Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 155
Текст из файла (страница 155)
Бпачапе мы представим решение волновых ) рзс ~еппчй в вилс ряда с неопределснпьшн коэффициентами, причем каждый член кгого !шда будег какпьото частным решенном уравненпя. Затем, используя граничные условия, определим коэффициенты. Будем искать решение в виде П=-)д(г) !8(В) Ф(ф). !25) Функции )г, 8 и Ф, как легко проверить прямой подстановкой в (21), должны удовлетворять обычным дифференциальным уравнениям П)ф (гй Ц РР! — Π— +!'Ф =-О, лью д~ ь (26а) (266) (26в) где и и !) — постоянные интегрирования. Так как иоле Г, Н является пднозначной функцией коордннат, фуньпия П тагыке должна быть однозначной.
Это требование налагает онредепенпые условия на ф и Ф. Для каждого иа уравиеннй (26) можно записать общее решение. Для (26в) оно имеет вид а соз (Ргйьр)+ Ь з)п ()гйф). Усяовие однозначности требует,' чтобы й = лр (ьп — целое).
(27) следовательно, одйозначное решение (26в) имеет ввд Ф=а„соз(глф)+Ь з!п(тр). (28) Уравпеняе (26б) — это хорошо известное уравнение сферических гармоник. Необходильым н досгагочньш условием плпозначности сто решения яв- ляется а=!(!.1!), (1)(Рп), целое). (26) Подставим р нз (27) в (266) и введем новую переменную ьь —— Спз 6. Тогда (266) преобразуется к виду (см. (26!) -!(1 —  — „, +!!(!+Ц вЂ”,.,~в=О. мь 1 (31) Решеььиями последнего уравненкя служат присоединенные функции Лежандра, т.
е. (32) 8=- Р,' ь(в) == Р~™(сов 6) Оба потенциала 'П и "П служат решениями дифференциального уравнении (21), которое представляет собой не что иное, кан волновое уравнение РЕП + йь)1 = О, записанное в сферических координатах. Для того чтобы компоненты Е„Е,, Н, в Н, былп неп рерьпппя па сферпчесьпй ппвсрхппсти Р == и, очевидно, лоста- точно, чтобы на этп!ь аоверхнсстп были нгпрерььвньь следующие четыре вели- чины: 692 (гл. (3 мвтлллоатпикл Зги фупкпни тождественно равны нулю, если (гл() 1, поэтому для каждого 1 имеется 21+ ! таких функций, а именно функции с т--.— 1, — 1+(, ...,1 — (,1.
г!тобы проинтегрировать последнее уравнение (26а), положим 1гг = р, Ю(г) = = 2(Р). ! рр (33) Тогда мы получим уравненве Бесселя (см. (26)) двх ! Лг 1 (1~ 2) ) — + — — + (! — )'2=6. др р др (34) Ре!пениеьг этого уравнения является цилиндрическая функция общего вида Х, =у,т г,(р) порядка 1+ (12, так что решение (26а) запишется следугогцим абрлаамг г - г,„ч, (йг).
! рь (36) Каждую цилиндрическую фупкцшо можно выразить в виде линейной комбинации двух цилиндрических функций обычного тина, например функций Бесселя угч *г,(р) и фунюшй Неймагга Жгем,(р), лег!и нашей цели удобно п(гггмснить функции *) ф,(р) = )/ .р з - г) (р), х,(р) = — $/ йр йгг. ч. (р). (36) функции ф,(р) регулярны в каждой конечной области плоскости р, включая начало кгюрлпнат; функции ул(р) имеют особенности в начале коорлипат р О, где они обраша!отса в бесконечность. Понтон!у лля представления волны внутри сферы нужно использовать функции ф,(р), а пе уа(! ), Общее решение уравнения (26а) моукпо записать в виде г И = сгфг ((ге) + 1(ейг (йг).
(37) В частности, для с, = (, г(г = — г мы получим г Р = бгг'г (йг), (38) гдо ь' (р) = ф (р) — 12 (р) = "рг '2 нРм (р). (39) ') В лктеретуре существует несколько неннага ревлячвгащнхея определений функций ф н у (см (З7) нлн (ЗЬ(). Ниже мы приведем шкагарые фармульг, атнгкяшвегя к функпням чуа '! Эгв (рарлгу.ш непасрвш.гнгнна следует нз хараше нввестнага гаатнашеннв теклу функснямн Бесселя, Неймана н Хпнкеля, е нменеа уг, гмл 76гр. Лвелагнчнае саагнашенве кмытгя к для втарай функцнн Хввкелн З вЂ” гн —.
Нр . Нрквеленные формулы ллвлагнчны ге> вырвженнвм, свявыввющнм вкспаненцнвльнме функпнн евр(гр) н ехр( — гр) с саяр в в(п р. Здесь Нгг' — одна из функций Хаиксля *в). Функцпгг Ханкеля отличаются от других пялиидрическпх функций тем, что в комплексной плоскости апи равны нулю нэ бесконечности. Чля функции с инденсггы ! вта спранезыгпво в подуплоскости с положительным значением мнимой части и. Таким образолг, именно такая функция оказывается подходяпюй для пргдстявленья рассеянной волны. Согласна (26) частное решение П',м' получается при перемножении функцвй, опредезяеыых выражениями (28), (32) и (37).
Общее решение нашего В !3ЕЦ ЛИФРОКНИЯ ИА ПРОВОДЯЩЕИ СФЕРЕ. ТЕОРИЯ МЯ 593 Первый множитель в левай части этого уравнения манона выразить в виде следующего ряда полииамов Лежандра (формула Бауэра, см. (9.4,9Ц: ехр (й'О г соз 8) =- ~, !' (2!+ 1) — '„„, Р, (соз В), (43) 1=О Выполняются также тождества ехр (й'О г соэ О) з1п Π— = — —.„, — (ехр (йо' г соз 6) ), ! д Фрог да ЬВР,(созВ) == — Р',Я (сов О); Р,'О(соя В) = — О, д (45) (44) Используя эти соотношения, можно переписать левую часть (42) в виде ехр (йо' г сов О) з!п 0 соз ор= — „; ~Х Р '(2!+ 1) ор! (да г) Ра (сок 8) соз 1р.
(46) ! 1=! Выберем в качестве пробного решения уравнения (42) ряд такого же'нида г'Пол =- — „~ п,орг (Ан'г) Р',и(созВ) созгр. 1=! Подставлия (46) и (47) в уравнение (42) и сравнивая коэффициенты, получим соотношение м (Ьо')!ф (йш )+'4Ч(" '~='- (2(+!) "Р'('"". "( Из (37) (при «,=-1 и»(1 =-О) следует, что !р, (Аш г) =- г»т является решением уравнения (26а): (30) (43! ЭЗ и. Яор», о.
о Ф волнового уравнения равно 1 «П=-г ~~'„~з ~П~" !=О = ) ~» (сф,()ег)+»(Д,(д«Ц(Р!о»1(созОЦ(а соз(тй!)л«Ь з!И(гл!РЦ, (40) ШО =-1 ГдЕ а, Ь, С, И о» вЂ” ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСтаяннЫЕ. Эти постоянные пеобхо»имо выбрать так, чтобы удовлетворить граничным условиям. 1(ля этого нужно выразить потенциалы "П'о и "'ПО' падающей волны в виде рядов, аналою|чных ряду (40). Запишем вначале выражение (4) для падающей волны в сферических координатах в соответствия с (3): ,о!о ЕЯ'=ехр(й'вгсозВ)з!ИВсоз»р, Н',"=-.— ',ехр(!ЕИ1«созВ)з!ООЕ!И1р, аш мо! е! ! =ехр(й !'1 созВ) созОсаз1р, нй! --.
пИ,1ехр (йо!г созВ)созОРбп1р, 1 (4Ц Ен! = —.ехр (йш г соз8) з!п»р, Ни! =- — ехр(йш « сов 8) сов 1р. о Ф еп! Для определения потенциалов 'П'О или Пш необходимо лишь воспользоваться Одним нз уравнений (23). Первое из иих дает ехр (йо' г сов 0) гбп 6 соз »р.= др, + (й'о)' г'П'". (42) (гл. 13 мвткллооптякх при условии, что а = l(1+ 1) (си. (29)).
Сравнив!зя (50) с (48), мы видим, что ..., 21-';1 к!=В"'1(! ) 1) (51) Вычисления, связанные с магнитны! но" енцналом По', аналогичны Таким образом, мы получим следу!ощпе выражения для потенциалов надношей волны: =- — (г'"П' '),-„(б) =- Л',~'(г'П' '),-„(в) = 1и (,- - ), "..
(г) — „(.(П«+ П )),=, —,'(г(.П +-П! )),. дг Л!п(г(Пш+ П! )),=. Л',!'( ("Пн'+ П )),=, (53) Из соотношений (52) следует, что зти уравнения могут удовлетворяться лишь в том случае, если ряды, аналогичные ряду (40), для неизвестных потенциалов ! Рн и Пим содержат только члены с т = 1 и если, кроме того, для магнитного потенциала а,=б, а для электрического— 5,=0. Мы уже отмечали, что для представления Пнп пригодны лишь функции фо поскольку они остаются конечными в начале координат, тогда как функции у, обращаючся там ь бесконечность. Следовательно, можно написать = (Ььа!- Л (54) Г чП""'= — П ~ чА!ф! (й'го Г) Р)а (СОЗ 6) З1П !Р. (б) ! 1=! э(ы видели также, что рассеянную волну можно выразить с помошыо функций ь)!' =4.,— 1;1„которые получаются прн умнов<ения функции хзнкеля Нн! иа )' пр)2 (см.
(39)). При боЛьших значениях р функция Но! ведет себя как ег(г~р, т. е. ь!о — как ен н )с = и!о(Линг)гг — как ехр(13бнг)'г. Таким образом, на болыцих расстояниях от сферы рассеянная волна сферична с цен! роц в начале координат г =-О. 1(озтому положим г "Пш =- — „„,, ~~~ 'В!Ь!п(йш г) Рш (сок О) соз ф, (в) = (Мч)! ! 1 1= ! г чП "ц: — — ' ~, В ~'и (йи' г) Р',ч (соя 0) ып и. (г) Мг я!'! ! 1=.1 (55) гг1по= —, з !' ' — ф (йшг) Р'о(соьО) соз р. (а) 1 ! 2!з1 (М!11! з! а! 1(1+1) ! (52) и!! г"Пп'= о),~ !' — „,, !р,(йшг)Рц1(соай)з(пф. (б) 1=! )Ыы выразилн оба потенциала в виде рядов, аналогичных ряду (40), и теперь легко определить неизвестные посгояиные.
Запишем граничные условия (24) полностью ф 135! диетнк)шн нн птонодящий свити. теория ми Нас интересуют только коэффициенты 'В, и В„которые характеризуют рассеянную но.тпу. Исключая 'Л, н аЛо получим йг.).1 гт)киаф! (вша) ф,(нное) — «! ')1Р! ф! (ыи) а) фг(йн'а) г (1+1) й!пйно ! ) (йнг а) фг)йнн а) — й!)!)иг! р! (гноа) й! )(рн)а) йг+1 йг))й! >ф,(йа) )ф,'(йн! ) — г)!!)г ) р)гв )а)ф,(йгг)а! (57) " — г +' .(5) ! 1(1+1) й))гной)м(йн)а)фг(вона) — й' )йн)его (йн)а)фг(йиоа) ) т ! Наконец, при подстановке (55) в (23) найдем для компонент поля рассеянной волны )=) г векторов — 1аВ,До (йп' г) Р)м(соя 6] — „„ — 'аВ)ь)го (йп'т) Ргш(сон 6)з!п 6)(, (58) т 1=! + !' В)5)го'(йшг) Р,'о'(соз 6) и!пО) В)" —.
— то' Ч и~а ~ аВДо (lгп) г) Р',и'(соз 6) з!и О+ а!й т )=! +. ВД (й г) ',о() 6) — е.„)„1 т! Штрнк у функций фг, й н Ргт! означает иифференциронгиие по ик аргументу за" Если подставить выражения (52), (5)4) и (55) в граничные условия (53), мы получим следуюпше линейные соотношения между коэффициентами е) 'Ао "А„В, и "ВР 1 й)о 111.!. 11 "В 1 5)т!'()ггна)-)- 1 Р ' ~ ф'()ун)а) = — А ф'(дона), г й!и ) йп) 1(1-!.)) ' йпп т — 5'т! (йша) -)- — !н ' — ф (Ггн'а) = — аА ф (йп)!а), 1 1 . 2!+1 (55) !тйг!) ! й!') 16+ И -В,,)„, 5) (й)оа) 4 „го г -~,-',~~~„фг(й)~)о)= — „'„,-А~фг(йп)а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
