Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Е. ВЫ- та при дифрвкцни на широкой (а) и узная) и точечным (пунктир) источниками ЧИСЛИТЬ Ещз Одни Нитетрая Вида кой (б) желая (6.33). Таким образом, здесь при- ходится решать двумерную задачу, параметрами которой служат два угла дифракции. Угол ф по-прежнему характеризует распределение интенсивности вдоль оси Х, а угол ф определяет отклонение волны вдоль оси У, причем проведенный выше анализ соотношения (6.366) сохраняет свое значение, т. е.
7ф, ф=7о(з(пил(и))Я(з(п ий)иу)й, (6.39) нл . ма где их= — и!п (р, ма = — з(пф. )с )с Рис. 6.30 иллюстрирует эту зависимость. Важно указать, что если Ь м а (т. е. высота прямоугольного отверстия больше его ширины), то дифракционная картина будет больше растянута по оси Х, чем по оси У. Иными словами, дифракционное изображение такого прямоугольного отверстия тоже будет прямоугольником, высота которого меньше его ширины. Через центральную часть этой двумернойдифракционной картины пройдет основная доля потока световой энергии. Относительная интенсивность максимумов вдоль любой из осей будет по-прежнему характеризоваться отношением чисел 1000: 47: 17. Интенсивность максимумов в направлениях между осями Х и У будет совсем мала, так как она определится произведением двух малых величин.
Задача о дифракции френелевых волн на круглом отверстии в не. прозрачном экране графически исследовалась в $ 6.1. При фраунгоферовой дифракции плоских волн на круглом отверстии получается качественно такая же картина, как в только что разобранной задаче о дифракции на квадратном отверстии. В фокальной плоскости линзы наблюдаются центральное светлое пятно в виде круга и охватывающие его концентрические светлые и темные дифракциоиные кольца. Математически (после перехода к полярным координатам ) задача сводится к определению корней функции Бесселя У, (и), где и = — а з(п ср, 2м Ряс.
6.30. Фраунгоферона двфракцня (а) ва прямоугольном отверстии Даяна волны света Х 5790 Л. Справа наображено отверстне (бк орн- ентнрованное так же, как н фототрафна а — радиус отверстия. Первый корень, соответствующий первому минимуму освещенности (т. е. границе центрального светлого пятна в дифракционной картине), получится при значении гйп сра = 0,61 Ма. (6.40) Эта формула играет первостепенную роль в дифракционной теории оптических инструментов. Распределение интенсивности при дифракции плоской волны на круглом отверстии задается функцией 7 (и) — 12 7'т (и)/и)в. (6.41) Оно представлено на рис. 6.31.
Мы видим, что и в данном случае интенсивность центрального светлого пятна велика по сравнению с интенсивностью последующих максимумов. Это позволяет не учитывать их при оценке роли дифракции в оптических и спектральных инструментах. На практике часто встречаются задачи, при решении которых приходится отступать от классической схемы дифракции Фраунгофера, представленной на рис. 6.26. В частности, дифракционная картина, аналогичная рассмотренной выше, получается при наблюдении ее вплоскоетиизображеиия точечногойоточника, помещенного вне фоку- са линзы.
Распределение интенсивности будет по-прежнему описываться найденными выше формулами [например, (б.41)1. Следует учитывать, что все приведенные в этом параграфе формулы выведены в предположении о равномерном освещении отверстия. При нарушении этого исходного условия распределение интенсивности в дифракционной картине может быть существенно другим.
В частно. сти, так обстоит дело при фокусировке лазерного излучения. Лазер со сферическими зеркалами эквивалентен точечному источнику (сферические волновые поверхности) с силой света, распределенной по гауссовому,0 — ехр ( — са(бар)я) закону в небольшом телесном угле. По мере удаления сферической волны от резонатора центр ее смещается вдоль тз 5 О 6 Рис. б.зи Расвределенне интенсивности в дифракционной картине при днфракции Фраунгофера на круглом отверстии диа- метром б мм: а — фотография картины (сильно персэкспанираааннаяи и — график функции распределения оси. Можно показать, что в этом случае уравнения лучей (нормалей к волновым поверхностям), вдоль которых распространяется энергия, представляют семейство гипербол.
Такой весьма своеобразный ход лучей представлен на рис. б.32, где изображены конфокальный резонатор и фокусирующая линза Е, преобразующая выходящий нз лазера пучок света по законам геометрической оптики. Положение фокусирующей линзы и ее параметры (апертуру и оптическую силу) выбирают в соответствии с решаемой задачей (фокусировка излучения на конечное расстояние, на бесконечность и т.
д.). Обычно полезно увеличить сечение пучка света, выходящего из лазера. Для этого у его торца помещают вспомогательную короткофокусную линзу, а затем уже устанавливают фокусирующую линзу, размеры которой выбирают так, чтобы потери света на ней были достаточно малы. В силу явления дифракции никогда не получается фокусировка лазерного излучения в одной точке. Однако распределение интенсивности в плоскости фокусировки отлично от закона, задаваемого формулой (6.41), и описывается кривой того же вида, какой имело распределение интенсивности по фронту до фокусировки (гауссова кривая другого масштаба). В некоторых приложениях (см.
2 6.10) используется освещение щели по синусоидальному закону. Пусть распределение амплитуд на щели задается формулой Еа / 2нл т Е„= — ~1 — соз — ~, Ь~ Ь)' где Ь вЂ” по-прежнему ширина щели. Рис. 6.32. Хои лучей внутри и вне конфокального резонатора при фокусировке линзой лазерного излучения: 1 — раеатоянне между аеркаяамн Нетрудно видеть, что центр щели будет освещен максимально, а амплитуда колебаний на краях равна нулю. Тогда для выяснения вида дифракционной картины придется несколько усложнить вычисления, приведенные при выводе (6.33), и сосчитать выражение вида ь Ер — — — ' ехр(иог) 111 — соз ~™ ) ехр( — йхз(пар)дх.
(643) Ь Ь о В результате для интенсивности дифрагированной волны получится .(е=~е ( — """ )' иЬ где и = -д- ейп <р. Это выражение отличается от (6.36) наличием в знаменателе множителя П вЂ” (иlп)Я)а, который обращается в нуль при и = и. Поэтому интенсивность света в этой точке отлична от нуля и впервые обращается в нуль при и=2п. В результате центральный максимум интенсивности света, дифрагированного на щели с таким пропусканием, будет заметно шире, чем при равномерном освещении щели. 5 6.4. ааИФРАКЦИЯ СВЕТА НА НРАВИЛЬНОИ СТРУКТУРЕ В 5 6.3 была рассмотрена задача о дифракции плоской волны на отверстии в непрозрачном экране.
В,зависимости от вида отверстия (щель, прямоугольник, круг) меняется характер дифракцнонной кар- Рис. 6.33. К исследованию фраунгоферовой дифракции на правильной структуре из зу щелей тины, хотя некоторыс общие черты явления очевидны (например, увеличение угла расхождения дифрагировавших лучей при уменьшении размеров отверстия).
Теперь необходимо также учесть взаимодействие пучков, дифрагировавших на многих однотипных отверстиях в непрозрачном экране. Очевидно, что этот дополнительный интерференционный эффект будет наблюдаться лишь при правильном их распределении, т. е. когда расстояния между отверстиями равны друг другу или изменяются по определенному закону. Только в таком случае (при когерентном освещении всей структуры) разность фаз между дифрагнровавшими волнами будет сохраняться неизменной и интерференционный член будет отличен от нуля. Если расстояние между отверстиями изменяется по случайному закону (они расположены хаотично), то никакой постоянной разности фаз не будет, интерференционный член обратится в нуль и надо сложить интенсивности всех пучков света, которые посылает в данном направлении каждое отверстие.
Следовательно, при хаотическом расположении отверстий распределение интенсивности останется таким же, как и в случае одного отверстия, и никаких дополнительных эффектов, приводящих к изменению суммарной дифракционной картины, не возникнет.
Аналогичная ситуация имеет место при некогерентном освещении правильной структуры, так как и в этом случае разность фаз между дифрагировавшими пучками также непостоянна. При использовании частично когерентного света (например, в случае протяженного источника, находящегося в фокальной плоскости линзы, формирующей параллельный пучок света, падающего на правильную структуру) получится некая промежуточная ситуация (О < У< 1), которую мы будем исследовать позже (см. 3 б.б) на более простом примере дифракции на двух щелях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
