Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В большинстве случаев можно считать, г-'- , 2 р е, что исследуемая диэлектрическая пластинка окружена воздухом, т. е. и' = 1. При расчете суммарной апмлитуды прошедшей Рис. 5.59. Прохождение светового' пучка через плоско- волны (Еао) учтем изменение амплитуды параллельную пластинку и разность фазы между двумя соседними с учетом многократных отра- пучкамн. На границе двух диэлектриков (пла- стинка и окружающая ее среда) амплитуда электромагнитной волны изменится. Обозначим коэффициенты отражения и пропускания (по амплитуде) через р и т соответственно.
Введенные ранее энергетические коэффициенты связаны сними очевидными соотношениями я = ~оа И,К = та„яри отсутствии поглощения Я+К=1. (5.63) Постановка задачи близка к случаю прохождения плоской моно- хроматической волны через диэлектрическую пластинку или отражения от нее (см. 3 5.6). Но тогда учитывалась интерференция только двух пучков света (например, отразившихся от передней и задней поверхностей диэлектрической пластинки). Всеми последующими отра- 190 женными волнами пренебрегали, что было справедливо при очень малом коэффициенте отражения р. В приводимом расчете это ограничение снимается и необходимо учесть интерференцию многих световых волн постепенно уменьшающейся амплитуды, образующихся при многократных отражениях от поверхностей диэлектрической пластинПри каждом прохождении через границу двух диэлектриков амплитуда волны изменяется в т раз, а при каждом отражении от такой границы она изменяется в р раз.
Следовательно, амплитуды вышедших из пластинки волн равны Ееет', Ееетере и т. д. (рис. 5.52). Разность фаз между двумя соседними интерферирующимн пучками составляет 6= — 2п1 соз ~ре= — 1соз <р„ 2а 4я (5.64) Ло где Л вЂ” длина волны в диэлектрической пластинке. учтем эту разность фаз введением соответствующего множителя ем в выражение для амплитуды напряженности электрического поля.
Тогда суммарная амплитуда прошедшей волны Е =Е„(т'+ те р' ехр (Рб)+ т' р4 ехр (126) + ... ... +тер'~" — '> ехр [16(Л/ — 1)Д=Е, те ~ ~( ) . (565) 1 — р' ехр (И) По определению, р ( 1. Если число /)/ интерферирующих пучков достаточно велико, то рз" -~ О и в пределе получается (5.66) Нее ( — Яе' Для вычисления изменения интенсивности света, прошедшего через диэлектрическую пластинку 1„р/1р д надо умножить Е„/Е„на сопряженную величину (Е„/Еее)*: 1еад Л Нее ' 1 Нее ~ (1 — Я)е+4ЯМпе (а/2) Это соотношение называют формулой Зйри.
Исследуем ее. Интерферирующие пучки усилят друг друга, если разность хода между ними равна целому числу волн, т. е. справедливо условие 21 соз ~р, = пеЛ, (5.68) гдет=0,1,2, ... Минимальная интенсивность будет наблюдаться при т = 1/2, 3/2, Свяжем порядок интерференции т и введенную разность фаз между напряженностью поля в соседних пучках соотношением и = 21 соз <ре/Л = б/ (2п), или 6/2 = тп. (5.69) Интенсивность максимальна, если яп (6/2) = яп (тя) = О, где и — целое число. Интенсивность минимальна при яп(612) = ~1, что следует также из анализа формулы (5.67). 191 /тм/д Легко показать, что функция видимости интерференционной картины )/ = (/макс /мин)/(1маке + 1мпн) и контрастность, определяемая как 1м,„,/1 „„, определяются лишь коэффициентом отражения Я.
Для этого найдем экстремальные значения отношения 1,р/1„, которые оно принимает при з(п (6/2) = 0 и з(п (6/2) = (: ( /пр ) м ( !пр (5.70) /пад ~маис (1 Я) 1 !пад ~мни (1+Я) Следовательно, (5.7!) !м „11 — Я/ 1+Яп Анализ формулы Эйри приводит к следующим выводам: график зависимости изменения 1, /1па от 6 (рис. 5.53) имеет вид системы максимумов, форма которых при достаточно больших И существенно от- личается от хорошо известной ча мФ кривой вида соз'6 (см. (5.!2)), описывающей освещенность экрана, обусловленную интерференцией двух электромагнитч) ных волн. Чем выше коэффициент отра- /(=Ф( жения Я, тем острее максимумы, л*аа разделенные широкими минимуа)х 1/т мами. Такое пространственное перераспределение потока энерРис.
в.вз. График функции эари при гни с концентрацией его в неко- Различных коэффициентах отРажения Я Торых преимущественных на- правлениях всегда возникает при интерференции многих пучков и четко выявляется, например, при дифракцйи плоской волны на правильной структуре из Ф щелей (см. 25.4). Очевидно, что необходимо как-то охарактеризовать форму контура интерференционной полосы. Для этого вводят критерий резкости Р, определяемый как отношение расстояния между двумя соседними максимумами интерференции к ширине полосы е.
Для нахождения Р запишем формулу Эйри, исключив предварительно л = ! — Я: !пр (5.72) !пад 1+ 4Я з(па (а/2)/(1 — Я) Шириной полосы е, как известно, называют расстояние между двумя точками, для которых 1,р/1„= )/2. Такие значения получаются при 6/2=та ~- е/2, где т — целое число (рис. 5.54). Так как е мало, то можно считать, что з(п (е/2) ж е/2.
Следовательно, 23/Я а — — =1, 1 — Я 2 откуда ширина полосы равна е=(! — Я)/)l Я. (5.73) Для критерия резкости Р получается соотношение Р=п1 =пУЯ1(1 — Я). (5.74) Так же как и функция видимости, резкость Р, характеризующая форму контура интерференционной полосы, полностью определяется козффициентом отражения Я. При Я-ь1 имеем Р-ь со. Если Я ж ж 0,9 (такое значецие Я для зеркал часто используют в реальных интерферометрах), та резкость Р оказывается немногим меньше 30 (рис. 5.55).
Это значит, что расстояние между двумя соседними максимумами примерно в 30 раз больше ширины каждого из них. Из выражения (5.72) следует, что при выполнении условия И2 = = тп отношение 1я011„ац Равно еДиниЦе. Это значит, что в таких го011тд I Г 00 20 20 5 О О О,/0,2 05 10А (тл)л 010 (т./ я.еуг Рис 554 Форма контура интерференционной полосы (Я= =0,6, е=од1 и) Рис 555 Зависимость резкости интерференционной картины от козффнциента отражения Ето = Еоо(р — рт' ехр (16)[1 + ро ехр (16) + ... ... + 'Ро<"-а> ехр 1 ()Ч вЂ” 2)6Ц. (5.75) 193 ув .ыао условиях имеется только проходящая волна, а отраженная волна вообще не образуется. На первый взгляд найденный результат представляется странным.
Действительно, уже при первом отражении (см. рис. 5.52) должна возникнуть волна с достаточно большой амплитудой (например, при Я = 0,9 должно отразиться 90% светового потока). Можно предположить, что в результате интерференции с волнами, образовавшимися при последующих отражениях (2', 3', 4', ... и т. д.), амплитуда суммарной отраженной волны Е, будет близка к нулю, но такое предположение необходимо подтвердйть расчетами. При проведении расчета учтем, что первая отраженная волна 1' всегда находится в противофазе со всеми последующими.
Это положение справедливо при любом ц' ~ и, и его просто проверить (см. рис. 5.52), например, при и' ( и. В данном случае потеря полу- волны происходит лишь при первом отражении, а при всех последующих отражениях от оптически менее плотной среды, которые приводят к возникновению волн 2', 3', 4', никакого дополнительного сдвига фаз нет. Следовательно, амплитуду отраженной волны можно записать в виде После простых преобразований (при выполнении условия Я+ Ю = = 1) получим )ств ( Ем ) ( Ето 1* 4Я,о!и (6/2) (пад !т Еоо !т Еоо т! (! — Я)о+4Я о!по (б/2) Нетрудно заметить, что при з)п (6/2) = 0 имеем 1ст,!!„д = О, тогда как 1„р/асад = 1.
Следовательно, существуют такие найравления, при которых распространяется только прошедшая волна. Эти направления определятся соотношением соз ф, тд/ (21) (т — целое число). Формула (5.76), конечно, согласуется с приведенной ранее оценкой 1мп„для проходящего света. Если з)п (6/2) = 1, то (7отр(7пад)масс = 4Я 7(1 + Я) (5.77) При выполнении условия )) + Г = 1 имеем ((пр!7пад)мпп + (7стр/)пап)масс = 1 ° (5.78) Выше уже указывалось, что в проходящем свете узкие максимумы разделены широкими минимумами. Соотношение (5.78) показывает, что в отраженном свете широкие максимумы будут разделены узкими минимумами.
Как и следовало ожидать, интерференционные картины в проходящем и отраженном свете оказываются дополнительнымн. Этот результат (дополнительность картин в проходящем и отраженном свете) справедлив при выполнении условия (5.63), т. е. при отсутствии поглощения в отражающих слоях. Таким образом, изложенная теория, безусловно, применима к тому случаю, когда в качестве отражающих слоев интерферометра используются многослойные диэлектрические покрытия, поглощение в которых пренебрежимо мало (см. 9 5.7). Иначе обстоит дело, когда в качестве зеркал интерферометра применяют тонкие слои какого-либо металла с высоким коэффициентом отражения в видимой области спектра (серебро, алюминий).
Хорошо известно, что металлические пленки сильно поглощают электромагнитные волны (см. 9 2.5). В этом случае условие (5.63), использованное при выводе формулы (5.76), приходится заменять более общим выражением, а именно (5.79) Я+л +А=1, где А — суммарное поглощение света отражающими слоями,'а вопрос о том, в какой степени интерференционные картины в прошедшем и отраженном свете окажутся дополнительными, требует специального рассмотрения. Заметим, что высоко отражающие многослойные диэлектрические покрытия получили широкое распространение лишь 15 — 20 лет назад.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
