Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 156
Текст из файла (страница 156)
(гл. !3 696 нзт*ллооптиих Этим завершается формальное решение нашей граничной задачи.Мы не будем здесь заниматься вопросами существования и сходимости полученного решения. Полезно напомнить значение различных постоянных. Так как, по предположению, сферу окружает непроводящая среда, то пп! =- О. Из соотношений (2) следует Се 11 2я Си . 2!с (а) 1 еи1 йСЬ— Хс ' ' с Хс !ь 1' йп) )/ ~цЯе ~~ )/ а<и ~1 й<пс=- С еп1+с — ) = ! — ' < спи+1' — ) 1=с й<пс =)/ — й<ццг<пс= — а<и!+14™, 1 1 с! (б) (59] — .
(в) цс .2к с Ьс (г) 1 Хс здесь кс — длина волны света в вакууме, йш — длина волны в среде, окружающей сферу, и проводимость сферы о!и' обозначена через о. Удобао также авеста комплексный показатель преломления сферы относительно окружающей среды, который понадобится нам в дальнейшем.
Обозначая зтот показатель через и, получим (сип)' <ло1ср са» . 4ко асис л*= = — с —,-= — + ! — ' <с<о)1 <А '11' сл! е ю а!!с (60) Введем, кроме того, бшразмерный параметр ц, определяемый выражением 2к д=Х<о< а, (61) т. е. величина ц равна произведению 2п па отношение радиуса сферы к длине волны света во внешней среде. Тогда, используя соотношение дав<се — = — и, аисача можно выразить козффициенты (57) в виде и †.111 21+1 йз'<4) !)!<се) В! <Р) й! <сч) (а) ~ с<'+') '" < 1 < ) — ('о< ) (<с )' иВ 1„1 21+1 с1)!! <41'сс < лс) — Ф <с) %1 <лс) (62) с<с+1) ай!и'<с) сс!'<сс),,",'о'<41 <н<лс) ' (б) ~ Этн формулы принимают особенно простую форму, когда либо диэлектри- ческая проннпаемость, либо проводимость сферы высоки и вместе с тем радиус сферь! не слишком мал.
В з!ом случае )!1 <~~1, <гсц <)) 1, и выражения (62) сводятся к 'В! =-С!с1 21-<-1 Ч)!<4) С <с+ П (с!!ш <„1 и — 11 11 (63) 1=, <с „<!и <4) 1 (б) ~ Хотя зто приближение не представляет интереса в оптике, его важность для радиодиаиазона иесомнсина. Оно пмсст н исторический интерес, поскольку первые теории относилис<* к такому предельвому случаю 1261. е, Саодка формул, о!пкослсцилтл к присоединенным фракциям /Сежикдра и циликдричсскии функциям. Г!режде чем переходить и дальнейшему обсуж- деняю, удобно ирнеесгн здесь некоторые формулы, относящиеся и сферическим гармоникам и цилиндрическим функциям, 9 !З.б) 597 дяеелкция нл пговодзщзй слеге.
таогия мн Присоединенные функции Лежандра Полиномы Лежандра (в которых аргументом служит сов О) имеют вид !тж! (21 — 2ж! ! Р,(соз0)=- ~ ( — !.)", Л !(созО)' и =-с (64) Присоединенные функции Лежандра первого рода определяются выражением *) (65) Р! !(соз О) = (5!и В)~ д (сел Е) Нам понадобятсн также соотношения )лта (соз О) = —. (Р,, (соз О) — соз В Р, (соз В) ), Для больших значений 1 справедливо асимптотическое приближение Р, (сов 0)яз )««г и 1, з!п [(1 + 2 ) О+ 4 ~ ° (66] (67) где 7! (х) = ! — —, ( -1! + . 21+3 (,2! Для ь!«'(х) справедливо разложение Ь!о(х)= — 1 "''', е "(й,(х) — !хдт(х)), (ь) .
! 3...121 — 1) (69) (70) где й,(х) н дт(х) — степенные ряды, в которых первый член равен едннвце, а второй квадратичен относительно х. Аналогично функции ф! (х) и ь!(л(х) можно выразить в виде (1+ !)к! ф'«х) = !.3... (ш+и 7!'(х) Ь!св'(х)=Л ' "'(, ~е!«(Ь+(х) — 16!«(х)), (72) где (; (х), лг (х) и й"! (х) — степенные ряды того же типа, что и прежде. !!. 11 ли болыиил злсчаоллл оде!ели!««лта х я при услооии, что 1 млло по сравнению с ) х(, можно использовать следующие асимптотические формулы: ф! (х) = — (!'"! елр ( — тх) + ( — 1)'«' ехр ((х))! ! (73) ь)с(х) яа ( — !)'+' ехр (тх), (74) ф;(х) -(Рехр( — !х)+( — 1)'ехр((х)), ь)о'(х) яа( — 1)'едр(!х).
(75) [76) «) Иногда аслсльэустсл слрсдатение, атллылющсссл от нлстслщсга множителем ( — !) Йилиндрическне функции !. При малых знамени х аргужемша х функцию ф«(х) можно разложить в ряд л«+ ь ф«(х)=-! з .!21 !)7«(х) (68) 598 . !3 мвтхллооптикл Для вещественных значений х функции Ф,(х) н ф)(х) тоже вещественны, т. е. !ях ф (х) — шп <х — 'т-л<, г фг(х) як сов (к —— 2/' (77) (78) !3.5.2.
Некоторые следствия нз формул Ми. а. Парциальлык волны. Из выражений (38) видно, что амплит)ды радиальных компонент Е',я и //',я рассеянной волны уменьшаются обратно пропорционально квадрату расстояния от рассеивающего центра, тогда как амплитуды остальных компонент умепьшаготся более медленно, обратно пропорционально первой степени этого расстояния. На достаточно больпшх расстояниях <г~~й) в рш)иацьонпой, нлн золнавой, зоне радиальными компонентами можно пренебречь по срявненшо с тзнгенцпзльными, т. е.
в атон области волны поперечлы. Полученные формулы показывают, что рассеянная волна состоит нз сферических гармоник разных порядков. Эти гармоники называются аарпиальямма волнами, и нх амплитуда определяется абсолютпымн вначеииямн комплексных коэффициентов 'В, н Вп которые зависят от природы обеих сред н от отношения радиуса рассеивающей сферы к длине волны падаюшсго света. <чвждзя парцпальная волна состоит из электри,г/ ческой части с амплитудой 'В, и магнитной части с амплитудои '"Ве Магнитные силовые линни электрической парциальной волны и электрические сн- ~ поные линни »агннтной пзрциальной волны целиком лежат на концентрических сферических поверхностях, так как для первой волны Н)п = О, для второй — Еп' — О. яме линяя ьчв ртов львтрв- Рассмотрим произвольную парцнальную волну, ческаа парпнзльиоя волны. гзапримср <-ю электрическую волну, Мы видя», что соответствующие компоненты Езо п /<)г" раппы нулю в точках, где обращаются в нуль либо созгр, либо Р',и'(созО) з!пч6.
Л ~алогична Е!и и Рря ~ исчезают гз», где либо ип ф, либо Р)п <сов 0)/з!пО равны нулю. Внутри интервала О(0.=.п фуикпня Р)о<(сов О) обращается в нуль < раз, а функция Р<ы <сочО)М1пО обращается в нуль < — 1 раз и огличаетсв от нуля при 6 =- О нлн л. При Ч. = ьс я<2 все ко»поненты поля обращаются в нуль 21 раз, т. е. всего (41 — 2) раза. Поскольку магнитные силовые линни должны быть замкнутыми кривыми и, как мы видели, они целиком расположеяы яа концентрических сферических поверхностях с центром в начале координат, то ясно, что каждая из 2< нулевых точек на окружности с ф — О или и окззываетгя центром семейс~»в гвкях лнпнй, а каждая цз 2<< — 1) нулевых точек пз окртлности с гр = ~ пг2 будет нейтральной точкой.
Силовые липни обходят зти пены ральные точки, подобно тому, кзк два семеиства рапнобочных гипербол с общими аснмптотами обходят нх общий центр. На рис. 13.8 показаны магнитные силовые линия четвертой электрической парцизльной волны. Отчетливо видны две группы пжек; точки первой группы лежат в плоскою и кз <плоскосзь рисунка), точки второй — в плоскости дз. На рис. !3.9, а для первых чшырех электрических парппальных волн прнпсдсиы проекпнн пз плоскость йз их магнитных силовых линий, которые расположены пз одной из полусфер, находящихся с любой стороны плоскости уз.
В волновой зоне электрические силовые линии ортогональпы к»агннтны» линиям, так каь, согласно (88), для каждой парциальвой волны (электрнческон 599 ДЕФРАКЦИЛ ИА ПРОВОДЯЩЕЙ СФЕРЕ ТЕОРИЯ МИ $13 51 или магнитной) справедливо соотношение ЕваНва+ ЕЩНЩ = О. (79) 139, б, Аналогичные результзты получаются н для магнитных гарциальных волн, за исключением того, что позер н мп Чг меняются местами. Соответствующие 1 проекции электрических силовых ли- и й, расположенных на сфере, для маг- нитных парцнальных воли легко найти, поворачивая рисунки на )гол 90' во- круг оси х, б.
Лрсдельльгс случил Ниже мы исследуем о!носительную роль разлвчпых парциальиых волн Общий слуша (и н г) произвольны) пе поддается простому аналнтическоиу рассмотрению, и поэтому мы подробна об!с)дим лишь дна предельных случая, а именно, когда радиус сферы зелик по сравнению с длиной волны (г) ~)1) и каггта он знлчительно меньше длины волны (э-~1).
1 Оф. 1 В этом случае наше решение по существу должно давать те же результаты, что дифракционная теория Гюйгенсл — 1(ирхгофа нлн лаже (при г)-ьоо) геометрическая оптика, Если ограничип ся порядками г, значительно меньшими г) и )лг) (, то можно использовагь вснх!Итигические приближения (73) — (76). Имеем 'Сс,~~> С:.:Я грг (йя) ге+ г ехр ( — г~)+ ( — г)хек ехр (гйр) грг(гю) г'ехр( — глр)+! — г)'ехр!гвг) и' сОв (ле — (1 !) — ) =- !и ~лэ — 1 —,'1; (30) 2~ коэффициенты (62) запишутся в виде "В =( — 1]+' 21-!.
! 1(1+!) ' аг бг Рнс 13 Э Си сонме линни нервен (1), въгроа !11), грсгьсй 1,111! и ссгнсргои (гу) ыгкгрисе кик лнрпи .гыгых волн !!9! вш ~ц — 1 — 1 — л сов (!ч — 1 — 1 !е йч — 1 — ' х ехр( — и)) 1 — гл!я !лч — 1 — 1 21 В =( — !)'+' — х 21.!.1 1 1+1) лвгп (д — 1 — ! — сов ~ д.-1 — ! !а ! вг — 1 — 1 Х ехр( — гг)) гг '( 21 — !И)~ — 1 — 1 21 Проекции электрических силовых линий на плоскость хх показаны на рис 6ОО [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
