Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Исследуя распределение освещенности в фокальной плоскости линзы Е„можно определить видимость дифракционной картины~ Фраунгофер, выдвинувший в начале Х1Х в. идею о возможности й7следования дифракции плоских волн, визуально исследовал распределение освещенности с помощью подзорной трубы, «установленной на бесконечность». В этом случае роль линзы Е,играл объектив трубы и образовавшаяся дифракционная картина наблюдалась через окуляр.
Нетрудно заметить, что дифракцию Фраунгофера можно рассматривать как предельный случай дифракции Френеля при а — » оо и ае — » оо. ЕсЛи источник о нельзя считать точечным, то надо исследовать дифракцию квазимонохроматической волны и связанное с этим ухудшение видимости дифракционной картины. Изменение видимости )г можно оценить теоретически и экспериментально. В расчетах освещенности дифракционной картины, проводимых в настоящем параграфе, допустим когерентность освещения всего отверстия. В последующем (на примере дифракции на двух щелях) покажем, как изменяется видимость дифракционной картины при учете степени пространственной когерентности, зависящей от размеров источника света. Применение метода Гюйгенса — Френеля в данном случае весьма просто.
Будем считать, что воображаемая поверхность о совпадает с плоскостью непрозрачного экрана и целиком закрывает исследуемое отверстие. В наиболее простом случае — нормальное падение исходной волны на поверхность экрана — дополнительная разность хода лучей от различных участков щели определяется углом дифракции д. Упрощается и вычисление множителя к (ф), значение которого влияет на интенсивность в центре дифракционной картины и не сказывается на распределении интенсивности.
В эксперименте же, как правило, исследуется лишь относительная интенсивность (интенсивность в центре дифракционной картины условно принимается равной единице), так как относительные измерения несравненно проще и надежнее абсолютных измерений распределения освещенности, требующих предварительной градуировки приемников света, учета возможного поглог ения и т. д. Таким образом, (расчет освещенности дифракционной картины сведется к учету интерференции между фиктивными элементарными источниками, заполняющими изучаемое отверстие в непрозрачном экране.
Все они когерентны, поэтому нужно найти амплитуду суммарного колебания, а затем квадрат этой величины, определяющий распределение освещенности в главной фокальной плоскости линзы ЕДНе будем исследовать общую задачу — дифракцию плоской волны на произвольном отверстии, а сразу перейдем к решению одной очень важной частной задачи. Рассмотрим излучение длинной и тонкой самосветящейся нити, каждая точка которой испускает плоскую волну, падающую нормально на щель ширины Ь в непрозрачном экране. Образующие щели параллельны светящейся нити. Примем это направление за ось )'.
Ось Х проведем в плоскости непрозрачного экрана перпендикулярно образующим щели, а ось Я вЂ” перпендикулярно этой плоскости. Очевидно, что в данном случае можно решать одномерную задачу без учета интерференции вдоль оси У, так как все точки бесконечно длинной самосветящейся нити являются совершенно некогерентными источниками. Как это обычно делается, будем решать скалярную задачу*. В дальнейшем мы затронем вопрос о постановке электромагнитной векторной задачи лишь в связи с появившимися за последнее время работами о поляризации излучения дифракционной решеткой. * См:. 3оммерфельд А.
Опгкка, $46. Итак, проведем необходимые расчеты (рис. 6.27): участок з(х посылает в направлении Г, составляющем угол ф с осью Я, плоскую волну с запаздыванием по фазе на /ьх з)п ф. При записи амплитуды этой волны учтем, что вся щель в направлении ф = О посылает излучение с некоторой амплитудой Е,. Следовательно, участок з/х щели шириной Ь пошлет в направлении Т волну з(Ео с амплитудой Е, з(х/Ь, т. е. дЕе = — ' ехр 1( (зо/ — Ах з1п ф)), откуда ь Ео — — — ' ехр(йо/)~ехр( — Ихяпф)з(х= ь о = — ехр ((оз/) Ез,. ехр ( — Ихз!и ф) !ь ...езр( — ИЬ з!и ф) — 1 ~ = Ео ехр ((оз/) Ь вЂ” И51пф о — ИЬз!пф (6.33) Соотношение (6.33) легко преобразовать к симметричному виду, позволяющему применить формулу Эйлера: ехР ( — иь Яп /2 — ехР (иь з!п ф/2) е !/(оз/ — ьь з)п ф/2)) (6 34) — 21 (ЬЬ Мп ф/2) Обозначим — АЬ яп ф= — яп ф через и.
Очевидно, что амплитуда 1 . пь волны, распространяющейся под углом ф к оси У, равна Ео — — Е, з|п и/и. (6.35) Переходя к интенсивности стационарной дифракциоиной картины /о (т. е. устанавливая распределение освещенности), имеем /,р = /,(з1пи/и)'. (6. 36) Исследуем это выражение. Как и следовало ожидать, интенсивность максимальна в центре дифракционной картины. В этом случае ф = О и и = — яп ф также пь з обращается в нуль.
Хорошо известно, что 1пп (яп и/и) = 1 и, о следовательно, /р=о = /о. При некоторых углах, отличных от ф = О, будет наблюдаться полное исчезновение света. Это произойдет в тех случаях, когда з)п и=- = О, а и ~ О. Отсюда сразу же получается условие возникновения минимумов в распределении освещенности и = + ти, где т = 1, 2, 3, ..., или Ьз)пф = -)- т)з. (6.37) Заметим, что первый минимум можно наблюдать под углом, удовлетворяющим условию яп ф -)- )з/Ь. Из дальнейшего станет ясно, что основная часть потока энергии сосредоточена в этих пределах изменения угла дифракции. Между минимумами расположены побочные максимумы освещенности, которые, как легко показать, возникают при значениях угла ~р, получающихся при решении трансцендентного уравнения (я и = и, а именно при з(п~р = ~ 1,432/Ь,з(п<рв = ~ 2,461/Ьит.д. (6.38) С увеличением угла дифракции быстро уменьшаются экстремальные значения функции (з(п и/и)в.
Если считать /а = 1000 и обозначить интенсивность первого побочного максимума через У„а второго— через /а, то получим /а . /а: /в = 1000: 47: 17. Следовательно, можно утверждать, что, хотя основной световой поток сконцентри- Н!1 -Лл -ял-.~т з уг 2аг й~ и Рис. 6.27. К исследованию диф. ракции плоской волны на шелк Рис. 6.28.
График функции (в!и и/и)е рован в пределах, определяемых значениями 81п ф = ~ Х/Ь, некоторая часть его будет распространяться в направлении первых ( ж боЬ энергии) и даже вторых ( ж 2о4 энергии) максимумов. Распределение освещенности при дифракции плоской волны от щели (график функции (ып и/и)в) показано на рис. 6.28. На опыте легко заметить относительно слабые первые побочные максимумы. Эксперимент лучше всего проводить, используя излучение лазера, удовлетворяющее всем сформулированным выше основным условиям поста. вовки задачи.
Соотношение (6.35) позволяет подробно исследовать зависимость ширины дифракционного максимума от линейных размеров отверстия (ширины щели Ь). Чем меньше щель Ь, тем шире центральный максимум. Нетрудно заметить, что при ЬжХ центральный максимум расплывается на всю полуплоскость (з(п ~р, ж 1, т. е. ~р, ж и/2). Дальнейшее уменьшение ширины щели не имеет смысла, так как при этом будет наблюдаться монотонное уменьшение интенсивности прошедшего света. В опытах по дифракции света обычно используют щели, ширина которых Ь )) Х, и, следовательно, угол дифракции ~ра, соответствующий первому минимуму, значительно меньше и/2. Мы условились пока не рассматривать роли размеров источника (пространственной когерентности в явлениях дифракции). Однако из сказанного выше можно сделать очевидный качественный вывод: чем уже щель, тем меньшедолжны сказываться размеры источника на распределении освещенности в дифракционной картине.
Действительно, роль размеров источника света отчетливо проявится в том случае, когда суммарное уширенпе центрального максимума будет в основном обусловлено наложением дифракционных картин от различных участков источника света. Этот случай иллюстирует рис. 6.29, где реальный источник условно заменен тремя точечными источниками, расположенными в его пределах. Используя полученные выше формулы, легко вычислить распределение освещенности нри дифракции плоской волны на прямоугольном отверстии шириной Ь и высотой а.
Напомним, что при расчете освещенности дифракционной картины от бесконечно длинной щели все элементы вдоль оси 1' считались некогерептными источниками и создаваемые ими освещенности просто складывались. Очевидно, что в случае дифракции плоской волны на Ь) прямоугольном отверстии так де- лать нельзя..Надо осветить отверРис. 6.29. Наложение главных максимумов интенсивности при дифракции стие улаленным точечным источнниа в(елн света от трех точечных ис- ком или параллельным пучком све- точников та. При описании опыта необходиСправа — сравнительные размеры главных МО ПРОВЕСТИ СуММНрпваНИЕ амплн" накснмумов в дифракционноп картине, создаваемой нротяшениым (сплошная крп- туд такжЕ И вдпль ОСИ )г, Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
