Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 145
Текст из файла (страница 145)
и мы получим 1 д' —, —,, (ВЕ) = РВЕ. (1! ) пь д!» (10) Чтобы решить его, допустим, что Е, имеет вид Е„= ~> У> (У) ехР [> [(й Вйп О -1- (К) х — (ы + И) Г[), (13] где суммирование ведется по всем целым значениям 1 (положительным, отрицательшкм и пулевому). Подставляя (13) в (12] и прнраиннвая коэффнпиенты прп каждой экспоненте нулю, получиь! следующие рекуррснтиые соотношения для У,(у): У> (у)+ (г,с '(ы+ 1Я)' — (й шп О+1К)') У, (р) = = — — В,с '(те+К)]'(У>,(д)+рты(р)) (1 — О, Ь1, ~2, ...), (14) 1 где штрих у У>(у) обозначает дифференцирование по у. Эти ] равнения следует решать при граничных условиях *) У,(0) =. Е, амплитуда падающей световой волны, ] и (15) У>(0) =0 для всех (зьО.
) Не решая (14), можно видеть, что (13) представляет суперпозицию волн с чагготамн ы,'= ы+Я (1=0, ~1, ~2,;...). Кроме того, х-компонента вол*] Эти гриипзиьы зехоиик Врзеихьны тальке при иизтожио малой интенсивности птра. жеипых вали. В Аьппай зьлазс »тп тьк и есть, пптому зтп угол падеаип В, дхи катарпг» »кпхитзз>ы дифрип>роиаиших волн дсстаточио исхики, ие превышает 3' (см.
также п. 12.2.4). Рассмотрим теперь с физической точки зрения ситуацию, изображенную на рпс. 12.1. Допустнь>, что падающая ыонохроматическая плоская электромагнитная волна >ннсйпо поляризована и ее электрический вектор перпендикулярен плоскости падения (Е-поляризация), т. е, направлен вдоль оси г. В этом случае из предыдущего следует, что внутри среды компоненты Ет Ез вектора Е будут малымн всличннамн порядка е>(А>Л) Е,, и поэтому ими можит> пренебречь.
Озедоиаге»п но, ние среды Е н Е„также пренебрежимо малы. Из симметрии задачи ясно, что Е, не зависит от координаты В, и поэтому, воспользовавшись (4) к (11), получим для Е, уравнение д»д д>Е> 1 дь 1Г ! —,В-1- —," — —, —,, [ ! Вь.]--В>(ехР [((Кх — й!)1 +ехР [ — 1(КХ вЂ” Ж)) Еь~ =-О. (12г 1 в 12.!1 клчкотвкннок описания валяния. эгьвнкння чькгнкллл нового вектора воЛны с частотой мг равна ймп О + (К.
Следовательно, синус угла фо который нормаль к волне с частотой ыг образует с осью у вне рассеи- вающей среды, равняется с (а мп В+гд) тз 5!п ф г= +!а нн з!пО+! —, так как — ((1, го что находится в согласии с (2). Далее интенсивность в спектре опредетениого порядка ! ьюжно прнннть равной ! 1',(4 )г. Решим (!4), предположив сначала, что У,)!',.'.=-!', ... Папоьшпм, что нужно рассматривать только те регпевия (14), которые соответств) кп све- товым волнам, движущимся н направлен»и увеличения у, поэтому, принимая, что н (14) нее )'и кроме Ум равны нулю и используя (!о), получим в пер~юм приближении У н' (у) .=.
В с яр [! 1 '(е, — а ! и' О) йу[ + 0 (6). (17» Аналогична, полаган в (!4] нсе !'и кроме Уз, и У„равными нулю, находим после несложных расчеса г! ! '-" Г-" ('-1 ~т(у) 4 у . ! (18) Ь,~ з Здесь использованы также соотношения (6) и (8). Если теперь подставить (!8) в уравнение (!4) для (= О и ддя ! = ш2, то мы получим поправочный член н У',н(у) и выражение для Ун,(у), которые в данном приолиженпи пропорпиональны 6'. Таким же способом полу ~акпся выракгенпя для интенсивности в спектре любого порядка 1 в в~до разложения в ряд по возрастающим степеням 6. Решение в визе такого степенного ряда опсрвыс было получено Бриллкюноьг !61, прггыенившиьй правда, несжгш ко бшп е сложный анализ, чеш прнведег1пыг) здесь. Дэвид !2), следуя изложенному ныше методу, получил в явном виде выражения для интенсивностей линий в спектрах первого и второго порядка, предполагая, что интенсивности в.спектрах высших порялкок пренебрежимо малы. Зтн формулы )помипакггся нпжс (см.
(12.2.38)). Прпблнжсггг~с Брнллюзнн (н ~ ак ке Дэшпш) удобно прн бс,-.! илн бгссК 1, когда степенной ряд сходится быстро. Если эти условия выполняются, го очевидно, что заметная интенсивность будет наблюдаться только в спектрах нескольких первых порядков. Объяснеггпе одновременного появления спектров многих порядков и приближенные выражения, определяющие пх интенсивпости, были впервые позучены Раыаноьг и Натам ') (81. Опи решили уравнение (14) следующим обратом.
Полагал в (14) У, (у) =-ехр ( — ()тт) ехр [Й(сок О) у[ 0г (у) (19) и вспоминая, что ()бггяк !О ' (и.ш меньше этой величины), Л вЂ” н)с и Фз!пй=- йз!пб, пол)чпм следующие рскуррентные соотношения для ()г(у): (/, (у) -)-2(Л соз О(/г (у) — (2ИК з!и Π— ' РК ) (г' (у)-!- + з !(Л) ьге» (()гьг(у) 0г-г(у)) —.О (1=-0, н61, т82, ...). (20) Вводя новую переменную ! )( = —, уйе, е, ' зес О, 3 *) Отметин, что Раман н Нят) свекуя в двух свояк сервнк статьях работа Ревев (91, отяосчстенся к феооеь ч р,гсгткоч, аасьчк, что енглптуто Кофрсгоровям ых нонн "томно предсгвюгь в вняв функяяк йесссзя.
В эшч методе рессншрнсы гся нзьмнення тасько фяяы сло ской световой волны пря ее яересеченнн ультразвукового пучке. [гл. !2 диигикпкя свить ил эльтгьзвэковых яолихх приведем последнее уравнение к виду 2(У;(х) + (У„,(т) †(У,,(т) = = ~ — (з,'и,) зес'Й/)(2) — 21е е,'(21К(й)'гйнй+(еКе(й) ') О,()(). (21) здесь пггрих у (У означает днффсрснвирование по х.
так как ).тт(~(1, первый член в правой час~ и обы шо порядка з,(У, т. е. 1О ' (У, и его можно отбросить. Кроме тога, если пы, следуя Раману и Нату, допустим, что и перзыи член з фигурных скобках разек нулю, то оставшийся ряд уравнений предстзвляст ссюой рскуррсптные соотношения (см., например, !!01), которьщ удовлегноряют бесселевы функции целого порядка. Используя граничные условия (!5), получим для интеисиппостп в спектре поряльа ! выражение Реутт(ттйе,е; тмт! зсс 0). Следует отмстптги что приближение, сделанаос Рамаиоп и Нагом, основано главным образом яа пренебрежении Р)б и гйтб для всех !.
Ноэтаьгу, если б достаточно велико по сравнению с единшгей. то это приблюкение будет хорошо описывать интенсивности з низших порядках. Однако выражения, солержащис фуикпни Вссссля, дают завышенную интенсииность з зыстпих порядках. Зто бысш показано численными рзсчетачи интенсивностей для трех значений параметра 6, выполненными Зкстермаиом и Ванье 111!. В работе этих авторов решевие уравнения (12) в конце концов определяется чраииепиями, в основном подобнымп соотиошешеям (12.2.18) и (12.2.19). Наконец, замемтм, что были попучеиы решения (21) в виде степенных рядов по зозрас.ающим степеням 1)6 !12, !3!. Этп ряды, тто-вттдттьтому, пмсюг довольно ограниченное пряменеине, так как сходятся очень медленно. т(ругая трактовка.
основанная на уравнениях Максвелла, и которой дкфракцпя рассматривисгся как граничная задача, дана Вагнером (14!. й 12.2. Рассмотрение дифракции света иа учьтразвукоиых волнах методом интегральных уравнений В 9 2.4 было отмсчево, что интегральные уравнения (2.4.4) лля эффективногоо электрического поля Е' (г, 1) и соответстиующзя форм)аз (2.4.3) для Н' эквивалентны уравнениям Максвелла для ичотропиых нечагнитных веществ. Зго спраиедлпно, если допьстпть, что плотность среды не зависит от времени, однако полученный результат легко распространить и на более общий сл) так, когда такая зависнмтють от времени сущсствупг. Как и раньше, мы будем считать среду нсмагнитиой и непрозодяшей. Напомним, что сущность метода интегральных уравнений заклктчасгся в том, что влияние среды на распространение электромагнитной волны считается эквивалентным дейстипто электрических диполей, находящихся в вакууме, причем дипольный момент, иидуцированный в каком-нибудь физически бесконечно малом элементе объема бг' с линейнымв размерамн, значительно меньшими ') д, пропорционален птлпо е' (г', О, действуя»цему па этот объем, н числу заключенных в пем молекул (атомов).
Связанный с таким диполем в г' вектор Герца П,=ай( ~г' 1 — —,) ' ' пг' я ч г ' (г — )Гуе. е') с ) пспволяпг получить поле в точке г в момент !с помощью операции (см. (22431) ! а — — —.+йтаб б)ч. с' ам Здесь различные символы имеют тп же значение, что и в з 2.4; следовательно, ") Талие эптмспты сбьемп, эигмитсаьио большие ттбьемп отлспьпо.о агама (молекулы) 'Ио с ппиебпыми РазмеРпие, малыми по сзазиеиию с )м почти псетло моптио иыбРюь Лпп отпи тс. ских длин пати. 4 12.2) дивгдкпяя сввтд ид эдьтрлзвгковых волнах йбб й' = (! — г'! и оператор Есаул б)р действует нв переменные г(х, у, «).
)й таком случае, аргументируя так >ке, как и при вьщодс уравнения (2.4.4), можно получить следующее интегральное уравнение дли Е в среде !): Е' (г!) = Ее! (г!) + +сс Я ( — —,э(э+Я!ай д)т~ (д> (г', ! — )т'>с) ' й ' ) т(г'. (1) Кзк и в (2 4.4), интегрирование производится по всей среде, аа исключением иабольгпой обгггастп, заняг'ий атомом в точке наблюдения г (х, у, з).
Это основное интегральное уравнение рассматриваемой здесь теории. Когда оно рсаастся относительно Е' во всех точках внутри среды, поле вие среды рассчитывастся путом добавления к падающему полю Е" (г, () полн днпо.п> Е'и' (г, !), определяемого интегралам в (!), но взятым по всей области, "гаиятой средой. Следует отметить, что в противопологкпость обычному методу, требующему составления уравнений Максвелла для среды в вакуума, такое рассмотрснпс распргстрзнснггя света в среде позволяет избежать явного введения граничных )словий на прсловдяюптих поверхностях. Вместо эго>о в данном лщтоде в пределы интегрирования вводятся размеры среды. Кроме того, изменения плотности среды учитыва>отса в уравнениях Максвелла косвенным путах! через диэлсктричсскую проницаемость в, тогда как в интегральные уравнения (1) функиия плотности И(г, !) входит явно.
Уравиегп е (!) справедливо только при определенных ограничениях. Яопервых, полярпзусмосп а, рассчитанная на одну молекулу, вообп(е говоря, зависит от частоты поля Е', так что оио долл!но быть строго мопохроматпчным. Однако если мы не находимся слишком близко к резонансным частотам, то пзеиенения и с частотой внешнего поля малы.
Следовательно, прн условии, что все частотные компопснты Е' близки дръг другу, мы по-прежнему дюжем иг: подьзопать уравнение (1). анже если падающее поле Е'с строго монохрочвтичпо, поле Е', дсястпуюшсе ин но.гекулу и вызывающее образование дпполей, ге обязательно монохроматщтно, если й>(г, !) зависит от времени, от термического возбуждения ялн от других причин, вызывающих разуиорядочеиив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
