Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Заметим, что в приведенном доказательстве принципа Ферма было использовано предположение о том, что в исследуемой области через каждую точку проходит только один луч. Таким образом, выпали из рассмотрения такие практически важные случаи, как, например, поле лучей от точечного источника А в однородной среде, отраженных плоским зеркалом (рис. 6.18), где через любую точку В проходят два луча. Оптическая длина прямого луча АВ является в этом случае абсолютно минимальной, тогда как оптическая длина отраженного луча СВ минимальна лишь по отношению к оптическим длинам кривых, лежащих в некоторой ограниченной окрестности луча (например, АС'В). ' Чтобы включить в рассмотрение и такие случаи, можно сформулировать принцип Ферма в другой форме: реальный луч отличается от остальных кривых, соединяющих две заданные точки, тем, что соот- в ветствующая ему оптическая длина ) пс(1 имеет стационарное значение, Я т.
е. малое изменение траектории (например, точки падения на зеркало) не приводит в первом порядке к изменению оптической длины. Другими словами, свет выбирает один путь из множества близлежащих, требующих почти одинакового времени для прохожденя. Математически это выражается тем, чтодля реального луча первая вариация в интеграла (6.20) должна быть равна нулю (8) гл(1 = О). Общность этого л метода полностью выявляется в аналитической механике, но впервые такой прием был использован именно при описании оптических 1 явлений. ! Как уже указывалось, принцип ! Ферма часто используется для обо- 1 3 снования законов геометрической с оптики.
Действительно, применением его просто получают законы отражения и преломления света на Г..- границе двух сред. Отметим, что в электромагнитной теории света эти законы являются прямым следст- вием граничных условий в уравнеРнс. 6А8. Отражение света точечного ниях Максвелла, а содержание источника А от плоского зеркала и этого параграфа показывает, что построение его мнимого изображе- принцип ферма может также распив А' сматриваться как следствие этой общей теории.
Использование принципа Ферма иногда облегчает решение оптических задач. Так, например, очевидны условия фокусировки света при его отражении ат эллиптического зеркала. Изображение светящейся точки, помещенной в одном из фокусов эллипсоида вращения Р, всегда получается в фокусе Я, так как суммарная длина РО+ ОЯ (рис. 6.19) будет постоянной для любого положения точки 0 на поверхности эллипсоида.
Так же легко понять фокусирующее действие линзы, у которой суммарная оптическая длина пути в стекле и воздухе оказывается стационарной (рис. 6.20). Резюмируя, можно утверждать, что введение понятия эйконала и вывод основных уравнений (для Х -ч- О) позволили строго обосновать взаимосвязь геометрической оптики и электромагнитной теории света. Выявилосьтакже, что постулаты, часто используемые для обоснований построений и законов геометрической оптики (например, принцип Ферма), должны рассматриваться как прямые следствия общей теории распространения электромагнитных волн и целесообразность их применения определяется лишь удобством решения тех или иных задач.
Соотношения (6.14) и (6.18) оказались полезными для решения сложных задач о распространении света в оптически неоднородной среде. В более простых случаях обычно оказывается достаточным использование только законов отражения и преломления света. При этом для описания условий фокусировки световых пучков и построения изображений применяют некоторые приемы, которые упрощают решение типовых задач. В развитие геометрической оптики существенный вклад внес знаменитый математик Гаусс. В силу этого данный раздел иногда называют гауссовой оптикой.
При построении изображений предметов и выводе основных формул геометрической оптики, как правило, рассматриваются го,иоцентрические (исходящие из одной точки) пучки света. Лучи, входящие в эти пучки, должны составлять малый угол с оптической осью системы (та- Рнс. 6Д9. К условиям фокусировки света при отражении от зллнптического зеркала Рис. 6.20.
Фокусировка линзой изображения точечного источника света 5 (6.26) о' а г 8 зак. ! тзз 225 кие лучи называют иараксиальнзгми). Для них допустима замена синуса или тангенса угла с оптической осью значением самого угла, что часто упрощает вычисления. При описании построений используют удобный прием (заразило знакова), согласно которому все расстояния отсчитываются от границы раздела двух исследуемых сред и те из них, которые оказываются направленными против распространения луча, считаются отрицательными. Кроме того, учитывается знак угла. Положительным считается угол, отсчитываемый от направления главной оптической оси по часовой стрелке, а углам, отсчитываемым в противоположном направлении, приписывается отрицательный знак.
Для иллюстрации этих приемов, принятых при решении задач геометрической оптики, рассмотрим преломление света на сферической поверхности (рис. 6.21), являющейся границей раздела между двумя оптически однородными средамнс показателями преломления и и и'.
В этом случае закон преломления световых лучей имеет вид п ( — 1) = а' ( — 1'). (6.24) Учтем показанные на чертеже обозначения углов и расстояний и правило знаков: и (~р — и) = а' (<р — и'). (6.25) Из чертежа следует: — и = — й(а; и' = йуа', ~р = Ыг. Подставляя эти значения в (6.25) и группируя члены, находим и' л и' — и Стоящую в правой части величину Ф = (п' — п)/г называют оптической силой преломляющей поверхности.
Тогда выражение (6.26) преобразуется: — — — =Ф. (6.27) а' а Это равенство может быть представлено в более симметричной форме, если ввести фокусные расстояния, которые определяются, исходя из следующих предпосылок (рис. 6.22). Положим — а = оо, тогда а' = —,=/'. (6.28а) и' — а Если а'=оо, то — а= —,"" =1. (6.28б) и' — и Величины / и /' называют передним и задним фокусными расстояниями.
Как видно, они полностью определяются Рис 626 Преломление света на сфериче- значениями показателей преской поверхности ломления и' и и и кривизной поверхности, на которой происходит преломление световых лучей. Соответствующие точки г и г' будут передним и задним фокусами этой поверхности. Очевидно, что Г// = — н'/а.
Рис. 6.23. Обозначение расстоиний при отсчете их от фокусов сферической поверхности Рис. 6.22. Определение фокусов сферической поверхности При таком построении можно отсчитывать расстояние не от преломляющей поверхности, а от переднего и заднего фокусов (х и к', рнс. 6.23). Тогда соотношение (6.26) можно преобразовать к симметричному равенству, которое обычно называют формулой Ньютона: (6.29) хх' = Ц' 226 ]]етрудио заметить (ср. (6.27) и (6.29)], что оптическая сила Ф пре-.
ломляющей поверхности связана с ее фокусными расстояниями: Ф= — = — — ". (6.30) 1' Полученные выражения легко обобщаются на другие задачи. Так, например, для сферического зеркала можно положить, что У будет углом отражения, а а' = — а. Тогда закон преломления световых лучей переходит в закон отражения 1 = — 1', а формула (6.26) преобразуется к выражению, позволяющему по положению объекта найти положение изображения, даваемого сферическим зеркалом: , + (6.31) а' а г В этих же обозначениях легко получаются основные соотношения для линейного увеличения р = у'lу при построении изображений. Используя рис.
6.24, можно вывести основное соотношение, названное инеарионтом Лагранжа — Гельмгольца: у'а'и' = уаи. (6.32) Далее может быть рассмотрена система центрированных поверхностей, у которой центры их кривизны лежат на одной прямой. Оказывается, что все полученные выше соотношения (например, (6.32)], Рнс. 625. Построение главных плоскостей МН н М'Н' системы двух центрированных поверхностей Рис. 6.24. К формулировке инва- рианта Лагранжа — Гельмгольца будут справедливы и для этого общего случая. Тогда надо ввести понятие главных фокусов и главных плоскостей системы, определение которых ясно из построений, приведенных на рис.
6.25. Таким образом, стройная теория, развитая Гауссом, позволяет получить все необходимые соотношения и рассчитать положение и размеры изображений в различных линзах (являющихся комбинацией двух поверхностей) и объективах, образованных несколькими центрирован- ными поверхностями. Если выполнены все упомянутые выше условия [рассматриваются параксиальные гомоцентрические лучи н не учитывается дисперсия вещества т. е.
зависимость а (Х)], то для таких идеальных систем в рамках геометрической оптики должно получитьчя абсолютно точное изображение плоского объекта. Однако на практике оптические системы не идеальны и неизбежно возникают ошибки (аберрации). Более того, волновая природа света требует учета явлений дифракции на всех экранах и отверстиях оптической системы и, как будет показано далее, учет этих эффектов необходим для оценки предела разрешения оптических систем. Все эти вопросы будут подробно рассмотрены в $ 6.9. Ограничимся приведенными данными, считая основания геометрической оптики и ее связь с электромагнитной теорией света охарактеризованными достаточно полно, а приведенные сведения о построении изображений — достаточными для самостоятельного решения различных задач геометрической оптики.
5 63. ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКИХ ВОЛН НА ОТВЕРСТИЯХ РАЗЛИЧНОИ ФОРМЫ Принцип Гюйгенса — Френеля позволил получить ряд существенных результатов и определить критерии выбора правильного описания явления, т. е. условия перехода от волновой оптики к геометрической. Изложенный геометрический метод определения результирующей амплитуды прост и удобен при решении различных задач, тогда как аналитическое решение для сферических волн оказывается весьма громоздким. Математически задача решается проще для случая плоских волн. Поэтому имеет смысл рассмотреть другой способ наблюдения дифракции, при описании которого можно ис- У пользовать приближеи ние плоских волн. П1ринципиальнаясхе- ма наблюдения дифракг! г гг ции плоских волн (ди- фракцил ФраунгофгРнс. 6 26 Схема наблюдения дяфракцяи плоских ра) представлена иа рис. 6.26.
Излучение точечного источника 5 превращается линзой Е, в плоскую волну, которая проходит через какое-либо отверстие в непрозрачном экране 3 (щель, прямоугольник, круг и т. д.). Линза Е, собирает в различных участках своей главной фокальной плоскости все лучи, прошедшие через отверстие, атом числе и отклонившиеся на угол Ф от первоначального направления в результате дифракции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
