Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Это приводит, например, к тому, что при измерении интенсивности света, прошедшего через исследуемое отверстие, трудно установить наличие каких-либо дополнительных максимумов и минимумов на границе света и тени и описание явлений в рамках геометрической оптики оказывается соответствующим опыту. Однако остается невыясненным вопрос о том, в какой мере такое описание соответствует электромагнитной теории света и какое место занимают представления геометрической оптики в этой общей теории. Поэтому рассмотрим более тщательно вопрос о взаимосвязи волновой и геометрической.
оптики. Покажем, что уравнения электромагнитной теории света содержат в себе решение, пригодное для описания ,'построе- ний геометрической оптики, оперирующей понятием лучей, которые в оптически однородной среде прямолинейны. Плоская электромагнитная волна характеризуется тем, что направление ее распространения и амплитуда повсюду одинаковы. В общем случае электромагнитная волна этим свойством не обладает.
Тем не менее часто электромагнитную волну можно рассматривать как плоскую в каждом небольшом участке пространства. Это возможно тогда, когда амплитуда и направление распространения волны почти не изменяются на протяжении расстояния порядка длины волны. При выполнении этого условия можно ввести волновые поверхности, т. е. поверхности, во всех точках которых фаза волны в данный момент времени имеет одно и то же значение. В плоской волне волновые поверхности представляют собой плоскости, перпендикулярные направлению распространения (лучу). Поэтому и в общем случае можно говорить о направлении распространения волны на каждом небольшом участке, считая это направление нормальным к волновой поверхности, и оперировать понятием лучей, т. е. линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением распространения волны.
В приложении к геометрической оптике (Х-~- О) такое приближение становится особо значимым, так как на бесконечно малом участке любая волна эквивалентна плоской. В плоской монохроматической волне электромагнитное поле описывается уравнением Е(г 1)=Ею(г) е-ь' где Ео(г)=зежг зем~" <">. (6.11) В выражении (6.11) введен единичный вектор луча з, который определяется как з=йlй. Очевидно, что в изотропной среде 2а 2и К= — з= — лз=й, пз. Х 3 Но в самом общем случае монохроматического поля можно ввести новую функцию Я (г), называемую эйконалом, которую мы будем считать конечной и непрерывной в данной области пространства.
Определим функцию 3 (г), записав Е (г)=е(г) еичзм1. (6.12) На малых участках пространства можно разложить 3 (г) в ряд, ограничившись членами первого порядка: 5(г)=Я,+г( — ~ =3,+г(дгаб5),. дг Гз 219 При этом выберем начало координат внутри рассматриваемого участка пространства и значения (йгаЫ)е и функции е (г) возьмем в начале координат. Тогда для амплитуды произвольной электромагнитной волны получаем Е (г) в((1) егтнэвемю(г ягав51 (о.13) В той области, где в разложении Я (г) можно ограничиться членами первого порядка, зависимость амплитуды произвольной монохроматической волны от координат имеет такой же вид, как в плоской волне.
Поэтому, сравнивая выражения (6.11) и (6.!3), приходим к формулам, обычно называемым уравнениями эйконола: пз = дгаг( 5, или (дгаг( Я)в = пв. (6.14) Из этих выражений следует, что единичный вектор луча з можно вычислить по формуле и — = ягаб о. дг ~я (6.15) 220 ягад 3 У 3— 3/(дЗ! дх)е+ (дд / ду) е -(- (д3 (де)' рис. аль. К выев- Рассмотрим некоторые следствия выражений ду выражения (6.14). (ела) - У -" - Если показатель преломления одинаков для всех точек области (а = сопя(), то в такой оптически однородной среде лучи будут прямолинейны. В частности, одним из простейших решений уравнения эйконала будет линейная функция Я = и (аях+ аеу+ авг), где аг ам ав— направляющие косинусы, для которых всегда справедливо соотношение ах~+ ад+ аве = 1. Следовательно, такое решение (6.14) имеет две произвольные постоянные, т.
е. получено уравнение плоскости. Это значит, что семейство нормалей в данном случае является системой параллельных лучей. Решением (6.14) с одной особой точкой (при я=сопз1) является выр х-, а -УР~7~7.в~ г г гх-~. семейство нормалей представляет собой систему лучей, расходящихся из точки г = О, ортогоиальных поверхностям равиои фазы сферической волны. Уравнение (6.14) позволяет определить, как искривляются световые лучи в оптически неоднородной среде. Для большей наглядности преобразуем его так, чтобы получить в явном виде зависимость кривизны луча от градиента показателя преломления. Обозначим через йг (рис. 6.15) приращение радиус-вектора г, проведенного из начала координат в некую точку на луче. Приращение дуги луча обозначим й1.
Тогда йгlй1 = з, а уравнение луча Легко подсчитать чему равна производная: — = — — = ягаг(5 —. .Кя Взг аг 1 'оч о'г Ж Ш' Умножив обе части равенства (6.15) на ягад 5 и сравнивая полученное выражение с исходным уравнением эйконала (6.14), замечаем: оо — =и. Ж (6.16) Это уравнение еще раз указывает, что в оптически однородной среде лучи света представляют собой семейство прямых линий. Простые выкладки позволяют получить более определенные соотношения. Продифференцируем по 1 уравнение луча (6.14): — (пз) = —, (дгаг( 5). Н И Правая часть этого равенства легко преобразуется: — (игам Я) = о1 оЯ = ягад — = ягаб п. Раскрывая производную в левой части равенстгп ва, имеем — (пз) = — з+ и —, л кл лз и и и ' В рамках такого приближения может быть описано явление миража, при котором путник в жаркой пустыне гвидитэ, например, воду, находящуюся от него очень далеко.
В этом случае раскаленная земля создает неоднородность прилегающих слоев воздуха, плотность которого (а следовательно, и показатель преломления) возрастает с увеличением расстояния от поверхности земли. 221 где — = — — =(цгада) з. Тогда лл оа лг ж лг ш — = — [агад и — з(зягабп)!. оз 1 (6.17) л Производная г(зЯ1 = Х/К, где Х вЂ” единичный вектор нормали к лучу, 1т — радиус кривизны луча.
Очевидно, что (Хз) = О. Умножив обе части (6.17) на Х, окончательно получаем 1 Мятая я (6.18) 1с л Это равенство показывает, что луч изгибается в сторону увеличения показателя преломления и кривизна луча будет возрастать с увеличением градиента показателя преломления, т. е. с увеличением оптической неоднородности среды. Пользуясь формулой (6.18), можно вычислить кривизну лучей в исследуемой среде, если известен закон изменения показателя преломления и (х, у, г). Многие интересные задачи могут быть решены в очень простом приближении. Так, например, положим, что показатель преломления является линейной функцией одной координаты п = и (у) = = п, (1 + ау).
Тогда искривление луча, первоначально направленного вдоль оси Х (рис. 6.16), будет описываться так называемой цепной линией, которая при небольших значениях х хорошо аппрокси- 1 мируется параболой у = — ахз. 2 В хорошем приближении можно считать линейной аавнсимость показателя пре. ломления вблизи земли от высоты над ее поверхностью, что и должно привести к искривлению лучей. Аналогично решается задача об искривлении лучей заходящего Солнца в верхних слоях атмосферы. В данном случае показатель преломления при увеличении высоты убывает, лучи будут изогнуты так, как показано на рис.
6.17, н заходящее солнце будег казаться выше, чем оно действительно находится. Более того, может создаться ситуация, когда находящийся на земле наблюдатель видит солнце, уже скрывшееся за горизонтом. При истолковании этих явлений, физическая сущность которых совершенно ясна, следует также учитывать психологический эффект, заключающийся в том, что мы настолько привыклиисходить из основного свойства распространения световых лучей в однородной среде — их прямолинейности, что невольно пытаемся перенести его на более сложные случаи, когда лучи будут искривлены.
9з~э' Рис. 6 17. Кажущееся 8' и действительное 5 положения Солнца, наблюдаемого с Земли Показатель преломления возхула уменьшается с высотоа Рис. 6 16. Траектория луча в среде с возрастающим вдоль оси У показателем преломления Для обоснования геометрической оптики часто применяют различные постулаты, или принципы. В частности, иногда используют известный принцип наикратчайшего оптического пути (или наименьшего времени), сформулированный Ферма в середине ХЧ11 в. Покажем, что этот принцип следует из уравнений электромагнитной теории света в пределе Х-ь О, Будем исходить из уравнения (6.14). Проинтегрируем его вдоль произвольной кривой, соединяющей точки А и В: п(зйг)= ) — Иг=5(В) — Б (А). -1" г дЯ ,) дг А А (6.19) в ~ пйу.
А (6.20) Очевидно, что линейный интеграл в левой части (6.19) не зависит от формы пути интегрирования от А к В и равен разности значений эйконала в этих точках. Полученное соотношение называют интегральным инвариантом Лагранжа. Назовем оптической длиной некоторой кривой, соединяющей точки А и В, интеграл В том случае, когда рассматриваемая кривая является реальным лучом, проходящим через точки А и В, ее оптическая длина (6.20) совпадает с интегральным инвариантом Лагранжа (6.19). В самом деле, лг при интегрировании вдоль луча — = з и левая часть (6.19) принимает ш вид )'л(зИг)=) п(зз)й=) пй.
А А А (6.21) Можно показать, что оптическая длина любой другой кривой, содиняющей точки А и В, будет больше, чем Я (В) — Я (А), т. е. оптической длины реального луча. Из свойств скалярного произведения следует, что зс(г ( Ж и, следовательно, Я (В) — Б (А) = ~ п (Ыг) ( ~ пЖ, (б. 22) причем равенство выполняется только в том случае, если направления з и пг совпадают в каждой точке рассматриваемой кривой, т.
е. если она является реальным лучом. Таким образом, мы получаем принцип Ферма, согласно которому оптическая длина реального луча между любыми двумя точками А и В короче оптической длины любой другой кривой, соединяющей эти точки. Поскольку Ж = -й, то в в ) пй=с ) й. А л (6.23) 223 Оптическая длина кривой между точками А и В пропорциональна времени, требующемуся свету для прохождения вдоль этой кривой. Поэтому принцип Ферма можно сформулировать так же, как и принцип наименьшего времени: свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две точки, тот путь, который требует наименьшего времени для его прохождения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
