Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 62
Текст из файла (страница 62)
6.45. Распределение иитеисив- 1(1 ) 11(1 ) + 1а(~ ) + ности при дифракпии монохрома+ Ж У1х(Р)1а(Р)у (М. тическоа волны иа двух щелях Здесь 1, (Р) и 1, (Р) — интенсивности света от каждого из источников; у„ (М) — комплексная степень когерентности для обоих источников; М = (г,— гх)/с, где (г,— гх) — разность хода О,Р— О,Р двух интерферирующих волн. Для простоты считается, что обе волны распространяются в среде с показателем преломления и = 1.
Если п~ 1, то вместо ~гв — г,[ следует ввести оптическую разность хода, что справедливо для любой среды (без учета ее дисперсии). Запишем соотношение (5.10), вводя в явной форме модуль и аргумент комплексной степени когерентности: ухв (И) = [ухв (И)[ехр (1 [ахт (М) — 2 птМ), (6 57) где (6.58) атв (М) = 2 птМ+ агя уха (Ы). В дальнейшем необходимо учитывать немонохроматичность излучения, используемого для тех или иных интерференционных опытов. В соотношениях (6.57) и (6.58) т = с/Х означает среднюю (или центральную) частоту, соответствующую максимуму излучения.
Очевидно, хи хи что 2птМ = = сМ = = (г,— г,) равно разности фаз д и можно Х Х в явном виде записать зависимость суммарной интенсивности от 6, которая просто определяется в эксперименте. Переходя к тригонометрическим функциям, запишем (5.10) в следующей форме: 1(Р) =14(Р) + 1а (Р)+ 2) ' 1т (Р) 1,(Р) [ ута(И) [ соз [сетя (Л/) — 5). (6.59) 349 Если 1уда (Д()~ = 1, то интенсивность в точке Р окажется такой же, как и при интерференции двух строго монохроматических волн частоты и с разностью фаз между колебаниями в точках О, и О„равной ада (Д().
В этом случае можно считать колебания в точках О, и О, когерейтными, но с соответствующим запаздыванием по фазе одного колебания относительно другого. При ) уда (д() ~ = О интерференционный член обращается в нуль, т. е. колебания в точках Од и О, некогерентны. Если О ( ~уда (Д() ( ( 1, то колебания считаются частично когерентными, т. е. происходит интерференция квазимонохроматических волн. Последний случай будет больше всего интересовать нас при дальнейшем рассмотрении. В случае квазимонохроматического света интерференционный член не равен нулю; ада (Д() и ~уда(И)~, зависящие отД1= (га — гд)1с, изменяются относительно медленно.
На экране наблюдается некоторая стационарная интерференционная картина, соответствующая синусоидальному распределению с почти постоянной амплитудой 2У1д (Р) 1, (Р) 1уда (Д()~, накладывающемуся на постоянный фон 1, (Р) + 1а (Р). Часто можно положить 1, (Р)им 1, (Р). Такое предположение справедливо, если пренебречь изменением амплитуд колебаний двух идентичных источников при малой разности хода (га — г,~; тогда у тмакс — 1мии ~ (дг)~ 1макс+1мии Мы получили ранее это важное соотношение (5.16), позволяющее сопоставить экспериментальные или расчетные данные о видимости интерференционной картины с оценкой степени когерентности двух иитерферирующих пучков света.
Вспоминая рис. 5.5, на котором сопоставлены результаты интерференции двух моиохроматических и двух квазимонохроматических волн, можно оценить, как видоизменится при использовании частично когерентиого света картина дифракции на двух щелях ($' = 1), представленная на рис. 6.45. Очевидно, что если Г(1, то максимумы будут по величине меньше, а минимумы отличны от нуля (рис. 6.46). Приводимые ниже расчеты должны подтвердить справедливость этого качественного рассмотрения. Соотношение (6.59) дает некоторую дополнительную информацию об исследуемых источниках света.
Действительно, запишем условие максимума функции 1 (Р) соз (ада (Дг) — б) = 1 (6.60) в виде — (га — гд) — а„(Д() = 2 тя, 2м (6.61) где т = О, ~- 1, 1-, 2, ... Выражение (6.61) отличается от условия (2 п1к) (ги — г,) = 2 тп, полученного ранее для двух синфазных источников монохроматических волн. Наличие ада (д() Ф О и вытекаю- а1ее отсюда условие (6.61) можно истолковать как запаздываннепб фазе излучения одного из источников по отношению к другому. Такое запаздывание по фазе неизбежно должно привести к сдвигу интерференционных полос относительно полос, возникающих при интерференции синфазных монохроматических источников.
Этот сдвиг легко оценить. Для конкретности рассуждений рассмотрим схему опыта Юнга, показанную на рис. 6.47. Пусть источником света служит однородный длинный излучатель (самосветящаяся щель) шириной 2а, расположенный симметрично относительно Р, и Р, на расстоянии 17,. Обозначим через Р расстояние между экранами А и В, Р,Р, = д; тогда ширина интерференционной полосы для монохроматического излучения л гл У к « л гл л ллм и л а Рис. 6.46. Распределение интенсивности при дифракции квааимонохроматвческой волин на двух щелях Рис. 6.47.
Схема опыта Юнга с длиной волны Х равна бй = 1)Лгс((см. $5.1). Но смещение на одну полосу соответствует изменению разности фаз на 2п. Следовательно, наличие агв (Ы) в условии (6.61) должно привести к сдвигу интерференциониых полос на расстояние х = — ата(М) относительно 2нд полос, создаваемых двумя синфазными монохроматическими источниками. Измерение этого сдвига в принципе позволяет оценить ахв (М). Итак, видимость интерференционных полос определяет модуль комплексной степени когерентности ~ уха (Л0 ), а положение полос непосредственно связано с аргументом этой функции. Заметим, что для интерференции при очень малой разности хода соотношение (6.59) можно записать в несколько иной форме.
Допустим, что разность хода ~ г, — г,~ значительно меньше длины когерентности аког = Сквот' (г, — г,~ = ссх(<'= ет„„. (6.62) Следовательно, гх1 .-'- т„,„и ввиду медленного изменения у„при малых М интенсивность света в точке Р 7 (Р)=7х(Р)+!в(Р)+2)/'гт (Р) Ув(Р) ~ ум(0) ~ сов(атв(0) — 61.
(663) Перейдем к исследованию дифракции на двух отверстиях Р, и Р, в непрозрачном экране при освещении их протяженным некогерентным источником света. 2Я Интенсивность и произвольной точке Р нй экране В задйется вырйжением (6.63), для определения которой прежде всего нужно знать величину ] у„(0) ]. Для нахождения модуля комплексной степени когерентности следует воспользоваться теоремой Цернике'. В этой теореме доказывается, что комплексная степень когерентности колебаний в точках Р, и Р, пропорциональна амплитуде напряженности поля в точке Р, дифракционной картины с центром в Р„ создаваемой плоской волной на отверстии в непрозрачном экране, которое точно совпадает с исследуемым источником (рис.
6.48). Применяя теорему Цернике, нужно оценить амплитуду напряженности поля при дифракции плоской волны на щели шириной 2а, следовательно (полагая, что Р, ~ «[), ] у» (О)] ~ — ~, (6.64) к 2аи . 2наа 6 где х = — з[п «р = — „. Заметим, что «а 1' ] у„(0) ] можно оценить другим способом— менее общим, но органично связанным с « проведенным ранее выводом.
В 9 5.4 мы находили функцию видимости для самосвернс. 6.48. построение, пояс- тящейся щели, исследуя наложение пучков няв»щее применение теоремы света, образовавшихся при раздвоении исЦернике ходного светового потока в результате отражения от двух параллельных зеркал (см. рис. 5.17 и 5.20). Два отверстия Р, и Р, в непрозрачном экране А также делят на два пучка световой поток, исходящий из щели В (см.
рис. 6.47). Эти два пучка затем соединяются в точке Р, и в силу пространственной когерентности такой системы на экране В возникает интерференционная картина. Если для обеих установок апертура 2«о интерференции одинакова, то для определения видимости интерференционной картины на экране В, получившейся в результате взаимодействия пучков света от отверстий Р, и Р„ можно воспользоваться формулой(5.35), полученной для щелевого некогерентного источника света. Мы имели ]г = ] з]п х/х], где параметр х определялся отношением ширины щели 2а к ширине интерференционной полосы 6Ь = ЛР,Ы. Тогда х = 2 па«1/(ЛР,) и для видимости интерференционной картины получаем ~ и!п [2иа4/(ЛР»)] ~ (6.65) 2на«(/(Х Рд) В данном случае ]/ = ]7»я (О)]. Следовательно, соотношение (6.65) дает выражение для модуля комплексной степени когерентности, которое, конечно, совпадает с (6.64).
График этой функции представлен на рис. 5.20, и, хотя обозначения, принятые здесь и на рисунке, неодинаковы, этим графиком можно воспользоваться для решения постав- «Вывод и обсуждение теоремы Цернике см. в кн. Франсон М., Славскийй С. Когерентность воптине. М., «Наука», !968. 252 (0)~ у ~ г!п (2 г/т) 2лал/Х (6.66) Соотношение (6.66) удобно для оценки допустимых угловых размеров в опыте Юнга и будет использовано нами ниже.
Для нахождения 7, (Р) и ув (Р) в (6.63) нужно задаться формой отверстий Р, и Р,. Пусть эти отверстия в экране А представляют собой две щели одинаковой шириной Ь, параллельные щелевому источнику Я и расположенные симметрично относительно него. Тогда, используя соотношение (6.36), описывающее распределение освещенности при дифракции плоской волны на щели шириной Ь, имеем* Гв!п(пь и!п ~р)/Х )е (пЬ а1п ф)/Х (6.67) Это выражение преобразуется к более симметричному виду, если ввести следующие обозначения: 2 р = Ь/Р (2)1 — это угол, под которым видна каждая щель из точки Р) и г ж О з)п ~р — расстояние точки Р от оси симметрии (см. рис.
6А7). Тогда интенсивность, создаваемая каждым из пучков в точке Р, выразится формулой , (Р), (Р) Гм.( ~И>1 2прг/Х (6.68) В этих же обозначениях для разности фаз 6 между двумя интерферирующими пучками получим 2л . 2пйг 2лсс'г 6= — Й 51п ф= — = —. х иу х (6.69) * Обычно представлает интерес распределение освещенности на экране, н в последующем изложении константу /а будем считать равной единице. 253 ленной задачи. При очень малом расстоянии с( между отверстиями Р, и Р, видимость интерференционной картины близка к единице. Затем она спадает до нуля (при Ы = "тР,/(2а)) и снова возрастает, оставаясь, однако, значительно меньше единицы. Пользуясь этим графиком, легко оценить отношение 2 а/Р, = 2 а, при котором видимость У для данных значений с( и Х будет не меньше какого-то наперед заданного числа в интервале О< У< 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
