Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

Итак, имеется правильная структура из У параллельных щелей' с шириной каждой щели, равной Ь, и расстоянием между соседними нохроматическая волна. Требуется найти интенсивность света 1е, распространяющегося в направлении, составляющем угол ф с нормалью к плоскости, в которой лежат все У щелей. г Как уже указывалось, кроме распределения интенсивности, обусловливаемого дифракцией по каждой щели, нужно учесть интерференцию между этими У пучками.

В данном случае по-прежнему мож- ь Такую правильную структуру щелей называют дифракцнонной решеткой. Принципы изготовлслил и основные свойства дифракпионнык решеток подробно см. и $6.5. но решать одномерную задачу, направив ось Х перпендикулярно образующим щелей. Рис. 6.33 поясняет задачу. От элемента х[х какой-то л-й щели в исследуемом направлении (направляющий косинус яп !р) распространяется волна вида — ' Нх ехр ! (!о/ — й [(л — 1) ![+ х) яп !р).

ь Вся л-я щель пошлет волну вида Ео ь — "ехр![о»/ — Ь(л — 1)![яп!р) ) ехр( — Ихз!и!р)дх. (646) ь о Для учета действия всех щелей нужно сложить все образовавшиеся волны. Они когерентны, значит, складываются напряженности электрического поля. При такой схеме расчета автоматически учитывается фаза результирующей волны. Итак, имеем !е ь — 'ехр (!о»/) ",» ехр [ — й (л — 1) ![з[п !р)) ехр ( — йх яп <р) ![х. (6.46) ь е ! о Выше было показана [см. (6.35)), что — ~ ехр( — йх яп»р):[х= Е,— Е» !" .. е!ои ь ) и о где и = лЬ яп !р/)!. Вынесем этот множитель, не зависящий от л, за знак суммы, и тогда для определения амплитуды результирующего колебания нужно лишь найти сумму: и ь» Х ехр[ — И(л — 1)![з!п<р)= ~~~~ехр~ — ! и (л — 1)![з[п!р~.

х е ! е=! Обозначим л![з[п !р/)» через 6. Тогда '~ ехр [ — !26 (л — 1)) =1+ ехр ( — 26!)+ и=! +ехр( — 4Й)+...+ехр[ — 26(6/ — 1) !'[. (6.47) Это геометрическая прогрессия со знаменателем !7 = ехр 2 6Ь, сумма которой, как известно, равна 1 — ![ь»/ (1 — !7). Следовательно, и 1 — ехр ( — 26№) 1-ехр(-2Й) ' е=! Для оценки /о нужно вычислить произведение суммы (6.47) на сопряженную ей велинину 2Хе! ~-ч е [1 — ехр ( — 26№)1 [1 — ехр (2Ь!!!)! (6.48) [1 — ехр ( — 2ЙЦ [1 — ехр (26!)) 237 Числитель этой дроби легко привести к более простому виду, а именно: (1 — ехр( — 26/!/!)) [! — ехр(26№))=2 [! — ~"Р( 2 Вещественная его часть равна 2 (1 — соз 2 й/6) = 4 з!и' й/6.

Совершенно аналогичный расчет показывает, что знаменатель выражения (6.48) равен 4 з!п'6. Следовательно, окончательное выражение для интенсивности света, распространяющегося под углом ~р к нормали после дифракции на правильной структуре из 6/ щелей, запишется в виде 1ч — — 1, (зри и/и)" (з!п //6/з!п 6)', (6.49) зь .

зл где и= — з!п~р, 6= — з!п~р. Х Х Множитель (айп и/и)' характеризует распределение интенсивности в результате днфракции плоской волны на каждой щели, а множитель (зйп Л/6/з!п 6)' учитывает интерференцию между пучками, исходящими от всех щелей. Множитель 1, определяет интенсивность света, излучаемого в направлении ~р = О, которая зависит от потока энергии, падающего на решетку света. При анализе полученных результатов исследуем сначала интерференцию /!/ пучков, т.

е. посмотрим, как меняется множитель (з!и /уб/з!и 6)' в зависимости от угла дифракции ф. Из рис. 6.33 видно, что величина Н ьйп ~р равна разности хода Л между волнами, испускаемыми двумя зквивалентнымн точками соседних щелей. Если она равна целому числу волн, та колебания усилят друг друга.

Поэтому, положив й ьйп <р=тХ, где порядок дифракции т = О, 1, 2„..., посмотрим, во что обращается исследуемый множитель; имеем 6 = (Ыз!шрй) = тп, т. е. з!и Л/6 = О и з!и 6 = О. Известно, что Иш ~зш й/6/з!и 6~ = У и, мп а-а следовательно, (6.51) Этот очень важный результат заслуживает внимательного рассмотрения. При выполнении условия й ейп ~р = тХ интенсивность света, дифрагировавшего на системе из й/ щелей, возрастает не в Л/ раз по сравнению с интенсивностью света, прошедшего через каждую щель, а в № раз.

Это есть прямой результат интерференции дифрагировавших пучков, происходящей при дифракции на правильнойструктуре. Если бы й/ щелей располагались хаотически, то интерференционный член равнялся бы нулю и суммарная интенсивность была бы пропорциональна числу щелей неправильной структуры, 238 Максимумы, возникающие прн выполнении условия (6.50), пазы. вают главными максимумами. Они появляются тогда, когда одновременно з|п 6/ 6 = 0 и и!п 6 = О.

Но между двумя главными максимумами должно возникнуть Л/ — 1 минимумов, где з!п 6/6 = О, но з!и 6 ~ О. Между этими минимумами должны находиться побочные, или дополнительные, максимумы, в которых интенсивность света при достаточно большом 6/ пренебрежимо мала по сравнению с интенсивностями главных максимумов. /лп33/б а) /лпйа/1 п 5) Л/б 0 Л/и Ып р -Л/б б Л/и лпср а/ И Рис. 6 34 График функции (В!и йб/ыц 6)'. а — У2,б — У В Для того чтобы лучше понять, как появляются главные и дополнительные максимумы интенсивности, запишем следующий ряд значений 6/6 при последовательном их возрастании: па=а,, 2, .... (и — 1), и, (и-~- ц, ..., 2 (и — В, апи ...

Стрелками показаны главные максимумы (3!и 6 = О, з!и 6/6 = 0), а фигурными скобками — минимумы (и!п 6 -ь О, з!п Л/6 = 0). Здесь мы снова, как и в 3 5.9, наблюдаем интерференцию многих пучков света (многолучевую интерферометрию). В данном случае распределение интенсивности в интерференционной картине оказывается совершенно другим, чем при интерференции двух волн, при которой для освещенности характерна зависимость вида соза 6.

На рис. 6.34 приведен график функции (3!и Л/6/з!п 6)'в пределах трех главных максимумов (па = — 1, О, + 1) для 6/ = 2 и для 6/ = 8. Конечно, вертикальные масштабы этих двух кривых очень различны, так как они нормированы введением множителя 1/№ из-за невозможности изобразить увеличение интенсивности главных максимумов в № раз. При увеличении числа дифрагировавших пучков (заметим, что в современных дифракционных решетках 6/ достигает значения 200 000) главные максимумыстановятся очень резкими и разделены широкими промежутками, где интенсивность света можно считать равной нулю.

239 До этого использовалась лишь одна характернстнка ннтерференцнонной картины — функция видимости (а макс а мпн)г (а макс + а мнн) Прн днфракцнн плоской монохроматнческой волны на правильной структуре видимость равна единице как в случае 5у' = 2, так н прн очень больших д(. Очевидно, что необходимо использовать какую-то дополнительную характеристику, учитывающую различную резкость ннтерференцнонных полос н связанную с ней возможность раздельно наблюдать два максимума. В дальнейшем (см.

й 6.7) будет введено понятие разрешающей силы, а гя сейчас ограничимся констатацией зависимости резкости днфракцнонпгр ной картины от числа ннтерфернрующнх пучков. (г Хорошо иллюстрируют нсследуемую зависимость простейшие днфракционные решетки с постепенно й "5ПГГ «5"р а Ку~яереа51ПВ ВОЗраСтаЮщИМ ЧИСЛОМ щЕЛЕй Прп а) Щ освещении нх светом ртутной дуги. Прн Ф ж 100 наблюдаются довольно,расплывчатые максимумы.

Разрешение по длинам волн отсутствует. Увеличение числа ннтерфернрующнх пучков в 10 раз приводит к появлению по обе стороны от центрального пятна четких максимумов. Наблюдается ряд линий, составляющих характерный спектр ртути. В этом опыте проявляется также следующая характерная завнснмосттк чем меньше с( (постоянная решетки), тем больше угловое расстояние между главными максимумами.

Способность днфракцнонной решетки «развестн» излучение двух определенных длин волн на некоторый угол также служит важной ее характеристикой, которую тоже следует ввести прн колнчесгвенном описании (см. 9 6.7). Заметнм, что полученные выражения легко распространить н на случай падения плоской волны на днфракцнонную решетку под некоторым углом. Обозначим через 0 угол между направлением пучка н направлением нормали к решетке. Тогда (рнс. 6.35, а) для возникновения главных максимумов вместо е( з!и гр = тлл. получается условие с( (з(п гр — з(п О) = ла)а, непосредственно следующее нз вычисления разности хода Ь для двух ннтерфернрующнх лучей.

Характеристики

Список файлов книги