Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Следует подчеркнуть, что действие реального источника 3 заменяется действием совокупности элементов фиктивной поверхности а. Все эти вторичные колебания когерентны (их фазы и амплитуды задаются первичным колебанием), и, следовательно, их амплитуды можно складывать. Запишем высказанные положения на математическом языке, дополнив их (согласно Френелю) введением некоего коэффициента й (ф), который принимает максимальное значение, когда нормаль п совпадает с г (ту=О) и обращается в нуль при ф ) и/2.
Укажем, что введение такого коэффициента означает отсутствие обратной волны, направленной внутрь поверхности о". Амплитуда колебания, создаваемого в точке Р одним произвольным элементом Ип, выразится соотношением лЕ =к(,~) ~Ееехр(гаага ех (бтг) л„ (6.1) ог 1 г Здесь отброшена временная зависимость (при данной форме записи она выглядела бы как ехр ( — ио1)) и учтено, что источник испускает сферическую волну, исходная амплитуда которой Ео. Для простоты будем считать, чтр точечный источник 3 испускает монохроматическую сферическую волну.
Но все приближения, сделанные ранее (например, квазимонохроматическая волна, излученная протяженным источником и др.) и позволившие обосновать возможность наблюдения интерференционных явлений, конечно, остаются в силе. Вывод можно провести для произвольной поверхности о, но проще всего предположить, что она совпадает с волновым фронтом от точечного источника, т.
е. является сферой радиуса аг. Тогда суммарное возмущение в точке Р определяется равенством Е (Р)=кйехр(гдо) Г~к(ф) ехрбйг) Ип (6.2) ох Лля того чтобыпровестиинтегрирование, разобьем поверхность о на зоны Френеля (рис. 6.2). Построение выполняется так, что И,Р = = ая + а!2; л(яР = а, + 2дг2 и т.д.
В этом случае в точку Р волны от любых двух соседнйх зон придут в противофазе. ' Смл Б о р н М., В ол ь ф В. Основы оптики. М., «Наука», 19?О; З о м м е р ф е л ь д А. Оптяка. *~ Заметим, что в строгой теорни Кирхгофа этот коэффициент не вводится произвольно, а получается прн решении преобразованного волнового уравнения. Легко показать, что площади всех зон примерно одинаковы. Действительно, обозначив высоту первого сегмента ]д„находим ад~ — (а, — ]дд)з = (а, + Л72)Я вЂ” (а, + й,)*.
Пренебрегая Л, получаем й ж — —. Отсюда находим, что плод аз Х ад+аз 2 щадь сферического сегмента, представляющего первую зону, равна (6.3) ад+ яя Если сосчитать таким же способом общую площадь двух первых зон, то вместо ая + Л/2 будет а, + 2Л/2 и мы получим2иадазЛ7(ад + ая). Следовательно, площади двух первых зон одинаковы, что справедливо и для любых других зон. Рнс. 6.2. Схема разбиения поверхностн о ня зоны Френеля Рнс. 6Л.
К формулировке прнн- пнпа Гюагенся — Френеля Из тех же соотношений легко определить радиус и-й зоны: г„= ],г и — Л. ад ая ад+ аз Кроме того (см. рис. 6.1), (6.4) г'=а',+(а,+а,)* — 2а,(а,+а,) соз 6, гй'=ад (ад+ а,) з1п 6с[6, йт=а', з!п 6д[6йр= ' гд[г~[Ф. ад+аз В пределах одной кольцевой зоны коэффициент к (др) считаем постоянным. Тогда возмущение, создаваемое и-й зоной в точке Р, после интегрирования по азимутальному углу Ф а,+яд! я Е' ех [1ла) Е,„=2и ' "Р ' а' к„~ ехр(1йг)с[г. ад+аз е + 1я- Ид1Я Интегрируя по г и выполняязлементарные преобразования, получим 1 „+д Е; ехр [1л [ад+аз]] (6.5) ад+ аз 207 Следовательно, определение интегрального действия всех зон Фред неля сведется к суммированию зиакопеременного ряда вида (6.6) к,— к,+к —...+( — 1)"+' к„.
Сгруппируем члены этого ряда следующим образом: +( кд+ )+( к4+ )+ Легко доказать, что (в зависимости от четности и) такая сумма равад ~п на — ь —. Это означает, что амплитуда суммарного колебания в точке Р равна полусумме (или полуразности) амплитуд колебаний, создаваемых в этой точке только первой и и-й зонами Френеля: Ео (Р) = 2(Ео,д ~ Ео,п) 1 (6.7) При полностью открытом фронте Е, „-д- О, так как коэффициент к (и/2) = О.
Следовательно, в этом случае Ео (Р) = 2 Ео,д (Р). 1 (6.8) Это соотношение позволяет получить в явном виде значение коэффициента к,. Если отвлечься от проведенных построений, связанных с введением фиктивных вторичных центров на поверхности о, то можно утверждать, что точечный источник 3, испускающий сферическую волну, должен создавать в точке Р, удаленной от него на расстояние ад+ а„колебания с амплитудой Е,(Р), определяемой равенством () (6.9) ад+ад Сравнивая зто выражение с (6.6), находим, что йк = — 1, или кд= — — = ехр ( — Ы/2) (6.10) х Перейдем к рассмотрению совокупности полученных результатов. При полностью открытом фронте амплитуда суммарного колебания в точке Р равна половине амплитуды колебания, создаваемого в этой точке только первой зоной. Интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, и, значит, суммарная интенсивность в точке Р численно равна одной четверти интенсивности, обусловленной первой зоной Френеля.
Этот фундаментальный результат требует подробного обсуждения. Прежде всего оценим размеры первой зоны. Для ее площади было получено выражение (6.3). Очевидно, что для оптическогодиапазона при не очень больших ад и ад эта площадь невелика. Так, например, при ад = ад = 1 и она примерно равна 1 мм'. Мы приходим к интересному выводу: в результате явления интерференции как бы уничтожается действие всех зон, кроме первой. Таким образом, намечается ликви- 208 дация указанного вышепротиворечиямежду волновой и геометричес кой оптикой (см.
9 6.2). Сейчас нас интересует вопрос о возможности введения тех или иных экранов, закрывающих часть зон Френеля. Предположим, что все зоны, кроме первой, закрыты. Тогда интенсивность увеличится в четыре раза по сравнению с полностью открытым фронтом. Если открыты две зоны, то света в точке Р будет совсем мало. Процесс открывания зон можно продолжить, наблюдая периодическое изменение интенсивности света в точке Р. Представим себе другой опыт. Предположим, что площадь круглого отверстия выбрана так, что при данных ал и а, она равна площади первой зоны Френеля. Начнем перемещать точку наблюдения Р вдоль линии, соединяющей ее с источником, наблюдая периодическое изменение интенсивности света. Оно происходит потому, что в зависимости от расстояния а, + а, открывается одна, две зоны Френеля и т. д.
Столь подробное обсуждение этого возможного эксперимента проведено для того, чтобы читатель уяснил Рис. 6.3. Зонная пластинка Френеля себе, что размер зоны Френеля достаточно сложно зависит от а„а, и Х. При варьировании одной из этих величин (в данном случае увеличении а,) изменяется число зон Френеля, умещающихся на выбранном круглом отверстии, что приводит к периодическому изменению интенсивности света в точке Р.
Интенсивность света в точке Р можно увеличить. Изготовим сложный экран — зонную пластинку, которая закрывает все четные(или всенечетные) зоныФреиеля(рис. 6.3). Для ее созданиянадозадаться определенными значениями а, и а, и воспользоваться формулой (6.4). Установив зонную пластинку в атрого определенном месте между 3 и Р, йетрудно получить заметное увеличение освещенности в области пространства вблизи точки Р, так как в данном случае в ряду (6.6) остаются лишь члены одного знака.
Еще больший эффект получится, если каким-либо образом изменить фазы волн, приходящих от соседних зон. Как мы помним, в первоначальном построении эти волны гасили одна другую (оптическая разность хода равна Х/2). Изготовив ступенчатую зонную пластинку (рис. 6.4), можно изменить фазу колебаний от соседних зон на п. Для этого высоту ступеньки 6 необходимо выбрать так, чтобы она удовлетворяла соотношению 2пб (л — 1)/Х = и, или 6 = Х/2(л — 1), где ив показатель преломления вещества, из которого изготовлена ступен- 209 чатая зонная пластинка. Заметим, что фокусирующая линза и работает как такая ступспчнтнп зонная пластинка.
Можно также и поговпть экран, который не открываетпервую зону Френеля, а, нноборот, закрывает одну или несколько первых зон, оставляя пгг более высокие зоны открытыми. Легко заметить, что и в этом случае весь расчет сохраняет свое значение. Если закрыто т зон Френеля, то суммарная амплитуда равна Ее (Р) = (Еа,м+з (Р) ~ Ее,в (Р)) При данной постановке задачи Е, „ (Р) -+ О и, 1 следовательно, Е, (Р)= — Е, +, (Р).
Отсюда вытекает, что в точке Р интенсивность света всегда отлична от нуля. Этот результат на первый взгляд кажется чрезвычайно парадоксальным. Так, получивший его впервые известный французский ученый Пуассон решил, Рис 64 звана" чтоонопровергтеорию Френеля, доказав,что онаприменя~огпая на и водит к абсурду. Позднее Араго показал на опыте, фазу волн, прн- что при установке круглого непрозрачного экрана коляпшк ог яег- в центре тени возникает светлое пятно, предсказываемое теорией. Однако история связала с этим открытием имя человека, который усомнился в правильности теории Френеля, а не доказал ее.
В литературе это явление известно под названием пятна Пуассона. В книге Р. Поля" приведена копия оригинальной фотографии, полученной автором с помощью стального шарика диаметром 4 см, установленного на расстоянии 12 м от фотографируемого объекта и 18 л1 от его изображения. В данном случае стальной шарик играл роль линзы. Во всяком случае с его помощью удалось получить изображение вполне удовлетворительного качества. Очень эффектные явления легко наблюдать при использовании достаточно интенсивного источника света, в нескольких метрах от которого устанавливается малый непрозрачный экран или нрисовая диафрагма, позволяющая открывать ряд зон Френеля.
Конечно, расстояние а, + аа от источника света до матового экрана, на котором следует наблюдать дифракционную картину, должно быть достаточно большим (не менее 10 — 15 м). Эти эксперименты (рис. 6.6) трудно показать в большой аудитории без современных технических средств. Многие из описанных выше опытов по дифракции Френеля можно демонстрировать с помощью простейшей телевизионной установки, включающей передающую трубку (монитор) и несколько телевизоров, установленных в аудитории. Свет от мощной лампы фокусируется на небольшой круглой диафрагме.
После дифракции на исследуемом пре- * Смл П о л ь Р. В. Оптика и атомная физика. М., сыауказ, 1966. В втой книге описано множество иигересных опытов по интерференции и Хифракции света. 210 пятствии свет от этого «точечного» источника попадает на фотокатод монитора и зрители наблюдают на экранах телевизоров сильно увеличенное изображение дифракционной картины (рис. 6.5, 6.6). Не менее эффектно применение для этих опытов УКВ, длина волны которых примерно в 1О' раз больше длины волны в оптическом диапазоне. Используя современные источники УКВ, нетрудно показать большой аудитории отчетливые дифракционные эффекты дифракцию от круглого отверстия, от края экрана и т.
д. На рис. 6.7 изображена фотография установки для опытов с зонной пластинкой, размеры которой при а, =- ав = 1 м и )), 3 см достаточно велики. Строго говоря, при осуществлении таких опытов мы несколько отходим от первоначальнойформулп- Рнс б Б Фото~ рафия изобразкспия ровки задачи (которая, впр!)"ем шаблона на зкрзнс телевизора, колуне очень уточнялась для упроще- ченная в результате дифракции света ния рассуждений). Дело в том, что на металлическом шарике диаметром свойства экрана должны в какой-то 3 мм (а~=аз=)0 мм) мере сказываться на результатах дифракционных опытов. Рассматривая проводящий экран, надо учесть взаимодействие с ним электромагнитной волны, определить, хорошо ли он отражает (Я = 1) или плохо (Л вЂ” 0) и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
