 1,тп ««о «тг,т' «аког (Зот) Д6 сов (Ф1 Ф2) сОв (Ф1 + Ф2) Р=Р1+Р2+ 2 1 2 ~ 2 2 + + — — -:-(- +-) ! 3 уе" ( г [ 2 сов Фг сов (2Ф« — Фг) сов (2Ф1 + Фг) 1 + 4тз [ ~ ото «ог а'о (2ш1 — сог) «во (2ш1 + «вг) 1 2 2 сов Ф1 сов (2Ф2 — Ф1) сов (2Ф2 + Ф1) +12~22+2,.2+2 [о2о — «в1' «во — (2азг — «в«)2 ««о — (2отг + «в1)2 А«2 В1,2 = 2 ' 2, Ф1 2 = ««1,21+ «р1,2.
«~~0 «~~1,2 258. Найти плоские мопохроматические (частота 2«т) волны, являющиеся решением уравнений Максвелла, [1сЕ] = — Н, 2«« 2«о [1сН] = — — е(2«о)Š— — 4тгР„ с нелинейной поляризадией Р„= еРо ехр [ — 21(«в8 — 1сг«г)]; е — единичный вектор вдоль Р„. При отыскашзи частного решештя неод- нородной системы 1с считать равным 21с21, Ответ. Е = А" ехр [ — 1(2«Л — 1сггг)] + В ехр [ — 21(«о1 — 1сгтг)], 2«о 42т тсгге — 41с21(1сгге) г .2 С ' е(2от) 1сгг — 4Ц1 А — произвольный постоянный вектор.
259. Проверить справедливость неравенства Йз > йг + й1, й, = — ' п„по = п(от«) с при условиях «вз = «вг+«в1 > ««2 > со1, пз > пг > п«. Ответ. Неравенство эквивалентно (пз — пг)«вз > 0 > — (пг — п1)щ1. Величины р1, рг в (2) получаются из р (см. (1)) заменой «в, А на «в1, А1 и на «вг, Аг соответственно. В (2) введены обозначения 839 У11РАЖЕ1ЕНИЯ 260. Выразить коэффициент усиления для стоксова вынужденного комбинационного рассеяния через интегральную (по частотам и углам) мощность спонтанного комбинационного рассеяния.
У к а з а н и е. Рассуждаем по аналогии со случаем индуцированного испускания при переходах атома между состояниями т и и. Согласно формулам (223.3) и (211.15) имеем соотношения 2 гт(о~) = — а „(ш)(ʄ— Х„), 9 „(ге) = гква (и)М с помощью которых можно выразить гт(ы) через д'""" (щ): 4йю ~ Х,„ / Полученная связь между коэффициентом усиления и спектральной плотностью спонташюго испускания является общей для всех радиационных процессов (в том числе и для комбинациошюго рассеяшэя), причем под т, н следует понимать состояния, начальное и конечное для рассматриваемого процесса. В случае стоксова комбинационного рассеяния начальным состоянием т служит невозбужденное колебательное состояшле, конечным и — возбужденное. Если Ьы, » йТ, то Х„/Х « 1 и член Х„/М можно опустить.
Принимая во внимание поляризовавность и анизотропию комбинационного рассеяшля (линейно-поляризованное возбуждающее излучение) и предполагая лорентцову форму контура спектральной линии, можно прийти к соотношению 3 Л," Ф, 3 Л~~СХ 4~г Ьгв., Г 4~г лги,Г 261. Определить резонансную часть вынуждештьтх колебаний ядер молекулы при ее взаимодействии с полем, описываемым формулой (239.5). Ответ.. С=(; ы(. +р — р): Е = рАА, (1) 2тГшг У к а з а н и е. Вынуждающая сила в уравнении движения ядер (239,4) содержит часть АА, сов ~(~ — щ,)1+ р —;р,], которая изменяется с собственной частотой колебаштй ядер. Колебашая, вынуждаемые этой частью силы, и описываются формулой (1). 262.
Найти направление, для которого происходит синфазное сложение вторичных антистоксовых волн, излучаемых слоем рассеивающего вещества (толщина слоя И, см. рис. 46) при больтпом усилениьг стоксова излучения (а,д » 1) и мачом радиусе пучка возбуждающего света (а « Лгг~а,).
Ответ. 4ойп д ~ 2(й, + й„— 2й) 2 ~а 8 где д — угол между направлениями сицфазности и распространения возбуждающего излучения. У к а з а н и е. Фаза колебаний антистоксовой составляющей р„дипольного момента (см. (239,7)) равна 2 р — у„где ~р и у, — фазы возбуждающей и усиленной стоксовой волн в точке г1 (хб д1, г~) расположения одной из 646 У111'А1КНКНИЯ рассеивающих молекул. В точке наблюдения г(л,д, ) (см. рис. 46) фаза ангистоксовой волны, иснущеннои этой молекулой, равна 1~ = Й„)г — гг ( + 2~р — у„ ~4ъ8'Пав аз с Возбуждающая волна распространяется вдоль оси я, вследствие чего ып У=йг1„й= с Стоксово излучение в точке г~ есть сумма стоксовых волн, излучаемых всеми молекулами слоя. Обозначим положение одной из ~п~х через г„(л~, у~, г, ).
Фаза стоксовой волны от ~-й молекулы в точке г~ равна у., =Й,~г~ — г,~, Й, = —. с Таким образом, 1р = 2й="1+ й,)г — г1( — й,)г1 — г,). Рассматривая актистоксово излучение в зоне Фраунгофера, получим гг~ тх1 + уд1 ~г — г~~ =г — — = г — я1совд— г Поскольку по предположешаю а,д » 1, наибольшую интенсивность имеют стоксовы волны, прошедшие почти всю толщину рассеивающего (и усиливающего!) объема, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
